基于描述函數(shù)法的滾動通道自持振蕩研究*

廖幻年，金一歡，彭繼平，劉 露，田 野

(上海航天控制技術(shù)研究所·上?！?00233)

0 引 言

舵機作為飛行控制系統(tǒng)的執(zhí)行機構(gòu)，其功能是根據(jù)控制系統(tǒng)給出的舵指令，控制舵機轉(zhuǎn)動，產(chǎn)生相應(yīng)的操縱力矩，從而控制導(dǎo)彈進(jìn)行機動飛行。舵機的工作特性直接影響飛行控制品質(zhì)。工程師根據(jù)飛行控制要求，給舵系統(tǒng)提出頻率特性、最大舵偏角、最大舵偏角速度等性能指標(biāo)。實際上，舵系統(tǒng)受設(shè)計、生產(chǎn)、加工等多個環(huán)節(jié)的影響，存在非線性環(huán)節(jié)，如死區(qū)、飽和、間隙等。這些非線性特性常導(dǎo)致飛控系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差和極限環(huán)振蕩，特別是當(dāng)滾動通道舵效率過大導(dǎo)致控制精度較低時，非線性特性帶來的極限環(huán)振蕩較為明顯，甚至影響飛控系統(tǒng)的穩(wěn)定性[1-7]。

針對舵系統(tǒng)非線性帶來的極限環(huán)振蕩，基本都是從舵系統(tǒng)本身層面展開分析，例如多名學(xué)者提出了將非線性補償?shù)母拍顟?yīng)用于舵系統(tǒng)控制器設(shè)計，實現(xiàn)非線性補償[8-9]，然而非線性補償?shù)姆椒üこ虘?yīng)用較為困難。本文從飛行控制系統(tǒng)的層面，針對舵系統(tǒng)非線性，應(yīng)用描述函數(shù)法，對飛控系統(tǒng)滾動通道極限環(huán)振蕩特性進(jìn)行了研究，并給出了相關(guān)結(jié)論。

1 滾動通道數(shù)學(xué)模型

飛行器滾動通道小擾動線性方程為[10]

式中，Jx為飛行器沿縱軸的轉(zhuǎn)動慣量;δx為副翼的偏轉(zhuǎn)角。

滾動通道采用傳統(tǒng)的PD線性控制方法，得到滾動通道控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示，圖中舵系統(tǒng)由線性部分Gw(s)和非線性部分f組成。

圖1 滾動通道控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of the roll channel control system

2 舵機非線性的描述函數(shù)分析法

舵機模型由一個典型二階線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)組成，假設(shè)舵機的線性部分等效二階模型為

其中，ωn=80rad/s，ξ=0.7，剪切頻率為13 Hz。

舵機的非線性包括死區(qū)、飽和、間隙和摩擦等，工程實踐發(fā)現(xiàn)舵機的間隙是滾動通道發(fā)生極限環(huán)振蕩的主要原因，本文就間隙進(jìn)行具體分析。

描述函數(shù)法是分析非線性系統(tǒng)的基本方法[11]，其基本思想是:當(dāng)系統(tǒng)滿足一定的假設(shè)條件時，系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)在正弦信號作用下的輸出可用一次諧波分量來近似，由此導(dǎo)出非線性環(huán)節(jié)的近似等效頻率特性，即描述函數(shù)。用描述函數(shù)法研究非線性系統(tǒng)時，需要被研究系統(tǒng)滿足以下假設(shè)條件:1)只有一個非線性環(huán)節(jié);2)非線性環(huán)節(jié)時不變;3)非線性環(huán)節(jié)N對應(yīng)于正弦輸入，只考慮輸出的激波分量;4)非線性特性關(guān)于原點對稱。分析可知舵系統(tǒng)的間隙環(huán)節(jié)滿足以上4個假設(shè)。

以下利用描述函數(shù)法對間隙特性進(jìn)行具體分析。間隙特性的數(shù)學(xué)描述如下所示:

間隙特性的描述函數(shù)為

其中，A是描述函數(shù)的變量，滿足:

