基于Copula函數(shù)的多變量水文不確定性處理器

劉章君，郭生練，何紹坤，巴歡歡，尹家波

（1.武漢大學(xué) 水資源與水電工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，水資源安全保障湖北省協(xié)同創(chuàng)新中心，湖北 武漢　430072；2.江西省水利科學(xué)研究院，江西 南昌　330029）

1　研究背景

水文不確定性處理器（Hydrologic Uncertainty Processor，HUP）作為貝葉斯預(yù)報(bào)系統(tǒng)（Bayesian Forecasting System，BFS）［1］的一個(gè)重要組件，用來量化除定量降水預(yù)報(bào)不確定性以外的其他所有不確定性，在實(shí)際中應(yīng)用廣泛［2-5］。然而，HUP屬于單變量結(jié)構(gòu)類型，只能獨(dú)立地給出各預(yù)見期實(shí)際流量的貝葉斯后驗(yàn)概率密度，而沒有考慮它們之間的內(nèi)在相關(guān)性。Krzysztofowicz和Maranzano［6］以單步馬爾科夫轉(zhuǎn)移密度函數(shù)為工具，提出了基于貝葉斯轉(zhuǎn)移預(yù)報(bào)（Bayesian Transition Forecast，BTF）方法的多變量水文不確定性處理器（Multivariate HUP，MHUP），可以在給定確定性預(yù)報(bào)過程的條件下提供實(shí)際流量過程的后驗(yàn)聯(lián)合概率密度函數(shù)，考慮了不同預(yù)見期流量之間的相關(guān)性。在此基礎(chǔ)上，針對傳統(tǒng)的貝葉斯概率洪水預(yù)報(bào)方法均只能提供某一時(shí)刻流量的概率預(yù)報(bào)，無法滿足決策者對某一時(shí)段內(nèi)最大流量的預(yù)報(bào)不確定性信息的實(shí)際需求［7-8］，Krzysztofowicz定義了極值概率預(yù)報(bào)的概念，并利用MHUP輸出產(chǎn)品給出了極值變量的超越概率分布函數(shù)，提出了貝葉斯極值預(yù)報(bào)（Bayesian Extremum Forecast，BEF）方法［9］。

BTF方法是MHUP的基本組成構(gòu)件，通常采用基于正態(tài)分位數(shù)轉(zhuǎn)換和線性-正態(tài)假設(shè)的亞高斯模型進(jìn)行計(jì)算，但這種正態(tài)分位數(shù)轉(zhuǎn)換在外推極端事件時(shí)效果不穩(wěn)健，且逆轉(zhuǎn)換時(shí)也可能使結(jié)果偏離最優(yōu)值，影響了該法的適用性［10-11］。鑒于Copula函數(shù)能較好地模擬水文過程的非線性和非正態(tài)特征，在構(gòu)建多變量聯(lián)合分布和條件分布中具有巨大優(yōu)勢［12-15］，劉章君等［11］提出了基于Copula函數(shù)的HUP（CHUP），不需要進(jìn)行線性-正態(tài)假設(shè)，適用范圍更廣，應(yīng)用更加靈活。事實(shí)上，BTF方法中的先驗(yàn)轉(zhuǎn)移密度和似然函數(shù)本質(zhì)上也都是條件概率密度函數(shù)，但目前沒有文獻(xiàn)將Copula函數(shù)引入BTF方法、MHUP及BEF方法的研究中。

因此，本文將采用Copula函數(shù)描述BTF方法中的先驗(yàn)轉(zhuǎn)移密度和似然函數(shù)，推導(dǎo)后驗(yàn)轉(zhuǎn)移密度的解析表達(dá)式，提出基于Copula函數(shù)的貝葉斯轉(zhuǎn)移預(yù)報(bào)（CBTF）方法，得到基于Copula函數(shù)的多變量水文不確定性處理器（CMHUP），進(jìn)而利用CMHUP輸出的各預(yù)見期實(shí)際流量后驗(yàn)聯(lián)合概率密度函數(shù)，導(dǎo)出預(yù)見期時(shí)段內(nèi)洪峰流量的超過概率分布函數(shù)，發(fā)展基于Copula函數(shù)的貝葉斯極值預(yù)報(bào)（CBEF）方法。以三峽水庫為例進(jìn)行應(yīng)用，基于所提方法實(shí)現(xiàn)三峽水庫入庫流量的轉(zhuǎn)移概率預(yù)報(bào)和極值概率預(yù)報(bào)。

