數(shù)學(xué)是講道理的

薛正檜

導(dǎo)讀：

有理才能讓孩子信服，我們要教有道理的數(shù)學(xué)。本文以俞正強(qiáng)老師“除法豎式”為例，以片斷賞析的形式介紹了三個(gè)策略，即數(shù)學(xué)的道理可以在問題的發(fā)現(xiàn)中萌芽，數(shù)學(xué)的道理可以在過程的描述中呈現(xiàn)，數(shù)學(xué)的道理可以在材料的更新中彰顯。

聽俞正強(qiáng)老師的課，你會(huì)被他幽默風(fēng)趣的語言所吸引，被他夸張、搞笑的肢體動(dòng)作所折服。他的課堂看上去節(jié)奏很慢，慢得會(huì)讓你有一種錯(cuò)覺：這不是課堂，僅僅是一次拉家常。但細(xì)細(xì)品起來，你又會(huì)感覺余音繞梁、回味無窮。他會(huì)在我們習(xí)以為常的、沒有風(fēng)景的地方找到風(fēng)景，在我們感覺理所當(dāng)然的、無需闡述的地方挖出內(nèi)涵，然后以“種子”的力量敘說數(shù)學(xué)的每一個(gè)據(jù)、每一個(gè)理。再聽“除法豎式”一課，這種感覺愈加強(qiáng)烈。

【片斷一】有問題好，還是沒問題好？

師：有一天，我給二年級(jí)的小朋友上課，大家看——這是加法的橫式、加法的豎式、減法的橫式……除法的橫式、除法的豎式。我們都會(huì)了是吧？（注：上課的是三年級(jí)學(xué)生）對(duì)，我在給二年級(jí)小朋友上這個(gè)除法豎式的時(shí)候，他們的意見很大。你猜他們有什么意見啊？

生：猜不到。

生：可能他覺得，這個(gè)除法豎式為什么要這樣寫，而不是直接被除數(shù)寫在上面，除數(shù)寫在下面，然后寫個(gè)除號(hào)，再一橫。

師：你寫寫看。

生：不知道。

生：我覺得，他們是想問：為什么下面要寫個(gè)“0”？

生：為什么要寫兩個(gè)“15”？

生：二年級(jí)提出的意見，可能就是說除法豎式要像加、減、乘那樣列。

……

師：我想問一問大家，在二年級(jí)學(xué)這個(gè)除法豎式的時(shí)候，你們有沒有過這個(gè)二年級(jí)小朋友的想法？（舉手表決，兩個(gè)小朋友沒有這個(gè)想法）

