“商不變的規(guī)律” 怎么失靈了

童義清

【案例掃描】

教學四年級（上）“商不變規(guī)律的應用”一課時，我發(fā)現(xiàn)學生很難理解例題中的“明明余數(shù)是2，為什么‘白菜老師非要說余數(shù)是20”。

我引導學生：“認真觀察豎式，看看個位上原本是不是還有個‘0呢？咱們還要給拉下來呀！”

學生面露難色，一言不發(fā)。“三位數(shù)除以兩位數(shù)我們剛剛學過，課本為什么要變成兩位數(shù)除以一位數(shù)呢？明明課本上用紅色筆劃去‘0了，現(xiàn)在老師又要我們給拉下來，教材和教師是不是有時也不講理？！”

更尷尬的是，兩位孩子課后問我：根據(jù)商不變規(guī)律可得90÷4=900÷40，但為什么90÷4=900÷40≠22……2？

算式相等，結(jié)果居然不相等！究竟是什么原因呢？解答了這個問題，其實也就解決了學生“面露難色”的問題。

【案例診斷】

思考應從原點開始。教材明確指出：“被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），商不變?！憋@然，“90÷4=900÷40≠22……2”中，“22”是商，“2”只是余數(shù)。商，是不包括余數(shù)的?？磥?，“商不變的規(guī)律”沒有失靈。

但為什么“算式相等，結(jié)果不等”呢？

經(jīng)過同事研討和研讀教材，我們認為，造成“算式相等，結(jié)果不等”的根本原因是學生目前沒有學到小數(shù)除法，知識出現(xiàn)了斷層。作為教師，我們知道90÷4=900÷40=22.5，這個遞等除法算式是沒有任何問題的。只是因為目前使用蘇教版教材的四年級學生還沒有學到小數(shù)除法，他們只能用余數(shù)來表示尚未除完的（被除數(shù)）部分。而這個尚未除完的（被除數(shù)）部分如果繼續(xù)除的話，結(jié)果其實還是一樣的，都是0.5，即2÷4=0.5，20÷40=0.5。

【改進策略】

診斷，是為了尋求改進策略。結(jié)合教材的編排問題，針對學生實際困惑，我對教學預設進行了調(diào)整，并嘗試了二次教學，收到了良好的教學效果。

一、 研讀教材情境，改良問題支撐理解

教材原有情境比較封閉單一，不適合學生理解“帶余除法”的算理。帶余除法的算理，需要一個更加合適的生活情境“保駕護航”，才能真正走進孩子們的視界?；谶@樣的思考，我對教材的例題進行了精心的改編，最終呈現(xiàn)了這樣一個生活情境——

有90捆小棒，每捆10根，每4捆放一盒，可以放多少盒？還余多少？

面對這個問題情境，一部分學生列出算式：90÷4=22（盒）……2（捆）；因為第二個問題指向的開放性，也有同學列出算式：（90×10）÷（4×10）=22（盒）……20（根）。這時，我組織學生觀察兩道算式有什么聯(lián)系，引導他們把這兩道算式進行遞等：

90捆÷4捆

=900根÷40根

=22（盒）……2（捆）

=22（盒）……20（根）

開放的問題情境，收到的效果明顯不同。上述情境中，學生可以“把90捆小棒，每4捆放一盒”，也可以“把900根小棒，每40根放一盒”，這種“異曲同工”的算式表達，極大地降低了學生的理解難度，他們通過兩種算式的對比，很快發(fā)現(xiàn)了帶余除式的“遞等奧秘”：計算結(jié)果不同，是因為單位不同，但計算道理是一樣的，即都是“小棒總數(shù)÷每盒要放的小棒數(shù)=盒數(shù)……剩余小棒數(shù)”。

二、剖析教材建議，拉長課時分別突破

反復研讀教材和教師教學用書，我們發(fā)現(xiàn)其建議都是用1課時完成本節(jié)教學內(nèi)容。但，這個建議，真的合適嗎？

帶余除式的遞等現(xiàn)象屬于程序性的數(shù)學知識，具有典型的“行易知難”特點。我們感到學生理解“算式相等，結(jié)果不等”比較難，他們掌握這種計算技能反而還是比較容易的。

于是，二次教學中，我把“商不變規(guī)律的應用”內(nèi)容劃分為兩節(jié)課進行教學。第一節(jié)課重在引導學生理解算理，第二節(jié)課重在組織學生練習算法。這種一分為二的課時安排，可以保證學生有更充分的時間“消化吸收”。第一節(jié)課，我除了變“買隊號情境”為“分小棒情境”，還補充呈現(xiàn)了“分桃子情境”，并組織學生自編一些相關的情境。豐富的情境支撐下，學生很快找到了“余數(shù)要拉下被除數(shù)后面劃去的0”共同之理，對這種帶余除式很快建立了模型。第二節(jié)課，我重點組織學生提煉、掌握帶余除式的計算法則，提升計算技能。有了第一節(jié)課的扎實理解算理作為基礎，這節(jié)課的算法總結(jié)水到渠成，后續(xù)練習也非常輕松。

三、立足教材體系，適當滲透修復斷層

任何教材的編排，都很難全面兼顧兒童的認知規(guī)律和知識的內(nèi)在邏輯。數(shù)學知識一旦出現(xiàn)斷層，學生理解出現(xiàn)障礙，最好修復知識斷層，讓學生站在整個知識體系的高度來理解。

帶余除式最迷惑學生的地方就是“算式相等，結(jié)果不等”。教學中，我放大這個難點，引導學生思考：“余數(shù)是什么意思？”學生說：“余數(shù)就是被除數(shù)除以除數(shù)沒有除完，剩余的數(shù)?！蔽艺f：“那我們可不可以試著用這個余數(shù)繼續(xù)除下去呢？”學生非常好奇。于是，我們就拿被除數(shù)90剩余的2除以4，又拿被除數(shù)900剩余的20除以40，學生雖然沒有學過小數(shù)除法，但根據(jù)分數(shù)的意義，還是很快就發(fā)現(xiàn)了2÷4=20÷40=[12]，原來它們的余數(shù)雖然不同，但結(jié)果其實還是相等的。

利用個別學生課前了解的小數(shù)除法知識，我又簡要介紹了90÷4=900÷40=22.5，這也促使學生從知識體系的角度了解了“算式相等，結(jié)果其實也是相等的”。跳出了“知識迷陣”，用后續(xù)知識來解釋眼下所學，學生理解這種帶余除式的“秘密”就更加容易了。

小學階段數(shù)學知識的編排順序，多是根據(jù)學生的認識水平來安排的，但這并不能完全排除知識內(nèi)容之間的斷層和銜接不力。日常教學中，當遇到這種知識斷層的問題時，我們既要研究學生的現(xiàn)有水平，還應考慮整合相關的數(shù)學內(nèi)容。只有從現(xiàn)實學情和知識邏輯兩個方面統(tǒng)籌兼顧，才可能收到良好的教學效果。

（作者單位：安徽省合肥市屯溪路小學）

□責任編輯 李杰杰

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