2　多變量水文不確定性處理器

假設(shè)H0表示預(yù)報(bào)時(shí)刻的當(dāng)前實(shí)測流量，分別表示待預(yù)報(bào)的實(shí)際流量和確定性預(yù)報(bào)流量，K為預(yù)見期長度；h0、hk和sk分別為隨機(jī)變量H0、Hk和Sk的實(shí)現(xiàn)值。多變量水文不確定性處理器的目的是在給定當(dāng)前實(shí)測流量H0=h0、確定性預(yù)報(bào)過程隨機(jī)向量的實(shí)現(xiàn)值的條件下，推求得到實(shí)際流量過程隨機(jī)向量的后驗(yàn)聯(lián)合概率密度函數(shù)。利用概率乘法定理，后驗(yàn)聯(lián)合概率密度函數(shù)可以因式分解為［6］：

相應(yīng)地，式（1）也可以簡化為：

3　基于Copula函數(shù)的貝葉斯轉(zhuǎn)移預(yù)報(bào)方法

3.1Copula函數(shù)Copula函數(shù)可以將多個(gè)隨機(jī)變量的邊緣分布連接起來構(gòu)造聯(lián)合分布。令G(x1，x2，…，xn)為一個(gè)n-維分布函數(shù)，其邊緣分布分別為則存在一個(gè)n-Copula函數(shù)C，使得對任意x∈Rn（x為n維向量，Rn為n維實(shí)數(shù)空間）［13］：

圖1　CBTF方法概念示意圖

式中：θ為Copula函數(shù)的相關(guān)性參數(shù)。

Copula函數(shù)可以將多個(gè)變量的邊緣分布和它們之間的相關(guān)性結(jié)構(gòu)分開來研究，且對邊緣分布類型沒有任何限制。采用Copula函數(shù)進(jìn)行多變量建模時(shí)，通常包括兩個(gè)步驟：①確定各個(gè)變量的邊緣分布；②選擇合適的Copula函數(shù)，描述變量之間的相關(guān)性結(jié)構(gòu)。

本文選用Archimedean Copula函數(shù)族構(gòu)造聯(lián)合分布，采用K-S檢驗(yàn)法對Copula函數(shù)進(jìn)行擬合檢驗(yàn)的基礎(chǔ)上，基于RMSE準(zhǔn)則評價(jià)聯(lián)合分布的理論頻率與經(jīng)驗(yàn)頻率擬合情況，選擇RMSE值最小的Copula函數(shù)作為最優(yōu)的Copula函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式、參數(shù)估計(jì)方法、K-S檢驗(yàn)法及RMSE值等，詳見文獻(xiàn)［12-15］。

3.2先驗(yàn)分布考慮到變量Hk-1和Hk具有相同的邊緣分布，在表示概率分布函數(shù)和密度函數(shù)時(shí)統(tǒng)一為隨機(jī)變量H。利用Copula函數(shù)，Hk-1、Hk的聯(lián)合分布可寫為：

先驗(yàn)轉(zhuǎn)移概率分布為給定Hk-1=hk-1時(shí)，Hk的條件分布函數(shù)為［18-19］：

先驗(yàn)轉(zhuǎn)移密度函數(shù)：

3.3似然函數(shù)令Sk的邊緣分布函數(shù)為相應(yīng)的概率密度函數(shù)為借助Copula函數(shù)，Hk-1、Hk和Sk的聯(lián)合分布可寫為：

