基于本征正交分解的環(huán)境溫度分布快速預測模型研究

芮慶，王路瑤，José Alberto García Fernández，杜志敏，晉欣橋

（上海交通大學制冷與低溫工程研究院，上海 200240）

0 引言

人員感知的熱舒適度受到室內的空氣溫度和速度分布的影響，丹麥學者FANGER[1]指出，送風溫度過低將產生“冷感”，送風速度過高則給室內人員帶來“吹風感”。送風溫度和送風量不僅影響人員的熱舒適，兩者的設定值還分別影響著冷水機組和風機的能耗[2]。以冷水機組和風機等設備為主的空調系統(tǒng)能耗在建筑能耗中約占65%左右[3]。因此，良好的送風量或送風溫度控制策略將表現(xiàn)出可觀的節(jié)能潛力[4]。而任何控制策略都需要建立在保證室內人員熱舒適度的基礎之上，于是對室內溫度場的快速預測格外重要，室內的溫度分布將給送風溫度和送風量的動態(tài)優(yōu)化設定提供參考，幫助達到降低空調系統(tǒng)能耗的目的[5]。

計算流體力學（Computational Fluid Dynamics，CFD）模擬常用來預測溫度場分布[6]，CFD 能夠借助計算機的快速計算能力，離散求解流動控制方程[7-10]。劉巧玲等[11]使用Fluent 軟件研究了VAV 空調系統(tǒng)中溫度傳感器的布置位置對室內的溫度場和速度場的影響。徐培璠等[12]在TRNSYS-CFD 仿真平臺上研究了獨立新風系統(tǒng)的送風量對氣流組織和人員熱舒適度的影響。但使用CFD 模擬方法需要消耗大量的時間成本和計算成本。流動模擬過程將占用大量的存儲空間用于加載模擬軟件以及算例的網(wǎng)格數(shù)據(jù)，并將消耗大量的計算資源用于對流動及傳熱控制方程的離散迭代求解，因此要求計算設備有較高的硬件配置。

為了提高對溫度分布的模擬響應速度，減少流動模擬過程中占用的計算資源和內存空間，引入基于數(shù)據(jù)挖掘方法的本征正交分解（Proper Orthogonal Decomposition，POD）降階模型完成對建筑物內的熱環(huán)境模擬。POD 將提取數(shù)據(jù)集中所隱藏的各階特征模態(tài)，通過模態(tài)疊加來重構數(shù)據(jù)集所表征的高維物理場。聶春生等[13]使用POD 方法完成了對復雜外形飛行器熱環(huán)境的快速預測。陶文銓等[14]將正交分解技術運用到湍流問題中，非常準確和快速地得到問題的解。SAMADIANI 等[15]使用降階建模方法建立了數(shù)據(jù)中心的熱力模型，對數(shù)據(jù)中心內的熱環(huán)境進行了研究。相比于CFD 模擬，正交分解方法可以脫離流動模擬的軟件環(huán)境，占用極少的計算資源和內存，并能迅速地獲取室內的溫度場或速度場分布。

1 研究對象及其CFD模型

選擇某寫字樓中的一層辦公室房間作為研究對象，辦公室的東墻作為唯一的外墻體與室外環(huán)境換熱，其余墻體均為用于分隔的內墻，假設各房間的溫度設定同步，內墻兩側無熱量流動。該辦公室的空間大小為12.8 m×8.6 m×3.9 m，共設工位12 臺，每臺工位配置有辦公桌椅和散熱功率為150 W的臺式計算機，LED 平板燈工作時產生的燈光負荷納入天花板邊界。房間使用頂送頂回的VAV 空調系統(tǒng)，尺寸為0.5 m×0.5 m 的送風口和尺寸為1 m×0.5 m的回風口均內嵌于房間的天花板中。在建模過程中，將人員、桌椅和計算機簡化為對應大小的長方體，人員的散熱量按照靜坐狀態(tài)選為1MET。房間的三維空間布置如圖1所示。

