基于GM（1，1）試卷難度系數(shù)修正模型的學(xué)生成績(jī)預(yù)測(cè)

摘 要：學(xué)生成績(jī)是教學(xué)評(píng)估的一項(xiàng)重要衡量指標(biāo)，考慮學(xué)生考試成績(jī)特點(diǎn)提出了一種基于試卷難度系數(shù)變化的GM（1，1）修正模型，并運(yùn)用此模型對(duì)花溪一中考試成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)，實(shí)踐證明該修正模型能減少誤差，提升預(yù)測(cè)精度。

關(guān)鍵詞：成績(jī)預(yù)測(cè)； 發(fā)展灰數(shù)；后驗(yàn)差檢驗(yàn)； 小誤差概率；難度系數(shù)

中圖分類(lèi)號(hào)：O212

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

隨著科技數(shù)據(jù)信息的發(fā)展，探索新的教學(xué)方法、前瞻性數(shù)據(jù)化建設(shè)校園是校方義不容辭的責(zé)任。合理運(yùn)用信息技術(shù)能有效地解決教學(xué)中許多問(wèn)題。目前中小學(xué)對(duì)數(shù)據(jù)的應(yīng)用多限于成績(jī)查詢(xún)和一些常規(guī)統(tǒng)計(jì)，如平均分、及格率、最高分等。這些描述性統(tǒng)計(jì)分析只是某一次考試當(dāng)前情況的體現(xiàn)，無(wú)法挖掘數(shù)據(jù)中存在的關(guān)系和規(guī)則，無(wú)法根據(jù)現(xiàn)有的各項(xiàng)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)學(xué)生成績(jī)以及學(xué)生今后發(fā)展趨勢(shì)。本文通過(guò)與中學(xué)老師的溝通，了解中學(xué)考試成績(jī)展現(xiàn)特性，結(jié)合當(dāng)前考試形式，對(duì)學(xué)生成績(jī)進(jìn)行整理分析，通過(guò)搭建數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生最終中考成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，并選取貴州省貴陽(yáng)市花溪區(qū)第一中學(xué)（簡(jiǎn)稱(chēng)花溪一中）考試成績(jī)進(jìn)行分析，驗(yàn)證模型有效性。

1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

數(shù)據(jù)來(lái)源于花溪一中2017屆學(xué)生初中各次考試成績(jī)（以下簡(jiǎn)稱(chēng)學(xué)生成績(jī)）。考慮中考科目為：數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)、理綜（物理、化學(xué)），故選取花溪一中2017屆學(xué)生8年級(jí)至9年級(jí)數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)、物理、化學(xué)成績(jī)進(jìn)行整理，統(tǒng)計(jì)共634名學(xué)生的成績(jī)。為方便數(shù)據(jù)讀取和分析，引入一些符號(hào)標(biāo)記對(duì)原始各次考試進(jìn)行重新標(biāo)記，例如：“數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)81”表示“八年級(jí)上學(xué)期期末考試成績(jī)”，“數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)911”表示“九年級(jí)上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)成績(jī)”，其他類(lèi)似。表1展現(xiàn)了整理后的數(shù)學(xué)成績(jī)的部分?jǐn)?shù)據(jù)。

1.1 缺失值情況分析

數(shù)據(jù)缺失值分布情況與分析結(jié)果息息相關(guān)，圖1是數(shù)學(xué)考試成績(jī)的缺失數(shù)據(jù)情況。圖中，淺色為缺失值，深色為完整數(shù)據(jù)，圖（a）體現(xiàn)各次考試的缺失數(shù)據(jù)量，圖（b）展示缺失數(shù)據(jù)在整個(gè)數(shù)據(jù)中的位置。數(shù)學(xué)成績(jī)總數(shù)據(jù)為634×16的數(shù)據(jù)框，其中616名的成績(jī)數(shù)據(jù)完整有效，僅18名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)有缺失。缺失值共21個(gè)，占總數(shù)據(jù)量10144的0.21%，缺失率小于10%，指標(biāo)的信息完整度均在理論范圍內(nèi)[1]。

同樣的方法，可得出各科成績(jī)數(shù)據(jù)缺失情況如表2所示，數(shù)據(jù)缺失比率均小于10%，故不會(huì)影響分析結(jié)果。

1.2 缺失值補(bǔ)齊

結(jié)合花溪一中實(shí)際考試成績(jī)情況，對(duì)學(xué)生考試成績(jī)進(jìn)行填補(bǔ)，同一考生缺失數(shù)據(jù)較多的予以剔除，最終建立634名考生成績(jī)總表。為便于后期建模分析，選取學(xué)生八年級(jí)上下學(xué)期期末考試成績(jī)、九年級(jí)全部數(shù)據(jù)及花溪區(qū)區(qū)考成績(jī)和貴陽(yáng)市適應(yīng)性考試作為最終分析的數(shù)據(jù)，并對(duì)缺失部分予以補(bǔ)齊。常用的缺失值補(bǔ)齊方法有均值補(bǔ)齊法、中位數(shù)補(bǔ)齊法、眾數(shù)補(bǔ)齊法等，結(jié)合學(xué)生成績(jī)實(shí)際情況，采取均值補(bǔ)齊法。