相應(yīng)的密度函數(shù)：

3.4后驗(yàn)分布將式（7）和式（10）代入式（3），可以推導(dǎo)得到實(shí)際流量Hk后驗(yàn)轉(zhuǎn)移密度函數(shù)的解析表達(dá)式：

相應(yīng)的后驗(yàn)轉(zhuǎn)移分布函數(shù)為

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)原理，可以計(jì)算得到期望值作為確定性預(yù)報(bào)結(jié)果，同時(shí)獲取給定置信水平下的流量預(yù)報(bào)區(qū)間。實(shí)測流量的期望值hke通過下式求解：

令實(shí)測流量Hk取值出現(xiàn)在分布兩端的概率為ξ，就可以定義Hk的置信水平為（1-ξ）的區(qū)間估計(jì)。實(shí)測流量Hk置信區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)分別由以下兩式給出［22］：

因此有

即［hkl，hku］為實(shí)測流量Hk置信水平（1-ξ）的區(qū)間估計(jì)，根據(jù)置信區(qū)間可以對Hk的轉(zhuǎn)移預(yù)報(bào)不確定性進(jìn)行定量評價(jià)。

4　基于Copula函數(shù)的貝葉斯極值預(yù)報(bào)方法

4.1極值概率預(yù)報(bào)的定義令隨機(jī)變量Zk代表時(shí)段(0，k］的最大實(shí)際流量，這個(gè)新定義的一維連續(xù)隨機(jī)變量可以看成是隨機(jī)變量的極大值變量，它由一個(gè)時(shí)間離散的流量隨機(jī)過程{H1，…，Hk}衍生而得。

對于任意給定的流量值h，設(shè)為最大實(shí)際流量Zk的超過概率分布函數(shù)，通過下式定義：

將式（17）代入，并進(jìn)行演算可得：

4.2CBEF方法的數(shù)學(xué)描述CBEF方法的概念流程示意圖如圖2所示。從式（19）可以看出，對于任意給定的流量值h，求解超過概率分布函數(shù)的關(guān)鍵在于計(jì)算得到聯(lián)合概率分布值

圖2　CBEF方法概念示意圖

則式（19）可以重新寫為：

5　實(shí)例應(yīng)用

三峽工程是開發(fā)與治理長江的關(guān)鍵性骨干工程，具有防洪、發(fā)電、航運(yùn)、補(bǔ)水等綜合效益。三峽水庫集水面積約為100萬km2，壩址多年平均流量為14 300 m3/s。本文基于CBTF方法實(shí)現(xiàn)三峽水庫汛期入庫流量的轉(zhuǎn)移概率預(yù)報(bào)，進(jìn)而基于CBEF方法實(shí)現(xiàn)三峽水庫汛期入庫流量的極值概率預(yù)報(bào)。選用2003—2016年汛期（6月1日—9月30日）發(fā)生的22場實(shí)測入庫洪水過程及長江水文氣象預(yù)報(bào)中心發(fā)布的預(yù)見期1～3 d相應(yīng)的確定性預(yù)報(bào)入庫洪水過程資料。實(shí)測值和預(yù)報(bào)值均為每日8時(shí)入庫流量，取樣時(shí)以預(yù)見期對應(yīng)的洪水發(fā)生的實(shí)際時(shí)間為基礎(chǔ)，反推相應(yīng)的預(yù)報(bào)發(fā)布時(shí)刻，同步樣本數(shù)均為707次。

5.1邊緣分布的確定邊緣分布函數(shù)可以采用任意分布，選用的標(biāo)準(zhǔn)是使得假定理論分布與流量資料擬合較好。本文采用P-Ⅲ分布作為實(shí)際流量和預(yù)報(bào)流量的邊緣分布，其密度函數(shù)表達(dá)式如下［23］：

