永磁同步電機(jī)的分?jǐn)?shù)階建模方法

那景童 張旭秀

摘 要：將永磁同步電機(jī)（permanent magnet synchronous motor，PMSM）整數(shù)階模型推廣到分?jǐn)?shù)階，構(gòu)造結(jié)構(gòu)相同的分?jǐn)?shù)階電機(jī)模型。針對(duì)整數(shù)階電機(jī)模型，基于遺傳算法設(shè)計(jì)最優(yōu)PID控制器，將所設(shè)計(jì)最優(yōu)PID控制器作用于分?jǐn)?shù)階模型。通過調(diào)節(jié)分?jǐn)?shù)階模型分?jǐn)?shù)階次可得到電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)的一簇階躍響應(yīng)曲線，選取該簇曲線中動(dòng)靜態(tài)特性相對(duì)最好的曲線所對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階次作為永磁同步電機(jī)的分?jǐn)?shù)階模型階次，從而構(gòu)造出永磁同步電機(jī)的分?jǐn)?shù)階模型。通過軟件仿真和結(jié)果分析可得本文所構(gòu)造的分?jǐn)?shù)階永磁同步電機(jī)模型具有更好的動(dòng)靜態(tài)特性和描述效果。

關(guān)鍵詞：電機(jī)模型;分?jǐn)?shù)階模型;最優(yōu)PID;調(diào)速系統(tǒng);動(dòng)靜態(tài)特性中圖分類號(hào)：TP203

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0 引 言

永磁同步電機(jī)因其高可靠性、高效率和快速動(dòng)態(tài)響應(yīng)等諸多優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于機(jī)器人、醫(yī)療設(shè)備、汽車電子等領(lǐng)域[1-3]。在工業(yè)控制領(lǐng)域，大多數(shù)運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)屬于多慣量系統(tǒng)，有研究發(fā)現(xiàn)在多慣量系統(tǒng)的建模中，其模型適當(dāng)?shù)碾A次往往不是整數(shù)，而是在兩個(gè)臨近的整數(shù)之[4，5]。同時(shí)研究表明，實(shí)際電容和電感具有分?jǐn)?shù)階特性[6]，既然像電容和電感這類儲(chǔ)能元件屬于分?jǐn)?shù)階的，那么包含電容、電感等儲(chǔ)能元件的電機(jī)應(yīng)該也屬于分?jǐn)?shù)階的，因此采用分?jǐn)?shù)階微積分建立電機(jī)的數(shù)學(xué)模型能夠更加細(xì)膩的刻畫其動(dòng)態(tài)行為，更為準(zhǔn)確的描述其屬性特征[7]。

隨著對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分的不斷深入研究以及人們對(duì)于分?jǐn)?shù)階的認(rèn)識(shí)和接受，開始逐漸意識(shí)到整數(shù)階系統(tǒng)只是分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的一個(gè)特例[8]。因此，基于該從屬關(guān)系可以得到一個(gè)事實(shí)，能夠采用整數(shù)階微積分描述的系統(tǒng)，分?jǐn)?shù)階微積分肯定能夠描述，進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，采用分?jǐn)?shù)階微積分描述的一些系統(tǒng)特性，用整數(shù)階微積分來描述將會(huì)變得非常復(fù)雜或根本無法得到準(zhǔn)確的整數(shù)階系統(tǒng)模型[9，10]。所以，本文將永磁同步電機(jī)的整數(shù)模型推廣到分?jǐn)?shù)階模型，具有理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，是未來發(fā)展的趨勢(shì)。

1 永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型與普通同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型基本相同，其數(shù)學(xué)模型包括電機(jī)的電壓方程、轉(zhuǎn)矩方程和運(yùn)動(dòng)方程[11]，其具體建模過程可參考文獻(xiàn)[11]。這里給出本文所采用的永磁同步電機(jī)等效電路如圖1所示。

