基于博弈論和D-S證據(jù)理論的城市防洪標(biāo)準(zhǔn)方案決策優(yōu)選方法

鄒　強(qiáng)，胡向陽，李文俊

(長江勘測規(guī)劃設(shè)計(jì)研究有限責(zé)任公司 水利規(guī)劃研究院，武漢 430010)

0　引　言

城市防洪是大多數(shù)城市防御自然災(zāi)害面臨的首要問題，在海綿城市建設(shè)背景下，全國城市防洪安全問題受到密切關(guān)注，城市防洪標(biāo)準(zhǔn)確立及防洪工程體系構(gòu)筑的重要性日益凸顯。城市防洪標(biāo)準(zhǔn)為系統(tǒng)運(yùn)用工程措施和非工程措施后防御大洪水的能力，通常表達(dá)為所能防御的洪水頻率或其重現(xiàn)期[1]。而城市防洪標(biāo)準(zhǔn)方案決策優(yōu)選是城市防洪規(guī)劃的首要問題，也是城市洪災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)管理的重要環(huán)節(jié)，其實(shí)質(zhì)是遵循政治、社會、經(jīng)濟(jì)和環(huán)境效益綜合最優(yōu)原則來構(gòu)建綜合評價(jià)指標(biāo)體系，從有限的城市防洪方案標(biāo)準(zhǔn)集中選出相對最優(yōu)方案[2,3]。該復(fù)雜決策過程呈現(xiàn)多目標(biāo)、多階段、多層次特征，且指標(biāo)體系存在模糊、隨機(jī)、未確知等不確定性，其關(guān)鍵在于指標(biāo)權(quán)重的綜合確定和不確定性的有效處理[4-6]。

針對綜合權(quán)重的確定，常規(guī)計(jì)算手段是首先分別獲得反映決策者意念的主觀權(quán)重和反映數(shù)據(jù)分布規(guī)律的客觀權(quán)重，然后依據(jù)加法法則、乘法法則等處理基本主客觀權(quán)重，以獲得綜合權(quán)重[1,6]。但隨著研究的深入以及各種權(quán)重計(jì)算方法的提出，比如層次分析法[1]、二元分析法[3]及其改進(jìn)等主觀權(quán)重計(jì)算方法，以及投影尋蹤[4]、熵值法[6]及其改進(jìn)等客觀權(quán)重計(jì)算方法，不同權(quán)重賦值途徑各異，有必要針對不同方法的權(quán)重結(jié)果開展有效地博弈集結(jié)，來綜合利用各方面的指標(biāo)權(quán)重信息[7]。而博弈論正好能較好地解決該問題，通過極小化綜合權(quán)重與各種基本權(quán)重之間的偏差，獲得較為一致的最滿意權(quán)重或綜合權(quán)重[7,8]。另一方面，城市防洪標(biāo)準(zhǔn)方案決策優(yōu)選方法較多，如模糊綜合評價(jià)模型[2,3]、投影尋蹤模型[4]、最大熵評價(jià)模型[5]、熵權(quán)與改進(jìn)理想解法耦合模型[6]等，各種方法都有各自的優(yōu)點(diǎn)和不足。比如投影尋蹤模型中窗寬選取有進(jìn)一步優(yōu)化的空間；模糊綜合評價(jià)模型中隸屬度函數(shù)的選取具有人為主觀性；相關(guān)方法與智能優(yōu)化算法結(jié)合時(shí)，不易編程實(shí)現(xiàn)；且上述方法都存在一定程度的不確定性，如何克服人為主觀的干擾、降低評估結(jié)果的不確定性亟待研究。而D-S證據(jù)理論可通過數(shù)據(jù)融合來充分利用各種信息，減少評價(jià)過程中的不確定性[9]，已成功應(yīng)用到投資決策[10]、安全評估[11,12]和水庫調(diào)度評價(jià)[13]等決策問題。

為此，本文嘗試將博弈論和D-S證據(jù)理論應(yīng)用到城市防洪標(biāo)準(zhǔn)方案優(yōu)選中，來有效處理復(fù)雜決策過程中存在的權(quán)重計(jì)算、不確定性處理等難點(diǎn)，以提高評價(jià)信息的利用率和降低評價(jià)的不確定性，最終實(shí)現(xiàn)方案優(yōu)劣排序。實(shí)例研究驗(yàn)證了提出方法的適用性和有效性，提高了城市防洪標(biāo)準(zhǔn)方案決策優(yōu)選的合理性和科學(xué)性，具有良好的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

1　基于博弈論的綜合權(quán)重確定

首先，分別采用主觀、客觀共K種不同方法計(jì)算權(quán)重，得到m個(gè)評價(jià)指標(biāo)的權(quán)重向量：

ωk=[ωk1,ωk2,…,ωkj,…,ωkm]