式中：α、β和γ分別為形狀、尺度和位置參數(shù)。

考慮到變量Hk（k=1，2，3）的邊緣概率分布相同，將其統(tǒng)一表示為隨機(jī)變量H。采用P-Ⅲ分布線型分別作為H、Sk（k=1，2，3）的理論線型，利用L-矩法估計(jì)參數(shù)，結(jié)果見表1。采用K-S檢驗(yàn)法分別對4個(gè)隨機(jī)變量進(jìn)行擬合檢驗(yàn)，單變量K-S檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量D值也列于表1。結(jié)果表明，在5%的顯著性水平下，K-S檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量D均小于相應(yīng)的臨界值（0.0511），各變量均通過了檢驗(yàn)。因此，估計(jì)的實(shí)際流量和預(yù)報(bào)流量邊緣分布是合理可行的。

表1　邊緣分布參數(shù)估計(jì)結(jié)果和K-S檢驗(yàn)

5.2聯(lián)合分布的建立變量兩兩之間的Kendall秩相關(guān)系數(shù)矩陣見表2。可以發(fā)現(xiàn)，3個(gè)變量之間的相關(guān)性是不對稱的，Hk和Sk的相關(guān)性最高，且Hk-1和Hk、Hk-1和Sk的相關(guān)性基本相當(dāng)。

考慮到Hk-1、Hk的聯(lián)合分布與H0、H1的聯(lián)合分布相同，因而只需要估計(jì)H0、H1的聯(lián)合分布。分別采用二維Gumbel-Hougaard、Clayton和Frank Copula函數(shù)分別構(gòu)造H0、H1的聯(lián)合分布，基于不同預(yù)見期的同步系列數(shù)據(jù)，分別得到相應(yīng)的Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ，根據(jù)τ與參數(shù)θ的關(guān)系分別計(jì)算Copula函數(shù)的參數(shù)值，結(jié)果見表3。二維K-S檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量D和RMSE值也列于表3?？芍?，在5%的顯著性水平下，3種備選Copula函數(shù)的二維K-S檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量D均小于臨界值（0.0511），并且二維Frank Copula函數(shù)的RMSE值均為最小，因而選擇其構(gòu)造H0、H1的聯(lián)合分布。

表2　變量Hk-1，Hk和Sk兩兩之間的Kendall秩相關(guān)系數(shù)矩陣

表3　H0和H1聯(lián)合分布參數(shù)估計(jì)、檢驗(yàn)及優(yōu)選結(jié)果

分別采用三維非對稱Gumbel-Hougaard、Clayton和Frank Copula函數(shù)分別構(gòu)造Hk-1，Hk和Sk的聯(lián)合分布，基于不同預(yù)見期的同步系列數(shù)據(jù)，利用極大似然法估計(jì)的三維非對稱Copula函數(shù)參數(shù)值、三維K-S檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量D和RMSE值列于表4?？梢园l(fā)現(xiàn)，在5%的顯著性水平下，對于預(yù)見期1 d和2 d三維非對稱Gumbel-Hougaard Copula函數(shù)和Frank Copula函數(shù)通過了K-S檢驗(yàn)（臨界值0.0511），而預(yù)見期3 d只有三維非對稱Frank Copula函數(shù)通過了檢驗(yàn)。而且，3個(gè)預(yù)見期三維非對稱Frank Copula函數(shù)均給出了最小的RMSE值，因此選擇其構(gòu)造Hk-1，Hk和Sk的聯(lián)合分布。