從圖4和圖5可以看出，將整數(shù)階積分環(huán)節(jié)和整數(shù)階慣性環(huán)節(jié)階次推廣到分?jǐn)?shù)階次可以加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度、使得系統(tǒng)的上升時(shí)間更快。那么在相同控制器作用下，分?jǐn)?shù)階模型應(yīng)具有更好的控制效果。

2.3 永磁同步電機(jī)的分?jǐn)?shù)階階次獲取

2.3.1 分?jǐn)?shù)階階次獲取步驟說明

永磁同步電機(jī)分?jǐn)?shù)階模型的分?jǐn)?shù)階次ζ和θ選取步驟如下：

①保持最優(yōu)PID控制器參數(shù)：Kp= 30.5145，

Ki=2 3.9175，Kd= 10.59值不變，采用永磁同步電機(jī)的分?jǐn)?shù)階模型即式（3）代替整數(shù)階模型式（2），得到由PID控制器十分?jǐn)?shù)階模型組成的控制系統(tǒng)。

②在仿真平臺(tái)，采用階躍信號(hào)測(cè)試該控制系統(tǒng)，通過調(diào)節(jié)ζ和θ值，得到一簇PID控制器十分?jǐn)?shù)階模型的閉環(huán)速度單位階躍響應(yīng)曲線

③選取動(dòng)靜態(tài)特性相對(duì)最好的曲線所對(duì)應(yīng)的ζ和θ值作為永磁同步電機(jī)的分?jǐn)?shù)階模型分?jǐn)?shù)階階次。

由于永磁同步電機(jī)的整數(shù)階模型階次為2，1，分?jǐn)?shù)階模型階次應(yīng)該在整數(shù)階模型附近[16]，才能不改變?cè)姍C(jī)模型的特性，那么本文將ζ和θ值得取值范圍定為[0.65，1.45]和[0.7，1.5]，相應(yīng)地分?jǐn)?shù)階模型的ζ+θ階次取值范圍為[1.35，2.95]，這樣就將分?jǐn)?shù)階模型在原模型附近的階次都囊括在內(nèi)，表2給出了本文分?jǐn)?shù)階模型階次的具體取值情況。

2.3.2 分?jǐn)?shù)階模型確定具體細(xì)節(jié)說明

如表2所示，這里列出25種ζ和θ值的組合情況，也就是說本文給出的永磁同步電機(jī)的分?jǐn)?shù)階模型有25個(gè)，確定分?jǐn)?shù)階模型的具體細(xì)節(jié)如下：

①將這25個(gè)分?jǐn)?shù)階模型按行分成5組，每組固定ζ值不變，通過五列θ對(duì)應(yīng)的不同取值，即每組可產(chǎn)生5個(gè)分?jǐn)?shù)階模型。

②通過仿真繪制出每組最優(yōu)器PID參數(shù)十分?jǐn)?shù)階模型的閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線圖，那么可以得到5幅PID控制器十分?jǐn)?shù)階模型的閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線圖，每幅圖中包含5條曲線，選擇每幅圖中最優(yōu)的一條曲線所對(duì)應(yīng)的階次作為永磁同步電機(jī)的分?jǐn)?shù)階模型，便可得到五個(gè)最優(yōu)分?jǐn)?shù)階模型。

③最后將這五個(gè)分?jǐn)?shù)階模型進(jìn)行對(duì)比，選擇其中最優(yōu)的一條作為最終永磁同步電機(jī)的分?jǐn)?shù)階模型。這里最優(yōu)曲線的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)為：每條曲線的上升時(shí)間、超調(diào)、調(diào)節(jié)時(shí)間和ITAE（Integral Time Av-erage Error）值其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式（7）中，e（t）為輸入輸出誤差的絕對(duì)值;T為

控制系統(tǒng)輸出信號(hào)跟蹤上輸入信號(hào)時(shí)間，ITAE作為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)之一涉及快速性、準(zhǔn)確性、穩(wěn)定性能夠很好的評(píng)價(jià)控制系統(tǒng)的性能。