師：我們這么多人有這個(gè)想法，你作為“有”的代表，我來采訪一下你。你這個(gè)想法向老師提問過嗎？

生：沒有。

師：為什么不問?。?/p>

生：因?yàn)槔蠋熣f是那樣寫，然后我就這樣寫了。

師：他的意思是“有什么好問的”，對(duì)吧？

生：沒有什么好問的！

師：?jiǎn)栴}是有的，但有什么好問的？是吧？你為什么會(huì)這么想呢？

生：因?yàn)槔蠋熣f的是對(duì)的。

生：老師說這樣就這樣了。

生：我們也就腦子里想想罷了，按老師這樣列就可以了。

生：?jiǎn)柫艘舶讍枴?/p>

師：（對(duì)沒舉手的兩個(gè)人說）這么多小朋友都產(chǎn)生了問題，你們?yōu)槭裁礇]問題呢？

生：來不及想就知道了。

生：我之前看過我媽媽就是這寫的。

師：媽媽的寫法把他想的時(shí)間給省略了，來不及想。請(qǐng)對(duì)這個(gè)事發(fā)表評(píng)論：有問題好，還是沒問題好？

……

【賞析】以成人的視角，重新看除法豎式，我們會(huì)發(fā)出這樣的疑問嗎？估計(jì)很難，因?yàn)槲覀兺堰@一切看成理所當(dāng)然，誠如課上部分孩子說的那樣“有什么好問的”。但孩子們會(huì)怎么想呢？由于認(rèn)知的局限加上表達(dá)的不成熟，在第一次接觸除法豎式時(shí)，如果沒有特別強(qiáng)烈的材料對(duì)比的刺激，他們一般不會(huì)明確提出疑問。但他們的潛意識(shí)中有沒有這種疑問呢？從俞老師的這節(jié)課看是有的。我們知道，個(gè)體知識(shí)的發(fā)展通常遵循人類知識(shí)發(fā)生的過程，歷史上除法豎式的出現(xiàn)也不是一帆風(fēng)順的，它是在對(duì)類似加、減法豎式的模仿中產(chǎn)生了困惑，進(jìn)而進(jìn)行的一種創(chuàng)造性表達(dá)。俞老師的高明之處就在于，他再現(xiàn)了這一段歷史，用獨(dú)特的視角，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)從真正的源頭開始。

2011版課程標(biāo)準(zhǔn)特別強(qiáng)調(diào)了對(duì)學(xué)生問題意識(shí)的培養(yǎng)，并把它分解為四個(gè)方面，即發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題，其中發(fā)現(xiàn)與提出問題是前提，是基礎(chǔ)。愛因斯坦說過：“提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更重要，因?yàn)榻鉀Q問題也許僅僅是一個(gè)教學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技能而已。而提出新的問題、新的可能性，從新的角度去看舊的問題，都需要有創(chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步。”巴爾扎克也說：“打開一切科學(xué)的鑰匙都毫無異議地是問號(hào)，我們大部分的偉大發(fā)現(xiàn)都應(yīng)歸功于‘如何，而生活的智慧大概就在于逢事都問個(gè)‘為什么。” 把一切學(xué)問都看得容易，而自覺無一可疑的人，一定是未曾學(xué)習(xí)的人。這節(jié)課中，當(dāng)孩子們都產(chǎn)生了問題后，俞老師還特地安排了評(píng)論“有問題好，還是沒問題好？”讓孩子們?cè)诜此贾羞M(jìn)一步增強(qiáng)了對(duì)“多問幾個(gè)為什么”的認(rèn)同感，而數(shù)學(xué)的道理就在這些問題的發(fā)現(xiàn)中萌芽了。

【片斷二】因?yàn)樗铣ǖ谋旧硪馑?/p>

師：我告訴二年級(jí)的小朋友，這是“規(guī)定”。但他們對(duì)我說“那規(guī)定要講道理啊”。究竟有沒有道理呢？我們來分一分。

師：現(xiàn)在要把這15個(gè)東西平均分成3份，請(qǐng)一個(gè)小朋友幫我分一分。

學(xué)生到黑板上去分圓片，如下圖。

師：同學(xué)們來看剛才分的過程，首先老師拿來了多少？

生：15個(gè)。

師：被他一分，還剩幾個(gè)了？

生：0個(gè)了。

師：老師從幾個(gè)到幾個(gè)了？

生：15個(gè)到0個(gè)了。

師：這15個(gè)到哪里去了？

生：分到小盤子里了。

師：被這個(gè)小家伙拿走了，是不是？他也拿了幾個(gè)？

生：15個(gè)。

師：好，我的15個(gè)是一堆的，他的15個(gè)是怎么樣的？

生：分開的，3個(gè)5。

師：所以，這個(gè)過程當(dāng)中一共出現(xiàn)了幾個(gè)15？

生：2個(gè)。

師：一個(gè)15是老師的，一個(gè)15是小家伙的。但這兩個(gè)15有差別嗎？

生：有。

師：我是一個(gè)的，一個(gè)15，他是3個(gè)的，3個(gè)5，15等于15，所以被他拿得一個(gè)也不剩了，這個(gè)0是我的。

師：現(xiàn)在我們來回憶一下，這兩個(gè)豎式，哪一個(gè)豎式比較符合這一個(gè)過程？

生：右邊的。

師：為什么除法豎式要這樣寫？

生：因?yàn)樗铣ǖ谋旧硪馑肌?/p>

師：后來，那位二年級(jí)小朋友說：“原來除法的這個(gè)豎式還是很講道理的嘛！”