將圖1所示的滾動通道控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖改寫成如圖2所示的非線性控制系統(tǒng)方框圖。

則圖中的滾動通道開環(huán)傳遞函數(shù)為

則根據(jù)描述函數(shù)理論，非線性系統(tǒng)產(chǎn)生極限環(huán)的振蕩條件為

圖2 描述函數(shù)法中滾動通道控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure diagram of the roll channel control system in description function method

選定某一組控制參數(shù)得到如圖3所示的某型號舵機的間隙特性描述函數(shù)-1/N(A)(黑色圈線)與滾動通道的開環(huán)Nichols圖 (藍(lán)色實線)。

圖3 G(jω)和-1/N(A)曲線的Nichols圖Fig.3 Nichols graph of G(jω)and-1/N(A)

圖3中，2個ω曲線在11.5rad/s處有一個交點，通過分析可知這是一個自持振蕩點，對應(yīng)的ε/A約為0.71，即自持振蕩頻率為11.5rad/s，幅值為ε/0.71，文中間隙寬度取0.3，即ε=0.15。

3 滾動通道極限環(huán)振蕩研究

由第2節(jié)可以得到以下結(jié)論:1)自持振蕩的存在與否取決于開環(huán)線性部分傳遞函數(shù)G(jω)與非線性描述函數(shù)曲線-1/N(A)是否有交點;2)假如有交點，交點決定了自持振蕩的幅值和頻率，由于間隙特性已經(jīng)確定，則交點的位置由線性部分G(jω)決定。所以這一節(jié)將探討G(jω)中的各項變量對自持振蕩的影響?？紤]到交點一般在低頻段，舵系統(tǒng)線性部分Gw(jω)的剪切頻率較高，對交點位置影響不大，所以本文從彈體特性Gr(jω)和控制參數(shù)Gc(jω)去討論。

由此得到開環(huán)傳函線性部分為

式中，可知G(jω)的頻率特性由c1、Kpc3和Kd/Kp3部分決定。其中，c1是彈體的自然阻尼，Kpc3決定控制系統(tǒng)的快速性，Kd/Kp決定控制系統(tǒng)的阻尼特性。下面分別從3個方面進(jìn)行研究分析。

3.1 控制系統(tǒng)快速性

針對相同的滾動通道動力系數(shù)，根據(jù)快速性指標(biāo)要求設(shè)計不同的控制參數(shù)如表1所示。

表1 不同快速性下控制參數(shù)列表Tab.1 List of control parameters under different rapidity

表1中，3個特征點的Nichols圖如圖4所示，圖5所示為不同特征點的1°等效副翼干擾舵系統(tǒng)響應(yīng)曲線。

圖4 特征點1～特征點3線性部分的Nichols圖Fig.4 Nichols graph of the linear part of the control system at feature points 1～feature points 3

圖5 特征點1～特征點3 1°等效副翼干擾下的舵偏響應(yīng)曲線Fig.5 Response of rudder under 1°equivalent rudder interference at feature points 1～feature points 3

根據(jù)圖4與圖5，對極限環(huán)振蕩的性能進(jìn)行總結(jié)得到表2。

表2 不同快速性特征點極限環(huán)振蕩性能總結(jié)Tab.2 Summary of limit cycle oscillation performance of different rapidity characteristic points

根據(jù)圖4～圖5、表1～表2可知，系統(tǒng)快速性設(shè)計得越慢，間隙帶來的極限環(huán)振蕩頻率越低。

3.2 控制系統(tǒng)阻尼

針對相同的動力系數(shù)設(shè)計不同的控制參數(shù)使之有不同的阻尼特性，如表3所示。

表3 不同快速性下控制參數(shù)列表Tab.3 List of control parameters under different rapidity

表3中，3個特征點的Nichols圖如圖6所示，圖7所示為不同特征點的1°等效副翼干擾舵系統(tǒng)響應(yīng)曲線。

圖6 特征點4～特征點6線性部分的的Nichols圖Fig.6 Nichols graphs of the linear part of the control system at feature points 4～feature points 6