圖1 辦公室房間布置三維視圖

房間的回風溫度為25 ℃，使用冷負荷系數(shù)法計算房間的空調冷負荷為7.3 kW。其中通過東墻傳入室內的逐時冷負荷曲線如圖所示，選取19 時的冷負荷558.24 W 設定為東墻的定熱流邊界條件。根據(jù)送風溫度的不同，設定6 個觀測狀態(tài)：8 ℃、10 ℃、12 ℃、14 ℃、16 ℃和18 ℃。由下式可知，空氣提供的冷量應和房間需要的冷負荷相等[16]。

在送風過程中，將低速空氣視為不可壓縮流體，并忽略空氣通過門窗產生的滲漏，假定圍護結構絕對密閉?？諝獾臏囟?、速度、壓強和其他物理量之間互相影響，它們的作用關系需要同時滿足兩個守恒條件：質量守恒和動量守恒。Navier-Stokes方程以數(shù)學解析形式描述了流體的這兩種約束條件[17]。

選擇標準k-ε雷諾平均N-S 方程模擬房間內的湍流運動，使用SIMPLE 算法對壓力和速度進行耦合求解[18]。流動仿真的各處邊界條件設置見表1。

式中：

ρ——體密度，kg/m3；

τ——時間參數(shù)，s；

V——速度矢量，m/s；

F——場中作用力矢量，N；

η——流體的動力粘度，N·s/m2；

div——散度算符；

Δ——Laplace 算子。

空氣的低速不可壓流動過程還需滿足對流傳熱能量微分方程[19]：

式中：

cp——流體的定壓比熱容，J/(kg·℃)；

T——流體溫度，℃；

λ——流體的導熱系數(shù)，W/(m·K)；

?——Nabla 算子。

表1 流動模擬的邊界條件設置

表2 CFD 仿真的觀測狀態(tài)設定

在網(wǎng)格創(chuàng)建和邊界條件設定后，設定如表2所示的6 組觀測狀態(tài)，使用CFD 軟件仿真得到建筑物內部流域的溫度場分布。圖2展示了不同的觀測狀態(tài)下，辦公室房間內Y=4.3 m 截面上的溫度分布情況。所有觀測狀態(tài)生成的溫度信息將用于本征正交分解模型的訓練。

圖2 觀測狀態(tài)下的溫度分布云圖

2 POD模型的建立

本征正交分解模型也被稱為POD 模型，它在觀測到的物理場分布的基礎上得到對應于歷史數(shù)據(jù)的一系列模態(tài)，CFD 模型生成的溫度場數(shù)據(jù)集將作為POD 模型的訓練樣本集。由于其基于數(shù)據(jù)的方法特性，產生的各階模態(tài)能夠很好地描述非線性系統(tǒng)，故POD 模型可以很好地適用于湍流流動的描述[20]?？梢酝ㄟ^對所得到的模態(tài)的使用更高效地預測物理場分布情況。假設第i次觀測到的物理場分布是Ti(x)，則可以將其表示為歷次觀測的物理場平均分布(x)和絕對偏差矩陣τ(x)之和：

絕對偏差矩陣τ(x)可以以關于模態(tài)?的無窮級數(shù)形式展開，c是對應于每個模態(tài)的模態(tài)系數(shù)?？紤]到實際應用的情況，截取并保留無窮級數(shù)中的前Ns項模態(tài)組成近似偏差矩陣?()xτ，并約束模態(tài)集滿足正交性條件：

為了提高模態(tài)截取過程的精度，前Ns項模態(tài)的選擇應使得近似偏差?()xτ和絕對偏差τ(x)間的誤差最小，選用二階范數(shù)構造誤差表達式，近似偏差矩陣中?k的確定應使的二范數(shù)最小：

因此，在對絕對偏差矩陣展開得到的無窮級數(shù)的選擇過程中，產生的截斷誤差可以表示為：

對于模態(tài)系數(shù)c，由模態(tài)滿足的正交性條件可以得到另一種表達形式：

將模態(tài)系數(shù)代入到截斷誤差中，并構造R=E(ττT)，則截斷誤差可寫作關于模態(tài)和偏差的形式：

因為模態(tài)集受正交性條件約束，所以模態(tài)?的選擇轉化為條件極值求解問題。使用拉格朗日乘數(shù)法構造拉格朗日函數(shù)L(?j)求解模態(tài)的截斷誤差極值：