【賞析】是啊，除法豎式為什么要這樣寫呢？這樣規(guī)定有道理嗎？數(shù)學(xué)是理性的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，但也是人文的、有情有義的?！耙?guī)定”的教學(xué)如果不講“道理”，只會(huì)扼殺兒童的好奇心和探究欲，學(xué)生只會(huì)把“知識(shí)”當(dāng)成沉重的負(fù)擔(dān)，把“方法”當(dāng)成笨拙的工具。數(shù)學(xué)規(guī)定的教學(xué)要通過適宜的方式，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)讓孩子感受其合理性，讓他們發(fā)現(xiàn)規(guī)定后面的思想，體驗(yàn)冰冷后面的溫情。俞老師以一種兒童能理解的方式，把他們的思維外顯，巧妙地借“把15個(gè)東西平均分成3份”這一操作性極強(qiáng)的活動(dòng)，讓他們?cè)趦煞N豎式的對(duì)比中自然接納了新的豎式。在新豎式中，“原有的數(shù)量”“分的數(shù)量”“剩下的數(shù)量”以及“平均分的份數(shù)”“每份的數(shù)量”等關(guān)鍵信息被一一呈現(xiàn)了出來，這樣書寫的優(yōu)勢(shì)太大了，因?yàn)樗铣ū旧淼囊馑?，它是?duì)事實(shí)的再次呈現(xiàn)。而學(xué)生說出的“原來除法的這個(gè)豎式還是很講道理的嘛！”就水到渠成。

課聽到這里，你是不是對(duì)俞老師深挖知識(shí)內(nèi)涵的功力贊不絕口??！其實(shí)這源于他多年來對(duì)“種子課”的潛心研究。他認(rèn)為，在不同課之間，知識(shí)是可以遷移的，因?yàn)橛行┲R(shí)彼此之間有類似的結(jié)構(gòu)。遷移是學(xué)生學(xué)習(xí)的一種重要能力，這種遷移能力在生長(zhǎng)過程中可以不斷完善，在后續(xù)的體驗(yàn)中可以逐漸臻于成熟。“種子課”就是這些可供遷移、可供生長(zhǎng)的關(guān)鍵課?！俺ㄘQ式”是一節(jié)種子課，新的除法豎式對(duì)學(xué)生來說，認(rèn)識(shí)上是一次飛躍，對(duì)待種子課，俞老師舍得花時(shí)間，舍得花力氣。除法豎式就是對(duì)平均分過程的一種記錄。數(shù)學(xué)的道理在過程的描述中呈現(xiàn)。從課的進(jìn)程來看，俞老師抓住了新知識(shí)發(fā)生的基點(diǎn)、發(fā)展的節(jié)點(diǎn)，并對(duì)后續(xù)相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了極強(qiáng)的指引、輻射作用。

【片斷三】這個(gè)變的過程在哪里？

師：45÷3的豎式有兩種寫法。

師：為什么左邊的是錯(cuò)的，右邊的是對(duì)的？

生：……

師：我是這樣讓他明白的。1個(gè)大的表示10，1個(gè)小的表示1，我拿來了45個(gè)，你來分一分，要平均分成3份。應(yīng)該怎么分？他是先分小的？還是先分大的？

師：當(dāng)然是先分大的。

師：接下去怎么分？

學(xué)生到黑板上去分圓片，如下圖。

師：這樣分，公平嗎？要平均啊，你平均了嗎？誰能平均？1個(gè)10，5個(gè)1。

生：把那個(gè)10換成10個(gè)1。

老師按學(xué)生說的方法把1個(gè)大圓片換成10個(gè)小圓片。

師：同學(xué)們，現(xiàn)在會(huì)分了嗎？ （按15÷3的方法就可以了）

生：會(huì)了。

師：這個(gè)45是分幾次來平均的？

生：兩次。

師：關(guān)鍵的一點(diǎn)在哪里啊？

生：把1個(gè)10變成了10個(gè)1。

師：這個(gè)變的過程在哪里？（圈出式子中的15）

師：這位二年級(jí)的小朋友發(fā)現(xiàn)45÷3是分兩次的，第一次是把十位上的數(shù)平均，第二次是用個(gè)位來平均的。于是他就喜歡上了哪一種豎式??？