圖7 特征點4～特征點6在1°等效副翼干擾下的舵偏響應(yīng)曲線Fig.7 Response of rudder under 1°equivalent rudder interference at feature points 4～feature points 6

根據(jù)圖6與圖7對極限環(huán)振蕩的性能進(jìn)行總結(jié)得到表4。

表4 不同快速性特征點極限環(huán)振蕩性能總結(jié)Tab.4 Summary of limit cycle oscillation performance of different rapidity characteristic points

根據(jù)圖6～圖7、表3～表4可知，控制系統(tǒng)阻尼設(shè)計的大小對間隙帶來的極限環(huán)振蕩特性影響不大。

3.3 飛行器固有阻尼

針對不同飛行器固有阻尼c1的特征點，設(shè)計相同的快速性和阻尼，得到如表5所示的不同特征點的控制參數(shù)。

表5 不同固有阻尼下控制參數(shù)列表Tab.5 List of control parameters under different inherent damping

表5中，3個特征點的Nichols圖如圖8所示，圖9所示為不同特征點的1°等效副翼干擾舵系統(tǒng)響應(yīng)曲線。

圖8 特征點7～特征點9控制系統(tǒng)線性部分的Nichols圖Fig.8 Nichols graph of the linear part of the control system at feature points 7～feature points 9

圖9 特征點7～特征點9在1°等效副翼干擾下的舵偏響應(yīng)曲線Fig.9 Response of rudder under 1°equivalent rudder interference at feature points 7～feature points 9

根據(jù)圖8與圖9對極限環(huán)振蕩的性能進(jìn)行對比得到表6。

根據(jù)圖8～圖9、表5～表6可知，彈體的固有阻尼c1的大小對間隙帶來的極限環(huán)振蕩影響較大，當(dāng)c1達(dá)到一定值時，舵系統(tǒng)間隙非線性將不會產(chǎn)生極限環(huán)振蕩現(xiàn)象。

表6 不同固有阻尼的特征點極限環(huán)振蕩性能對比Tab.6 Comparison of characteristic point limit cycle oscillation performance with different inherent damping

3.4 結(jié)果對比分析

3.1～3.3節(jié)以滾動通道為分析對象，通過對比仿真結(jié)果可知，從飛行控制系統(tǒng)方面來看，控制系統(tǒng)的阻尼對極限環(huán)振蕩的幅值和頻率影響較小;控制系統(tǒng)的快速性對極限環(huán)振蕩的頻率影響較大，快速性越慢，振蕩頻率越低;滾動通道的自然阻尼c1大小對極限環(huán)振蕩的影響較大，c1越大，振蕩幅值和頻率均越低，當(dāng)c1大于某一值時，極限環(huán)振蕩消失。這說明當(dāng)舵系統(tǒng)存在非線性特性影響控制系統(tǒng)性能、且快速性指標(biāo)較為嚴(yán)苛?xí)r，可通過在飛行器設(shè)計過程中增大滾動通道固有阻尼特性，降低舵系統(tǒng)非線性特性對控制系統(tǒng)的影響。

4 結(jié) 論

針對舵系統(tǒng)的非線性特性使得飛控系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差和極限環(huán)振蕩等不良特性，本文從飛行控制系統(tǒng)的層面出發(fā)，以飛控系統(tǒng)滾動通道為研究對象，應(yīng)用描述函數(shù)法，分別從控制系統(tǒng)快速性、阻尼、飛行器固有阻尼對極限環(huán)振蕩特性的影響進(jìn)行分析仿真對比。仿真結(jié)果表明，增大滾動通道的固有阻尼能有效降低舵系統(tǒng)非線性對控制系統(tǒng)性能的影響，甚至可以消除極限環(huán)振蕩現(xiàn)象。此結(jié)論可有效指導(dǎo)飛行器外形設(shè)計，特別是當(dāng)飛行器舵效率過高、控制精度較低導(dǎo)致舵系統(tǒng)非線性帶來的極限環(huán)振蕩對穩(wěn)定控制系統(tǒng)性能影響較大時，具有較大的工程應(yīng)用價值。