式中j=Ns+ 1,Ns+ 2,…。

觀察R陣的性質，由R=E(ττT)可以得到：

即R是實對稱陣，由實對稱陣的性質可以得到：

故物理場的模態(tài)求解轉化成R陣的特征值問題，?k是R陣的特征向量。

特征值λ表征著對應模態(tài)在高維非線性系統(tǒng)中捕捉到的能量的大小[21]。在應用過程中，可以將特征值作為依據(jù)，按照應用情形設定的重構誤差閾值ε，在模態(tài)集中按照能量次序截取前Np階模態(tài)。

圖3 POD 模型的數(shù)據(jù)流圖

3 POD模型的訓練過程

選擇房間內Y=4.3 m 截面上的溫度分布數(shù)據(jù)集作為模型的訓練數(shù)據(jù)來源，截面尺寸為12.8 m× 3.9 m。圖中劃分的藍色單元格大小為0.128 m× 0.128 m，將每個節(jié)點作為一支虛擬溫度傳感器，經過6 次觀測，共獲得16,326 組溫度信息。在截面上選擇3 條觀測路線L1、L2、L3，如圖4所示，每條觀測路線上均分布著觀測節(jié)點，觀測節(jié)點的總數(shù)為180 個。不斷變換觀測狀態(tài)，獲取觀測節(jié)點上的溫度信息作為訓練數(shù)據(jù)集。通過遍歷觀測狀態(tài)對溫度信息進行迭代收集的流程如圖5所示。

圖4 觀測路線的設定示意圖

圖5 POD 訓練過程的數(shù)據(jù)流圖

將獲得的各觀測狀態(tài)的溫度數(shù)據(jù)存入觀測層矩陣T，得到：

經過POD 模型的訓練，得到當前溫度數(shù)據(jù)集空間的正交模態(tài)集合Φ和各個狀態(tài)的模態(tài)系數(shù)集合C：

其中，對應于各階正交模態(tài)的特征值按照能量大小排序如圖6所示，可以看出，前6 階特征值攜帶的能量急劇下降，前6 階特征值與其余階特征值在數(shù)量級上有著顯著的差別，并從第7 階開始，特征值攜帶的能量趨于穩(wěn)定。

假設對模態(tài)進行截取時，選擇前Np階模態(tài)用于訓練本征正交分解模型，定義POD 模型的重構誤差()Npδ用于衡量模態(tài)截取對溫度分布重構的準確度：

式中，m表示觀測狀態(tài)，n表示觀測節(jié)點。

從表3中可以看出，隨著Np的增加，模態(tài)截取產生的誤差逐漸減小，并且從第7 階模態(tài)開始，重構誤差()Npδ趨于收斂。計算前6 階模態(tài)對應的特征值在樣本的特征值集合中的能量占比：

故綜合考慮重構誤差和能量占比，選擇前6 階特征值對應的模態(tài)用于捕捉研究對象在流動和換熱過程中的溫度分布特性，并以截斷得到的前6 階模態(tài)構建POD 模型，用于房間對象的溫度場重構和溫度分布預測。

表3 模態(tài)截取后的重構誤差分析

圖6 按能量排序的POD 模型特征值

用于溫度場重構的前6 階特征值對應的模態(tài)分布如圖7所示。

圖7 前6 階POD 模態(tài)分布

在選定的6 階模態(tài)下，每次觀測狀態(tài)對應于每階模態(tài)的模態(tài)系數(shù)分布情況參見圖8。可以看出，有著較大能量占比的特征值對應的模態(tài)在溫度場重構中起到主要作用。