(1)

k=1,2,…,K,j=1,2,…,m

這樣可構(gòu)造K種評價(jià)方法的權(quán)重矢量場{ω1,ω2,…,ωk}?，F(xiàn)通過權(quán)重矢量場的任意線性組合系數(shù)α*=[α1,α2,…,αK]來獲得ω*，以有機(jī)集化、融合各種方法的權(quán)重信息：

(2)

然后，依據(jù)博弈論，在各種指標(biāo)權(quán)重之間尋找協(xié)調(diào)、均衡、妥協(xié)，可使ω*與各種ωk之間的各自偏差達(dá)到最小。也就是說，必存在一個(gè)最滿意的線性組合，使得ω*與ωk(k=1,2,…,K)的離差最小，便可導(dǎo)出以下多目標(biāo)博弈集合模型：

(3)

根據(jù)矩陣的微分性質(zhì)，得到上述模型的最優(yōu)化一階導(dǎo)數(shù)條件：

(4)

其次，為方便分析，式(4)對應(yīng)的矩陣形式表達(dá)為：

(5)

求解式(5)，可得線性組合系數(shù)α*=[α1,α2,…,αK]。通常情況下α*均是正值；但若為負(fù)值，則將其取絕對值轉(zhuǎn)換為正值，并對作如式(6)的規(guī)格化處理[7]：

(6)

最終綜合權(quán)重計(jì)算公式如下：

(7)

2　D-S證據(jù)理論

2.1　D-S證據(jù)理論基本定義

D-S證據(jù)理論(Dempster-Shafer Evidence Theory)是一種不確定性處理方法，率先于20世紀(jì)60年代由Dempster提出，后來由其學(xué)生Shafer系統(tǒng)地補(bǔ)充和完善[9]。D-S證據(jù)理論的核心內(nèi)容是可有效表征不確定事件的不確定性度量，并通過不確定性的推理和融合以達(dá)到降低不確定性、提高決策精度的目的[10-13]。以下給出D-S證據(jù)理論的相關(guān)概念[10]：

(1)定義1(識別框架)。Θ為一識別框架，是關(guān)于命題的所有相互獨(dú)立的一個(gè)有限集合或可能答案，并且假設(shè)所有可能的答案中有且只有一個(gè)是正確的。

(4)定義4(證據(jù)合成法則)。對于?A?Θ，證據(jù)m1,m2,…,mn為Θ下的Mass函數(shù)，則對于兩個(gè)及多個(gè)Mass函數(shù)合成法則為：

(m1⊕m2⊕…⊕mn)(A)=

(8)

2.2　Mass函數(shù)的確定

Mass函數(shù)是D-S證據(jù)理論的運(yùn)算基礎(chǔ)，本文結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)法來計(jì)算Mass函數(shù)[11,13]。設(shè)城市防洪標(biāo)準(zhǔn)方案集共n個(gè)，記為X={A1,…,Ai,…,An}；各方案均有m個(gè)評價(jià)指標(biāo)，記為I={I1,…,Ij,…,Im}；第i個(gè)方案的j指標(biāo)的特征值為xij，則評價(jià)決策矩陣記為X={xij}n×m。由于各評價(jià)指標(biāo)量綱各異，需對原始特征值xij進(jìn)行規(guī)范化處理。若為效益型指標(biāo)，采取式(9)；若為成本型指標(biāo)，采取式(10)：

(9)

(10)

式中：yij為xij的規(guī)范化值，有0≤yij≤1，得到無量綱決策矩陣Y=(yij)n×m。在此基礎(chǔ)上，將博弈論確定的綜合權(quán)重ω*代入到Y(jié)，得到加權(quán)決策矩陣U=(uij)n×m：

(11)

以正理想方案A+和負(fù)理想方案A-作為灰色關(guān)聯(lián)分析的參考數(shù)列：

(12)

可見，正理想方案是指標(biāo)均為最大值時(shí)的方案；負(fù)理想方案是指標(biāo)均為最小值時(shí)的方案。進(jìn)一步，根據(jù)灰色關(guān)聯(lián)分析，以正、負(fù)理想方案作為參考數(shù)列，將方案Ai作為被比較數(shù)列，構(gòu)建Ai與A+和A-關(guān)于指標(biāo)Ij的關(guān)聯(lián)系數(shù)分別為：

(13)

(14)

在正、負(fù)灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣的基礎(chǔ)上，由式(16)得到綜合灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)R=(rij)n×m為[11]：

(15)

指標(biāo)j下的q階不確定度計(jì)算公式為：

(16)

式中，一般取q=2，rij為綜合灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)。則各指標(biāo)下不同方案的Mass函數(shù)為：

mj(i)=[1-DOI(Ij)]×uij

(17)

