布爾環(huán)的一個(gè)注記

邵　勇，崔　璐

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安　710127)

若環(huán)(R,+,·)的每個(gè)元素都是冪等的,即對任意的a∈R,有a2=a,則稱(R,+,·)為布爾(Boolean)環(huán)[1-2]。布爾環(huán)是環(huán)論中重要的研究對象,它在命題邏輯,計(jì)算機(jī)科學(xué)及格論研究中扮演了重要角色[3-5],并且在布爾代數(shù)的研究中也是必不可少的[6-8]。

設(shè)(R,+,·)為環(huán),若存在自然數(shù)p≥2,對任意的a∈R,有ap=a,則此環(huán)為Jacobson環(huán)[9-11]。顯然,布爾環(huán)是Jacobson環(huán);但是Jacobson環(huán)不一定是布爾環(huán),例如,整數(shù)模7的剩余類環(huán)。當(dāng)p=2時(shí),Jacobson環(huán)顯然是布爾環(huán)。本文的Jacobson環(huán)(R,+,·)均指滿足對任意的a∈R,存在某個(gè)自然數(shù)p>2,有ap=a的環(huán)。有不少學(xué)者從不同的角度給出Jacobson環(huán)成為布爾環(huán)的條件[11-12]。

對于特征為2的含幺Jacobson環(huán),當(dāng)自然數(shù)p滿足一定條件,例如,當(dāng)p=2n-2,n>1,或者p=2n-5,n≥3,此時(shí)Jacobson環(huán)(R,+,·)成為布爾環(huán)[12]。

1　預(yù)備知識

2　主要結(jié)果

本節(jié)將研究特征為2的Jacobson環(huán)的性質(zhì),在此基礎(chǔ)上,得到特征為2的Jacobson環(huán)成為布爾環(huán)的條件。與文獻(xiàn)[12]強(qiáng)調(diào)的含幺Jacobson環(huán)不同,本文不要求Jacobson環(huán)含有幺元。所獲結(jié)果將推廣文獻(xiàn)[12]的主要結(jié)論。

特征為2的Jacobson環(huán)具有如下性質(zhì)。

1) (a0+a)k=a0+ak;

2)ak=a;

3) (R,+,·)為布爾環(huán)。

2)由結(jié)果1),有(a0+a)k=a0+ak，又特征為2,則a+a=0。故有

a0+a=(a0+a)p=

(a0+a)k(a0+a)=

(a0+ak)(a0+a)=

a0+ak+ak+1+a=

a0+ak+a+a=

a0+ak，

則有ak=a。

3)因?qū)θ我獾腶∈R,ak+1=a，由結(jié)果2)可知，ak=a,則有ak+1=a2,故對任意的a∈R,a2=a,即(R,+,·)為布爾環(huán)。

設(shè)(R,+,·)是特征為2的Jacobson環(huán)時(shí),由(R,·)是群并半群可得到如下的結(jié)論。

引理2設(shè)(R,+,·)是特征為2的Jacobson環(huán),若p=2n+1,則(R,+,·)為布爾環(huán);特別地,若任意的a∈R,a3=a,則(R,+,·)為布爾環(huán)。

由文獻(xiàn)[12]的引理6,對于特征為2的含幺Jacobson環(huán)(R,+,·),當(dāng)p=2n+1,(R,+,·)會(huì)成為布爾環(huán),本引理證明對于一般的特征為2的Jacobson環(huán),滿足p=2n+1,同樣成為布爾環(huán)。

對于Jacobson環(huán),可得如下結(jié)論。

定理1若Jacobson環(huán)(R,+,·)滿足下列條件之一:

1)p=2n-2,n>1;

或者

2) (R,+,·)特征為2,且p=2n-5,n≥3,則(R,+,·)為布爾環(huán)。

為證明定理1,需要證明如下引理。

引理3設(shè)(R,+,·)是特征為2的Jacobson環(huán),若p=2n-(2k1+2k2-1),則對任意的a∈R,有a2k1=a2k2。

a0+a2n=(a0+a)2n=

(a0+a)2k1+2k2=

(a0+a)2k1·(a0+a)2k2=

(a0+a2k1)(a0+a2k2)=

a0+a2k1+a2k2+a2k1+2k2=

a0+a2k1+a2k2+a2n。

故a2k1+a2k2=0,由(R,+,·)特征為2可得a2k1=a2k2。

下證定理1。

1) 對任意的a∈R,有ap=a，由p為偶數(shù)可得-a=(-a0)a=(-a0)pa=a0a=a,故a+a=a+(-a)=0,這表明(R,+,·)的特征為2。