生：第二種。

【賞析】在前面的學(xué)習(xí)中孩子已經(jīng)認(rèn)可了除法豎式的新寫法，當(dāng)15÷3更換為45÷3時(shí)，表面上看道理一致，為了記錄這個(gè)分的過程，只要把豎式中15換成45，商由5改成15就可以了。但事實(shí)上我們的除法豎式卻并沒有這樣寫，它被分成了兩步，是一個(gè)長(zhǎng)長(zhǎng)的豎式。雖然我們可以從商的位數(shù)上去說明，但道理在哪呢？我們?cè)鯓硬拍苤v透這一點(diǎn)呢？教材中提供的材料是“4捆小棒加5個(gè)小棒”，而俞老師提供的材料是“4個(gè)大圓片加5個(gè)小圓片”。在教學(xué)中選用教材中的材料，學(xué)生分起來得心應(yīng)手，每份15個(gè)，因?yàn)閷W(xué)生可以自如地把捆著的小棒拆開。在他們眼里，散著的10根小棒是10，捆著的1捆小棒也是10，這沒有什么區(qū)別。所以他們?cè)诜值倪^程中就會(huì)直接得出每份15根，沒有分兩次的痕跡，而這恰恰是商是兩位數(shù)的除法中最關(guān)鍵的一環(huán)。改用大、小圓片后，模糊的操作被舍棄了，學(xué)生被“逼”向精細(xì)的操作。學(xué)生知道要先分大圓片，再分小圓片（本質(zhì)是高位算起）。他們創(chuàng)造性地將第一次分剩下的大圓片換成小圓片，與原有的小圓片合并后再分等。大、小圓片的材料結(jié)構(gòu)更符合十進(jìn)制計(jì)數(shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，因?yàn)槲覀円值氖恰?個(gè)十和5個(gè)一”，而不是“45個(gè)一”。俞老師通過材料的更新，彰顯出商是多位數(shù)除法的本質(zhì)，令人拍案叫絕。

多年前，吉利汽車?yán)峡偫顣Ｔ谡劇懊褡瀹a(chǎn)品如何接軌國際”時(shí)，曾總結(jié)過三個(gè)策略，即跟隨、突破、超越。首先要加強(qiáng)學(xué)習(xí)，緊跟國際一流產(chǎn)品，站在潮流的最前面；其次要能把脈出產(chǎn)品的優(yōu)、劣，對(duì)局部問題進(jìn)行專項(xiàng)攻關(guān)，爭(zhēng)取一兩個(gè)方面有所突破；最后也是最難的，那就是扎根用戶需求，從源頭開始創(chuàng)新，做出自主品牌，實(shí)現(xiàn)彎道超車。細(xì)細(xì)想來，在對(duì)教材的處理上我們何嘗不應(yīng)該如此呢？先要吃透教材，弄清意圖，保證有一個(gè)正確的方向。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)學(xué)情，對(duì)教材進(jìn)行個(gè)性化、本土化處理，避免被教材束縛，爭(zhēng)取有突破。一般情況到這一步就已經(jīng)不錯(cuò)了。如果有更高的追求，不妨向俞特學(xué)習(xí)，以兒童的真實(shí)學(xué)習(xí)為源，以數(shù)學(xué)的內(nèi)部體系為支撐，重組教材，超越教材，以自己的教學(xué)智慧帶領(lǐng)學(xué)生去領(lǐng)悟數(shù)學(xué)中的一個(gè)個(gè)道理。這節(jié)課中，俞老師通過兩次不一樣的“平均分”實(shí)現(xiàn)了對(duì)教材的超越，讓每一個(gè)孩子明白除法豎式的“理”。大道至簡(jiǎn)，“跟隨、突破、超越”適用于一切學(xué)習(xí)。

（作者單位：浙江省寧波濱海國際合作學(xué)校）

□責(zé)任編輯 李杰杰

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