表4　Hk-1、Hk和Sk三維非對稱Copula函數(shù)參數(shù)估計(jì)、檢驗(yàn)及優(yōu)選結(jié)果

5.3轉(zhuǎn)移概率預(yù)報(bào)結(jié)果示例任意給定實(shí)際流量Hk-1和確定性預(yù)報(bào)流量Sk（k=1，2，3）的取值，就可以求解實(shí)際流量Hk的后驗(yàn)轉(zhuǎn)移概率密度和后驗(yàn)轉(zhuǎn)移分布函數(shù)，實(shí)現(xiàn)入庫流量的轉(zhuǎn)移概率預(yù)報(bào)。在實(shí)際分析Hk的后驗(yàn)不確定性時(shí)，實(shí)際流量Hk-1的取值是未知的，其取值狀態(tài)可以是可行域中的任何值。以預(yù)報(bào)時(shí)刻2003年7月5日（20030705）為例，預(yù)報(bào)時(shí)刻的實(shí)測流量h0=33 700 m3/s。圖3和圖4分別給出了h0（為已知值）、h1和h2取各種不同狀態(tài)時(shí)，預(yù)見期1～3 d實(shí)際入庫流量Hk的后驗(yàn)轉(zhuǎn)移密度函數(shù)曲線和后驗(yàn)轉(zhuǎn)移分布函數(shù)曲線?？芍篁?yàn)轉(zhuǎn)移分布呈現(xiàn)正偏態(tài)特征，CBTF方法可以準(zhǔn)確地描述相鄰兩個(gè)預(yù)見期流量之間的后驗(yàn)轉(zhuǎn)移概率密度和分布函數(shù)，從而定量評估轉(zhuǎn)移預(yù)報(bào)的不確定性。

圖3　三峽水庫20030705入庫流量后驗(yàn)轉(zhuǎn)移密度曲線

圖4　三峽水庫20030705入庫流量后驗(yàn)轉(zhuǎn)移分布曲線

為了展示入庫流量預(yù)報(bào)不確定性在時(shí)間上的演變特征，我們把實(shí)際發(fā)生的流量過程當(dāng)作已知值（h0=33 700 m3/s，h1=36 100 m3/s，h2=38 600 m3/s和h3=43 000 m3/s），對應(yīng)的確定性預(yù)報(bào)結(jié)果過程為（s1=35 500 m3/s，s2=38 000 m3/s和s3=37 500 m3/s）。三峽水庫20030705入庫流量預(yù)報(bào)先驗(yàn)和后驗(yàn)不確定性隨時(shí)間的演變過程見圖5，其中紅色實(shí)點(diǎn)代表實(shí)際值，虛線為實(shí)際流量過程?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨著預(yù)見期的延長或者時(shí)間的推移，入庫流量預(yù)報(bào)的先驗(yàn)和后驗(yàn)轉(zhuǎn)移密度函數(shù)由陡變緩，表明預(yù)報(bào)不確定性增大，這與實(shí)際情況相符。但利用確定性預(yù)報(bào)信息經(jīng)過貝葉斯修正之后的后驗(yàn)轉(zhuǎn)移密度函數(shù)與相應(yīng)的先驗(yàn)密度函數(shù)相比都更加尖瘦和集中，不確定性更小。CBTF方法和CMHUP為分析水文預(yù)報(bào)不確定性在時(shí)間上的演變特征提供了有效工具。

圖6給出了三峽水庫“20160701”號洪水過程預(yù)見期1～3 d的后驗(yàn)期望值和90%置信區(qū)間及實(shí)際值。可以看出，洪水流量的量級越大，相應(yīng)的不確定性一般也越大。后驗(yàn)期望值預(yù)報(bào)與實(shí)際流量序列擬合效果總體較好，但擬合效果隨預(yù)見期的延長而降低。此外，90%預(yù)報(bào)區(qū)間也隨著預(yù)見期的延長均變寬，預(yù)報(bào)不確定性增大，但基本上可以包住實(shí)際流量，表明概率區(qū)間預(yù)報(bào)是可靠的，可以為水庫防洪調(diào)度決策提供更多的風(fēng)險(xiǎn)信息。