2.3.3 建立分?jǐn)?shù)階模型仿真實(shí)例

舉例說明，下面圖6給出了表2第三行，即第三組ζ=1.05時(shí)，通過每列對(duì)應(yīng)0的不同取值，所得五條PID控制器十分?jǐn)?shù)階模型的閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線：

由圖6可得，曲線2對(duì)應(yīng)的θ=0.9的ITAE值最小，同時(shí)考慮到上升時(shí)間、超調(diào)和調(diào)節(jié)時(shí)間相對(duì)較小符合系統(tǒng)控制要求，因此選取θ=0.9所對(duì)應(yīng)的ζ和θ值作為永磁同步電機(jī)的分?jǐn)?shù)階模型階次，即：

ζ = 1.05，θ=0.9。

按照同樣方法選取其余4組最優(yōu)ζ和θ值，具體選取過程在這里不再贅述，下面給出其余四組中最優(yōu)ζ和θ值，分別為：

（0.65，1.3），（0.85，1.3），（1.25，0.9），（1.45，0.7）

將這5條曲線對(duì)應(yīng)的ζ和θ值代入式（3）中得到如下5個(gè)永磁同步電機(jī)的分?jǐn)?shù)階模型，即：

圖7繪制出了PID控制器十分?jǐn)?shù)階模型（式（8）一（12））的閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線，其中G_f1- G_f5是五條最優(yōu)分?jǐn)?shù)階模型。

為了進(jìn)一步比較，表3列出了5條曲線的閉環(huán)速度單位階躍響應(yīng)性能比較。

通過表3可得，最優(yōu)五組曲線中，曲線2所對(duì)應(yīng)的ITAE值最小，此時(shí)曲線2對(duì)應(yīng)的ζ=0.85、θ= 1.3，因此得到最終本文所選取的永磁同步電機(jī)的分?jǐn)?shù)階模型為：

2.4 最優(yōu)的分?jǐn)?shù)階模型與整數(shù)階模型比較

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文所選永磁同步電機(jī)的分?jǐn)?shù)階模型存在意義，這里針對(duì)PID+電機(jī)分?jǐn)?shù)階模型（9）和PID+整數(shù)階模型（2）進(jìn)行閉環(huán)系統(tǒng)階躍信號(hào)測(cè)試，如圖8所示

從圖8可看出，在同種控制器作用下，分?jǐn)?shù)階電機(jī)模型較傳統(tǒng)整數(shù)階模型，可提高整個(gè)控制系統(tǒng)的控制品質(zhì)。

下面對(duì)本文所構(gòu)造的分?jǐn)?shù)階永磁同步電機(jī)模型和原整數(shù)階模型進(jìn)行頻域特性對(duì)比和分析，圖9給出了式（3）和式（9）在控制器（5）作用下的開環(huán)頻率特性曲線。

圖9對(duì)比可看出，在同樣控制器作用下分?jǐn)?shù)階電機(jī)模型與整數(shù)階模型幅值特性無明顯差異，而分?jǐn)?shù)階模型具有更大的穩(wěn)定裕量。因此可得，本文所提的分?jǐn)?shù)階電機(jī)模型具有更好的頻域特性。

3 結(jié)束語

給出了一種永磁同步電機(jī)的分?jǐn)?shù)階建模方法，將傳統(tǒng)整數(shù)階電機(jī)模型推廣到分?jǐn)?shù)階次，基于整數(shù)階電機(jī)模型設(shè)計(jì)控制器，在同種控制器作用下分別對(duì)整數(shù)階電機(jī)模型和分?jǐn)?shù)階電機(jī)模型進(jìn)行仿真研究。仿真結(jié)果表明，分?jǐn)?shù)階電機(jī)模型具有更好的控制性能，以及頻域特性，從而證明所給方法的有效性。

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