2 灰色預(yù)測(cè)模型概述

2.1 灰色預(yù)測(cè)模型

灰色預(yù)測(cè)對(duì)既含有已知信息又含有不確定信息的系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)則，即對(duì)在一定范圍內(nèi)變化的、與時(shí)間有關(guān)的灰色過(guò)程進(jìn)行預(yù)測(cè)?；疑A(yù)測(cè)通過(guò)鑒別系統(tǒng)因素之間發(fā)展趨勢(shì)的相異程度，并對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行生成處理來(lái)尋找系統(tǒng)變動(dòng)的規(guī)律，生成有較強(qiáng)規(guī)律性的數(shù)據(jù)序列，然后建立相應(yīng)的微分方程模型，從而預(yù)測(cè)事物未來(lái)發(fā)展趨勢(shì)的狀況[2]。

在充分使用數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，建立GM（1，1）模型，分別對(duì)考生各科成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

2.2 灰色預(yù)測(cè)GM（1，1）模型

3.2 基于GM（1，1） 試卷難度系數(shù)修正模型的實(shí)現(xiàn)

為提高模型預(yù)測(cè)精度，通常會(huì)選取殘差修正模型，但是在計(jì)算殘差時(shí)，常常發(fā)現(xiàn)殘差的波動(dòng)較大，根據(jù)原始數(shù)據(jù)的特征會(huì)出現(xiàn)正負(fù)交替現(xiàn)象，即使用殘差模型修正，也不能很好地改善擬合效果。通過(guò)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，學(xué)生成績(jī)數(shù)據(jù)與每次考試的試卷難度系數(shù)息息相關(guān)，所以在修正模型的過(guò)程中，

得到模型修正預(yù)測(cè)值后重新驗(yàn)證模型精度，進(jìn)行后驗(yàn)差檢驗(yàn)，得到新的殘差如表6所示。

類(lèi)似方法對(duì)花溪一中全體同學(xué)所有科目進(jìn)行建模及模型檢驗(yàn)，部分同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的各項(xiàng)指標(biāo)如表7所示。

經(jīng)計(jì)算，所有數(shù)據(jù)的發(fā)展系數(shù)a均小于1，故均可使用GM（1，1）進(jìn)行建模預(yù)測(cè)，通過(guò)殘差符號(hào)結(jié)合難度系數(shù)得到各模型調(diào)整系數(shù)對(duì)模型進(jìn)行修正，最終得到修正后的模型預(yù)測(cè)值，并進(jìn)行新的后驗(yàn)比檢驗(yàn)，結(jié)果除極少部分同學(xué)考試成績(jī)波動(dòng)特別大導(dǎo)致模型預(yù)測(cè)效果欠佳，其余均顯示模型預(yù)測(cè)通過(guò)后驗(yàn)比檢驗(yàn)和小誤差概率檢驗(yàn)，效果良好。

3.3 花溪一中學(xué)生中考成績(jī)預(yù)測(cè)

綜上可以用修正后的GM（1，1）模型分別對(duì)花溪一中學(xué)生中考單科和總分成績(jī)（預(yù)測(cè)總分加上50分體育成績(jī)所得）進(jìn)行預(yù)測(cè)。首先對(duì)總分進(jìn)行預(yù)測(cè)。據(jù)了解，貴陽(yáng)市今年中考難度系數(shù)在0.75，以該難度系數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)學(xué)生中考成績(jī)預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如表8所示（僅選取前50名展示）。

由預(yù)測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)：600以上約為30人。據(jù)最終花溪一中公布的2017年中考考試成績(jī)（由于資源有限，僅獲取了600以上同學(xué)總成績(jī)和1班同學(xué)的各科目成績(jī)），600以上為35人（含加分政策），根據(jù)修正后GM（1，1）模型預(yù)測(cè)出來(lái)的30人均包含在內(nèi)。利用修正后GM（1，1）模型預(yù)測(cè)的花溪一中學(xué)生中考成績(jī)分布如圖2所示。

其次，對(duì)花溪一中學(xué)生中考單科成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)，表9展示部分同學(xué)各科成績(jī)預(yù)測(cè)結(jié)果。

為驗(yàn)證預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確率，利用獲得的1班同學(xué)的總分及單科成績(jī)數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行誤差分析，經(jīng)計(jì)算總成績(jī)預(yù)測(cè)的均方誤差為：-4.866；語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)的均方誤差分別為：0.197、0.545、0.258、2.924，平均誤差均不超過(guò)5分，說(shuō)明模型預(yù)測(cè)效果良好。

4 結(jié)論

從學(xué)生成績(jī)殘差特性出發(fā)，提出一種基于試卷難度系數(shù)變化的GM（1，1）修正模型，這符合“灰色系統(tǒng)理論的研究對(duì)象信息不完全，準(zhǔn)則具有多重性，模型非惟一性”的特點(diǎn)。且經(jīng)實(shí)踐表明，修正后的模型能提升學(xué)生成績(jī)預(yù)測(cè)模型精度。在預(yù)測(cè)學(xué)生成績(jī)時(shí)，可以推廣使用。

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（責(zé)任編輯：周曉南）