5.4轉(zhuǎn)移概率預(yù)報(bào)結(jié)果評價(jià)基于整個(gè)研究數(shù)據(jù)集（樣本數(shù)為707），從后驗(yàn)期望值預(yù)報(bào)的精度和概率預(yù)報(bào)的整體性能對CMHUP的轉(zhuǎn)移概率預(yù)報(bào)結(jié)果進(jìn)行評價(jià)，并與CHUP的結(jié)果進(jìn)行對比分析。從理論定義上講，CHUP描述的是k步流量狀態(tài)轉(zhuǎn)移H0→Hk（k=1，2，3）的不確定性，而CMHUP描述的則是單步流量狀態(tài)轉(zhuǎn)移Hk-1→Hk的不確定性。需要指出的是，預(yù)見期1 d時(shí)兩者結(jié)果是相同的，描述的都是狀態(tài)轉(zhuǎn)移H0→H1的不確定性，以下重點(diǎn)分析預(yù)見期2 d、3 d的情形。

圖5　三峽水庫20030705入庫流量預(yù)報(bào)不確定性隨時(shí)間的演變過程

圖6　三峽水庫“20160701”號入庫洪水流量實(shí)測值、期望值與90%置信區(qū)間

（1）后驗(yàn)期望值預(yù)報(bào)。三峽水庫預(yù)見期1～3 d的確定性預(yù)報(bào)與CHUP、CMHUP后驗(yàn)期望值預(yù)報(bào)結(jié)果的精度評價(jià)指標(biāo)R2和RE分別見表5。可以看出，相比確定性預(yù)報(bào)，CHUP、CMHUP后驗(yàn)期望值預(yù)報(bào)結(jié)果R2均有一定程度的提高，RE顯著地減小，而且CMHUP的后驗(yàn)期望值預(yù)報(bào)相比CHUP略有改善。由于三峽水庫的防洪庫容較大，水庫運(yùn)行調(diào)度主要受洪水總量控制，因而準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)徑流總量具有重要意義，相比于確定性預(yù)報(bào)而言，CHUP、CMHUP后驗(yàn)期望值預(yù)報(bào)在這方面顯示出了很大優(yōu)勢。還可以發(fā)現(xiàn)隨著預(yù)見期的延長，由于確定性預(yù)報(bào)精度的下降，導(dǎo)致CHUP、CMHUP后驗(yàn)均值預(yù)報(bào)的精度都相應(yīng)地降低。

表5　不同預(yù)見期的確定性預(yù)報(bào)與CHUP、CMHUP后驗(yàn)期望值預(yù)報(bào)結(jié)果比較（單位：%）

（2）概率預(yù)報(bào)。采用可靠性（α-index）、分辨率（π-index）和連續(xù)概率排位分?jǐn)?shù)（CRPS，確定性預(yù)報(bào)退化為平均絕對誤差MAE）等指標(biāo)來評定概率預(yù)報(bào)的整體性能［24-25］。CHUP、CMHUP不同預(yù)見期的α-index、π-index和CRPS等指標(biāo)值列于表6?？芍?，不同預(yù)見期的α-index值均大于0.9，表明概率預(yù)報(bào)結(jié)果可靠性高。此外，隨著預(yù)見期的延長，π-index值逐漸減小，概率預(yù)報(bào)的分辨率和精度降低，說明入庫流量的預(yù)報(bào)不確定性增加。

表6　不同預(yù)見期的CHUP、CMHUP概率預(yù)報(bào)評價(jià)指標(biāo)值比較

隨著預(yù)見期的延長，CHUP、CMHUP計(jì)算的綜合指標(biāo)CRPS值也呈現(xiàn)不斷增加的趨勢，意味著概率預(yù)報(bào)的性能和總體效果降低。然而，基于CHUP、CMHUP得到的概率預(yù)報(bào)CRPS值，始終小于相應(yīng)的確定性預(yù)報(bào)，彰顯了概率預(yù)報(bào)的有效性。而且，CMHUP相比于CHUP也有不同程度的改善，表明入庫流量單步狀態(tài)轉(zhuǎn)移的不確定性要低于多步轉(zhuǎn)移。CMHUP計(jì)算的預(yù)見期1～3 d的CRPS值相比于確定性預(yù)報(bào)分別降低11.58%、18.52%和23.33%。