(18)

2.3　Mass函數(shù)的調(diào)整

確定Mass函數(shù)后，將依據(jù)證據(jù)合成法則式(8)進(jìn)行融合推理。但由于證據(jù)集中各指標(biāo)的權(quán)重各異，需理清關(guān)鍵指標(biāo)和非關(guān)鍵指標(biāo)的區(qū)別，而不能在證據(jù)合成時(shí)均等對待，即強(qiáng)化關(guān)鍵指標(biāo)的作用，對證據(jù)引入可信度系數(shù)處理，來表征各項(xiàng)證據(jù)的可信程度，則修正調(diào)整的Mass函數(shù)為[12]：

(19)

(20)

最終應(yīng)用證據(jù)合成法則對M進(jìn)行融合，并依據(jù)信度函數(shù)對方案排序優(yōu)選[10-13]。

3　基于博弈論和D-S證據(jù)理論的方案決策優(yōu)選方法

結(jié)合博弈論確定綜合權(quán)重、D-S證據(jù)理論中Mass函數(shù)確定和融合的詳細(xì)過程，以下是基于博弈論和D-S證據(jù)理論的城市防洪標(biāo)準(zhǔn)方案決策優(yōu)選的詳細(xì)步驟：

(1)依據(jù)城市防洪標(biāo)準(zhǔn)方案，確定評價(jià)決策矩陣X=(xij)n×m，并由式(9)或(10)對指標(biāo)進(jìn)行規(guī)范化處理，形成無量綱決策矩陣Y=(yij)n×m。

(2)由不同方法得到評價(jià)指標(biāo)的主觀、客觀兩類權(quán)重，依據(jù)博弈論，由式(1)～(7)得到評價(jià)指標(biāo)的綜合權(quán)重ω*。

(3)由式(11)得到加權(quán)決策矩陣U=(uij)n×m，并由式(12)得到正、負(fù)理想方案A+和A-。

(4)由式(13)和(14)得到正、負(fù)灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣R+和R-，并由(15)得到綜合灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣R，進(jìn)而由(16)得到指標(biāo)j下的不確定度DOI(Ij)。

(6)運(yùn)用證據(jù)合成法則(8)，對所有Mass函數(shù)組成的矩陣M進(jìn)行融合。

(7)依據(jù)融合后置信函數(shù)值對城市防洪標(biāo)準(zhǔn)方案集進(jìn)行優(yōu)劣排序。

4　實(shí)例研究

4.1　評價(jià)指標(biāo)

為驗(yàn)證提出方法的可行性和有效性，以中國南方某重點(diǎn)城市的防洪標(biāo)準(zhǔn)方案決策優(yōu)選問題開展研究。該城市非農(nóng)業(yè)人口共368萬人，在1915年曾發(fā)生過800年一遇的特大洪水，造成了非常嚴(yán)重的洪災(zāi)損失。綜合考慮政治、社會、經(jīng)濟(jì)和生態(tài)環(huán)境效益等多方面因素，建立了該城市200、300、500和800年一遇的防洪標(biāo)準(zhǔn)方案集，其評價(jià)指標(biāo)體系及其規(guī)范化特征值詳見表1[4-6]?，F(xiàn)給出基于博弈論和D-S證據(jù)理論的城市防洪標(biāo)準(zhǔn)方案決策過程。

4.2　計(jì)算分析

(1) 由表1，該城市防洪標(biāo)準(zhǔn)方案集包括4個(gè)方案，12個(gè)評價(jià)指標(biāo)，即n=4，m=12，形成無量綱決策矩陣Y=(yij)4×12。

(2) 通過廣泛查閱該實(shí)例研究的研究文獻(xiàn)并歸納匯總，獲取了層次分析法(AHP)[4,5]、二元對比法[5,6]、基于加速遺傳算法的改進(jìn)層次分析法(AGA-AHP)[1,4,5]、基于加速遺傳算法的投影尋蹤模型(AGA-PP)[1,4]、熵權(quán)法[6]共5種不同方法的權(quán)重，詳見表2。

表1　城市防洪標(biāo)準(zhǔn)方案集及其規(guī)范化評價(jià)指標(biāo)一覽表Tab.1 Urban flood control standard schemes and their standardized evaluation indexes

表2　不同方法的評價(jià)指標(biāo)權(quán)重Tab.2 Weights of the evaluation indexes by different methods