由引理3可知，若任意的a∈R,a2n-(2k1+2k2-1)=a,則有a2k1=a2k2,現(xiàn)取k1=1,k2=0,則有a2n-2=a,進(jìn)一步有a2=a,從而(R,+,·)為布爾環(huán)。

2)在引理3中,取k1=2,k2=1,則有a2n-5=a,進(jìn)一步有a2=a4,又存在a-1∈Ha,使得a·a-1=a0,則在a2=a4兩端同時(shí)乘上a-1,得a3=a,由引理2,(R,+,·)為布爾環(huán)。

由文獻(xiàn)[12]的定理5可知,若含幺Jacobson環(huán)(R,+,·),滿足p=2n-2,n>1;或者對于特征為2的含幺Jacobson環(huán)(R,+,·),滿足p=2n-5,n>3,則Jacobson環(huán)(R,+,·)會(huì)成為布爾環(huán)。本引理證明對于特征為2的一般Jacobson環(huán),p滿足相同條件同樣可成為布爾環(huán)。

不難證明,對特征為2的Jacobson環(huán),可得如下結(jié)論。

定理2設(shè)(R,+,·)是特征為2的Jacobson環(huán),若同時(shí)滿足下列條件:

1)p=2q+2m+1,q∈N,m∈{1,2,…,2q-1-1};

2) 2q-2m=2r+2s,r,s∈N,q>r>s≥1;

3) (2r-2s)|2m，

則(R,+,·)為布爾環(huán)。

證明已知(2r-2s)|2m,則有2m=l·(2r-2s),又a2q+2m+1=a,則有

a2q+1=a2q+2m+1·a2q-2m-1=

a·a2q-2m-1=a2q-2m。

因(R,·)為群并半群,則有

a0+a2q-2m=a0+a2q+1=

(a0+a)2q+1=

(a0+a)2q-2m=

(a0+a)2r+2s=

(a0+a)2r·(a0+a)2s=

(a0+a2r)·(a0+a2s)=

a0+a2r+a2s+a2r+2s=

a0+a2r+a2s+a2q-2m。

由此可得a2r=a2s,故有a2r-2s=a0,則有

a2q+1=a2q+1·a0=a2q+2r-2s+1=

…=a2q+l(2r-2s)+1=a2q+2m+1=a。

由引理2可知(R,+,·)為布爾環(huán)。

推論1設(shè)(R,+,·)是特征為2的Jacobson環(huán)若同時(shí)滿足下列條件:

1)p=2q+2m+1,q∈N,m∈{1,2,…,2q-1-1};

2) 2q-2m=2r+1+2r,r∈N,q-1>r≥1,

則(R,+,·)為布爾環(huán)。

證明由2q-2m=2r+1+2r,則有2m=2q-(2r+1+2r)=2r(2q-r-3),故2r+1-2r=2r|2m,則由定理2可知(R,+,·)為布爾環(huán)。

不難發(fā)現(xiàn),對于定理1中的第2)種情形:(R,+,·)是特征為2的Jacobson環(huán),若p=2n-5,則(R,+,·)為布爾環(huán)。當(dāng)n>3時(shí),此情形可包含在定理2中,取

p=2n-5=2n-1+2n-1-5=

2n-1+(2n-1-6)+1

令q=n-1,2m=2n-1-6,則有

2q-2m=2n-1-(2n-1-6)=6=

22+21=2r+1+2r(取r=1)。

則由推論1可知(R,+,·)為布爾環(huán)。

易證對于特征為2的Jacobson環(huán)也有如下結(jié)論。

推論2設(shè)(R,+,·)是特征為2的Jacobson環(huán)且滿足p=2n-(3·2l-1),n,l∈N且n-3≥l,則(R,+,·)為布爾環(huán)。

證明因n-3≥l,則

3·2l≤3·2n-3<4·2n-3=2n-1,

故有

p=2n-(3·2l-1)=2n-1+(2n-1-3·2l)+1

取q=n-1,2m=2n-1-3·2l,則

2q-2m=2n-1-(2n-1-3·2l)=

3·2l=2l+1+2l，

由推論1可知(R,+,·)為布爾環(huán)。

推論3設(shè)(R,+,·)是特征為2的Jacobson環(huán),若同時(shí)滿足下列條件:

1)p=2q+2m+1,q∈N,m∈{1,2,…,2q-1-1};