圖8 POD 模型的模態(tài)系數(shù)變化

4 POD模型的泛化分析

因為流動的連續(xù)性，全空間的溫度場模擬依賴于整體流域。即使僅僅關注觀測路線上的溫度分布，仍然需要對房間內的所有空間數(shù)值求解。也就是說，CFD 仿真方式存在著大量的信息冗余。

本征正交分解模型從數(shù)據(jù)中學習樣本空間的模態(tài)，在獲取模態(tài)之后，通過模態(tài)的疊加重構即可預測房間的溫度分布。

相比于重新設置邊界條件對離散的流動和傳熱方程進行CFD 求解的方式，POD 的模態(tài)重構將極大地節(jié)省預測時間和計算資源。

由Karhunen-Loeve 分解的數(shù)學推理過程可知，模態(tài)截斷是POD 模型的誤差來源。設定一組測試狀態(tài)Mtest用于校驗POD 模型預測溫度分布時的泛化能力。

圖9給出了在送風溫度為11 ℃的測試狀態(tài)下，觀測點位置上使用POD 模型預測得到的溫度分布和通過CFD 仿真方式得到的溫度分布。圖10展示了在5 種測試狀態(tài)下，相比較于CFD 模型，使用POD 模型生成溫度分布時所產生的泛化誤差。

分析5 種測試狀態(tài)下使用POD 模型預測溫度分布所產生的預測誤差，計算泛化誤差的標準差和方差分布如表4所示。

圖9 POD 預測和CFD 仿真結果對比（送風溫度11 ℃）

圖10 POD 模型的泛化誤差分析

表4 POD 模型的泛化誤差

用于流場仿真和POD 模型泛化的計算機配置有Pentium?Dual-Core CPU，頻率為2.80 GHz，內存2,048 MB。通過CFD 仿真的方式獲取房間內的溫度場，每步迭代需要傳遞5.382 MB 的網(wǎng)格數(shù)據(jù)，平均每次仿真用時92.76 s。POD 模型每次需要加載模態(tài)信息，6 個模態(tài)數(shù)據(jù)占用的內存大小為13.1 KB，平均每次泛化用時為6.204 ms。

POD 模型在測試樣本空間中的泛化準確度ε表示為：

在5 組測試狀態(tài)中，ε≈95.3%，其溫度場預測的準確度接近基于流動控制方程離散求解的結果。需要注意的是，POD 模型的計算速度遠遠超出對流動和傳熱方程離散迭代求解的速度。也就是說，POD 模型不僅在訓練數(shù)據(jù)之外的樣本空間中有著良好的泛化能力，同時該途徑的溫度場預測過程需要的計算成本和內存成本非常微小。因此，相比于CFD 仿真的方式，基于Karhunen-Loeve 分解的本征正交分解模型表現(xiàn)出更高效的溫度場預測性能。

5 結論

本文提出了使用本征正交分解模型用于預測房間內指定位置上溫度分布的方法，并將預測結果和通過流動及傳熱仿真得到的溫度分布進行對比分析。使用6 組觀測狀態(tài)數(shù)據(jù)作為POD 模型的學習樣本，從中獲得當前研究對象在流動和傳熱過程中的各階模態(tài)，用于溫度場的重構預測。設定測試狀態(tài)檢驗數(shù)據(jù)驅動型的POD 溫度預測模型的泛化能力，結果顯示，POD 模型能夠比較精確地描述研究對象的流動和換熱過程，從而表現(xiàn)出良好的溫度分布預測準確度，同時，POD 模型直接使用從訓練樣本中提取到的模態(tài)數(shù)據(jù)用于溫度場的重構，跳過了對流動及傳熱控制方程的離散差分和在指定誤差限內的迭代求解過程，因此具有更加快速的預測響應速度和更少的內存空間。由于使用了基于Karhunen-Loeve 分解的數(shù)據(jù)挖掘方法，POD 模型具有廣泛的通用性，本征正交分解作為數(shù)據(jù)驅動型的溫度預測方法，可以在不同的研究對象上被擴展和使用，不僅能使溫度分布預測過程更加敏捷，更增加在物聯(lián)網(wǎng)環(huán)境下移植此種預測方式至智能硬件上的可行性。