5.5最大入庫流量超過概率分布函數(shù)根據(jù)樣本空間同時(shí)考慮入庫流量概率分布的特點(diǎn)，取累積概率超過0.9999的流量分位數(shù)值作為hk取值的上限hkmax=100 000 m3/s。因此，本文hk（k=1，2，3）的取值區(qū)間為10 100～100 000 m3/s，離散間距為100 m3/s，相應(yīng)的離散點(diǎn)據(jù)數(shù)為900。以預(yù)報(bào)時(shí)刻2003年7月5日（20030705）為例，對于給定的流量值h（離散取值和hk相同），根據(jù)計(jì)算的轉(zhuǎn)移概率預(yù)報(bào)結(jié)果，可以計(jì)算得到不同預(yù)見期內(nèi)最大入庫流量的超過概率分布函數(shù)超過概率分布曲線見圖7。

圖7　三峽水庫20030705不同預(yù)見期內(nèi)最大入庫流量超過概率分布曲線

從圖中可以讀取不同預(yù)見期和給定流量值h對應(yīng)的最大入庫流量超過概率，例如1 d內(nèi)最大入庫流量超過35 000 m3/s的概率，2 d內(nèi)最大入庫流量超過40 000 m3/s的概率3 d內(nèi)最大入庫流量超過50 000 m3/s的概率另外，還可以計(jì)算得到3 d內(nèi)最大入庫流量對應(yīng)的90%置信區(qū)間為［35100，56700］m3/s，提供了預(yù)見期時(shí)段內(nèi)最大入庫流量預(yù)報(bào)的不確定性和風(fēng)險(xiǎn)信息。

6　結(jié)論

本文提出了基于Copula函數(shù)的貝葉斯轉(zhuǎn)移預(yù)報(bào)（CBTF）方法和基于Copula函數(shù)的多變量水文不確定性處理器（CMHUP），進(jìn)而發(fā)展了基于Copula函數(shù)的貝葉斯極值預(yù)報(bào)（CBEF）方法。以三峽水庫為例進(jìn)行應(yīng)用，主要研究結(jié)論如下：（1）CBTF方法不需要進(jìn)行線性-正態(tài)假設(shè)，可以在原始流量數(shù)據(jù)空間給出貝葉斯后驗(yàn)轉(zhuǎn)移密度函數(shù)的解析表達(dá)式，能夠很好地捕捉流量過程的非線性和非正態(tài)特征，適用范圍更加廣泛。（2）CMHUP可以在給定當(dāng)前實(shí)測流量和確定性預(yù)報(bào)過程的條件下，更加靈活地給出考慮實(shí)際流量過程內(nèi)在相關(guān)性結(jié)構(gòu)的后驗(yàn)聯(lián)合概率密度函數(shù)，為分析水文預(yù)報(bào)不確定性在時(shí)間上的演變特征提供了有效工具。（3）CBEF方法給決策者提供了預(yù)見期時(shí)段內(nèi)最大入庫流量預(yù)報(bào)的不確定性和風(fēng)險(xiǎn)信息，對防洪預(yù)報(bào)預(yù)警和減災(zāi)具有重要的參考價(jià)值。

本文采用Copula函數(shù)取代原有基于正態(tài)分位數(shù)轉(zhuǎn)換和線性-正態(tài)假設(shè)的亞高斯模型，不僅在理論上存在優(yōu)勢，而且實(shí)用有效。然而，本文方法在假定實(shí)際流量過程服從一階馬爾科夫過程的基礎(chǔ)上推導(dǎo)得到，對于流量過程服從兩階及以上馬爾科夫過程的情形本文方法的思路仍然適用，但需要采用更高維的Copula函數(shù)，計(jì)算更加復(fù)雜，有待進(jìn)一步研究。另外，如何將定量降水預(yù)報(bào)不確定性與本文所提方法進(jìn)行耦合，估計(jì)轉(zhuǎn)移預(yù)報(bào)和極值預(yù)報(bào)的總不確定性，也需要進(jìn)一步探討。

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