由表2可知，既有AHP、二元對比法和AGA-AHP這3個(gè)主觀賦權(quán)方法，又有AGA-PP、賦權(quán)法這2個(gè)客觀賦權(quán)方法。顯然，指標(biāo)權(quán)重直接影響決策優(yōu)選結(jié)果，如果只是采用上述一種方法而忽視了其他評價(jià)方法的計(jì)算權(quán)重，評價(jià)結(jié)果有失全面性和科學(xué)性，尚需開展以上多種權(quán)重結(jié)果的有效融合，為此，本次采用博弈論來確定綜合指標(biāo)權(quán)重，以有機(jī)結(jié)合和全面利用各種權(quán)重信息。

由式(5)和(6)得到線性組合系數(shù)：

α*=[α1,α2,…,α5]=

[0.140 7, 0.324 9, 0.277 1, 0.115 0, 0.142 3]

可通過α*線性組合賦權(quán)方式(7)，最終的綜合權(quán)重為：

ω*=[0.103, 0.093, 0.111, 0.114, 0.150, 0.059,

0.071,0.068,0.062,0.062,0.058,0.047]

(3) 由式(11)～(12)確定正、負(fù)理想方案A+和A-：

(4) 由式(13)～(16)得到各指標(biāo)的不確定度：

DOI(I1)=0.133,DOI(I2)=0.139,DOI(I3)=0.132,

DOI(I4)=0.138,DOI(I5)=0.134,DOI(I6)=0.221,

DOI(I7)=0.135,DOI(I8)=0.133,DOI(I9)=0.145,

DOI(I10)=0.126,DOI(I11)=0.132,DOI(I12=0.127)

(5) 由式(17)～(20)，形成方案集決策優(yōu)選的Mass函數(shù)矩陣M：

其中，整體不確定度的Mass函數(shù)為：

(6) 令識別框架Θ={A1,A2,A3,A4}，并取2Θ={{A1},{A2},{A3},{A4},{A1,A2,A3,A4}}，依據(jù)式(8)的證據(jù)合成法則，得到合成后Θ內(nèi)各子集的信度函數(shù)分別為：

bel(A1)=(m1⊕m2⊕…⊕m12)(A1)=0.161 4

bel(A2)=(m1⊕m2⊕…⊕m12)(A2)=0.215 9

bel(A3)=(m1⊕m2⊕…⊕m12)(A3)=0.220 4

bel(A4)=(m1⊕m2⊕…⊕m12)(A4)=0.383 6

bel(A1,A2,A3,A4)=

(m1⊕m2⊕…⊕m12)(A1,A2,A3,A4)=0.018 7

根據(jù)信度函數(shù)最大化原則，對4個(gè)城市防洪標(biāo)準(zhǔn)方案A1,A2,A3,A4，其決策優(yōu)選排序結(jié)果為A4>A3>A2>A1。這與模糊綜合評價(jià)模型[2,3]、投影尋蹤模型[4]、最大熵評價(jià)模型[5]、熵權(quán)與改進(jìn)理想解法耦合模型[6]等方法的排序結(jié)果是完全一致的，均認(rèn)為方案4為最佳方案，即該城市防洪標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)確定為800年一遇。

進(jìn)一步，分析比較可知，在信息融合過程中，整體不確定性的信度值由最初的平均值54.77%降低到1.87%，表明通過D-S證據(jù)理論處理方案集決策優(yōu)選問題時(shí)，可顯著降低信息的不確定性，提高科學(xué)決策水平，具有很好的可行性和有效性。

5　結(jié)　論

本文提出了一種基于博弈論和D-S證據(jù)理論的城市防洪標(biāo)準(zhǔn)方案決策優(yōu)選方法，具有兩方面優(yōu)勢：①兼顧主、客觀兩類權(quán)重的優(yōu)點(diǎn)，引入博弈論將多種主客觀權(quán)重結(jié)果進(jìn)行均衡融合，使得評價(jià)指標(biāo)的綜合權(quán)重更具科學(xué)性和全面性；②將D-S證據(jù)理論應(yīng)用于決策優(yōu)選過程中，通過不確定信息的精確描述和推理合成，來顯著降低信息的不確定性和提高決策的科學(xué)合理性，并依據(jù)可信度函數(shù)來實(shí)現(xiàn)決策排序。實(shí)例研究驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性，為城市防洪標(biāo)準(zhǔn)方案決策提供了一種科學(xué)合理而又行之有效的工具。

當(dāng)然，建立具有普適性且能全面貫徹海綿城市建設(shè)要求的城市防洪標(biāo)準(zhǔn)綜合評價(jià)指標(biāo)體系，一直是學(xué)術(shù)界和工程界的難點(diǎn)問題，將在下一步重點(diǎn)研究；隨著D-S證據(jù)理論研究的不斷深入，應(yīng)針對證據(jù)高沖突下證據(jù)合成法則有效改進(jìn)開展具體研究，以進(jìn)一步提高對不確定性的診斷能力。

□

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