2) 2q-2m=2r+2s,r,s∈N,r>s≥1;

3)q=(r+1)+k(r-s),k∈N+,

則(R,+,·)為布爾環(huán)。

證明由所給條件可得

2m=2q-2r-2s=

2(r+1)+k(r-s)-2r-2s=

2s(2(r+1)+k(r-s)-s-2r-s-1)=

2s(2(k+1)(r-s)+1-2r-s-1)=

2s(2·2(k+1)(r-s)-2r-s-1)=

2s[(2(k+1)(r-s)-2r-s)+(2(k+1)(r-s)-1)]=

2s[2r-s((2r-s)k-1)+((2r-s)k+1-1)]=

2s[2r-s(2r-s-1)]×

((2r-s)k-1+(2r-s)k-2+…+2r-s+1)+

(2r-s-1)×((2r-s)k+(2r-s)k-1+…+

2r-s+1)]=2s(2r-s-1)×[2·((2r-s)k+

(2r-s)k-1+…+2r-s)+1]=(2r-2s)×

[2·((2r-s)k+(2r-s)k-1+…+2r-s)+1]。

則有(2r-2s)|2m，由定理2可知(R,+,·)為布爾環(huán)。

定理3設(shè)(R,+,·)是Jacobson環(huán),若滿足p=2r+1+2r,r∈N,則(R,+,·)為布爾環(huán)。

證明由定理1中1)的證明可知,若p為偶數(shù),則(R,+,·)特征為2。任意的a∈R,由(R,·)是群并半群可得

a0+a=(a0+a)2r+1+2r=

(a0+a)2r+1(a0+a)2r=

(a0+a2r+1)(a0+a2r)=

a0+a2r+a2r+1+a2r+2r+1=

a0+a2r+a2r+1+a。

故有a2r+1=a2r,從而

a2r+2=a2r+1+2r+1=

a2r+1·a2r+1=

a2r·a2r+1=a2r+2r+1=ap=a。

又由于

a2r+2=a2r+1+2r+1+2r-2r=

a2r+1+2r·a2r+1-2r=

ap·a2r=a·a2r=a2r+1。

故有a2r+1=a,由引理2可知(R,+,·)為布爾環(huán)。

參考文獻(xiàn)：

[1]STONE M H. The theory of representations of Boolean algebras[J]. Amer Math Soc, 1936, 40:37-111.

[2]豐建文, 詹棠森. 可補(bǔ)半環(huán)上的同余[J]. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué), 2010, 24(6): 61-65.

[3]高平安, 蔡自興. 有限布爾環(huán)上的自動(dòng)機(jī)[J].小型微型計(jì)算機(jī)系統(tǒng), 2006, 27(7): 1266-1269.

[4]STEVEN G. Introduction to Boolean Algebras[M].New York: Springer, 2009.

[5]孫瑤, 王定康. 布爾環(huán)上的分支Groebner基算法[J]. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué), 2009, 29(9): 1266-1277.

[6]朱秉濤. 關(guān)于布爾代數(shù)公理的獨(dú)立性問題[J].數(shù)學(xué)研究與評論, 1987, 7(1): 167-170.

[7]STANKOVIC R S, ASTOLA J. From Boolean Logic to Switching Circuits and Automata:Towards Modern Information Technology[M].New York: Springer, 2011.

[8]陳露. 布爾代數(shù)的直覺T-S 模糊子代數(shù)的直積[J]. 西北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2011,41(5): 781-785.

[9]王堯. 由環(huán)的周期性和Jacobson性質(zhì)確定的根[J].河北師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 1999,23(3): 305-307.

[10] 謝邦杰. 關(guān)于周期環(huán)與Jacobson環(huán)的幾個(gè)定理[J]. 數(shù)學(xué)研究與評論, 1982, 2(2): 17-19.

[11] MIGUEL F, MICHAEL M P. A note on Jacobson rings and polynomial rings[J]. Proceedings of The American Mathematical Society, 1989,105(2): 281-286.

[12] CHAJDA I, SVRCEK F. The rings which are Boolean[J]. Discussiones Mathematicae General Algebra & Applications,2011, 31(2): 175-184.

[13] PETRICH M, REILLY N R. Completely Regular Semigroups[M]. New York: Wiley, 1996.

[14] 趙春來, 徐明曜. 抽象代數(shù)I[M]. 北京: 北京大學(xué)出版社, 2008.

[15] 盛德成. 抽象代數(shù)[M]. 北京: 科學(xué)出版社,2000.