不確定分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析及滑模同步控制

高　瑜， 李　雄

(1.陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)課部， 陜西 渭南　714000； 2.西安歐亞學(xué)院 數(shù)理與信息技術(shù)應(yīng)用中心， 陜西 西安　710065)

0　引言

分?jǐn)?shù)階微積分已經(jīng)有300多年的發(fā)展歷史了，隨著研究的深入，不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)成為了最熱門研究的領(lǐng)域，推動了分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析及同步控制方法的蓬勃發(fā)展[1-3].混沌系統(tǒng)控制方法由于在通信領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用得到了研究者的重視，人們相繼提出了很多種分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制方法[4]，如滑模變結(jié)構(gòu)控制法[5]、自適應(yīng)控制法[6]、模糊控制法[7]、脈沖控制法和Backstepping控制法等[8-10].對于不確定分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)同步控制也有一些結(jié)果[11]，如文獻[12]在系統(tǒng)不確定項滿足有界的情況下利用滑模控制實現(xiàn)了不確定分?jǐn)?shù)階Duffing-Holmes系統(tǒng)的同步問題，文獻[13]研究了不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)模糊同步控制問題等.

自適應(yīng)滑?？刂品椒ǔＳ脕硌芯繋Р淮_定項的分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)，并且在穩(wěn)定性分析中通常構(gòu)造平方Lyapunov函數(shù).隨著文獻[2]提出了分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的Lyapunov第二方法,對于分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的控制及穩(wěn)定性分析逐漸成為研究熱點.但平方函數(shù)具有非常復(fù)雜的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)形式，這也使得分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中無法應(yīng)用平方Lyapunov函數(shù).所以到目前為止幾乎沒有文獻成功實現(xiàn)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)自適應(yīng)滑模控制或同步.隨著研究的深入，許多分?jǐn)?shù)階模型不僅需要滿足漸近穩(wěn)定，更需要在有限時間內(nèi)穩(wěn)定，這也給非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析帶來了難度.文獻[14]研究了分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)在有限時間內(nèi)不存在穩(wěn)定點的問題，推動了非線性系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定性理論的進一步發(fā)展.在非線性系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定理論中，文獻[15]通過變量替換和函數(shù)構(gòu)造提出了一個新的非線性系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定的充分條件，具有很強的推廣性，但是只是針對一類整數(shù)階非線性系統(tǒng)，對于分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定性理論的研究還尚未深入.

本文主要研究了基于滑?？刂频牟淮_定分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)同步，首先針對二維分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，通過構(gòu)造分?jǐn)?shù)階滑模面及分?jǐn)?shù)階微分方程形式的自適應(yīng)規(guī)則，設(shè)計了同步控制器，并利用分?jǐn)?shù)階Lyapunov第二方法證明了構(gòu)造方法的合理性(需要指出的是本文系統(tǒng)中的不確定項可以是完全未知的).以分?jǐn)?shù)階Arneodo系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階Genesio系統(tǒng)為實例，實現(xiàn)了驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)有限時間同步控制(即在有限時間內(nèi)誤差系統(tǒng)趨于滑模面)，驗證了該方法和控制器的有效性.

1　預(yù)備知識

在研究的過程中對分?jǐn)?shù)階微積分概念提出了多種定義，其中最常用的有以下三種：Grunwald-Letnikov、Riemann-Liouville (R-L)、Caputo，本文采用Caputo的定義作為工具,因為Caputo定義中的系統(tǒng)的初值和整數(shù)階系統(tǒng)的一樣,具有較好的物理意義[16].分?jǐn)?shù)階微積分定義為

其中：Γ(·)為Gamma函數(shù).

當(dāng)0<α<1時，Caputo分?jǐn)?shù)階微分的解等價于：

定義1雙參數(shù)Mittag-Leffler函數(shù)定義為

其中:α,β>0,z為復(fù)數(shù)，Γ(·)為Gamma函數(shù)，其Laplace變化定義為

其中:R(s)為s的實部，λ∈R，Γ(·)為Laplace變換.

引理1[17]若滿足以下等式：

其中:x(t)和y(t)∈Rn具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，P,Q∈Rn×n為兩個正定矩陣.若存在正定的矩陣M和正常數(shù)h使得

引理2[18]設(shè)x(t)∈Rn且具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，則

其中:P為任意的n階正定矩陣.

引理3考慮如下的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)

其中：0<α<1，A為系數(shù)矩陣，若存在實對稱正定矩陣P，使得

xT(t)Px(t)=0成立，則系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.

若t2>t1≥0時，有

這也就證明了x(t)在[0,+∞)上單調(diào)減少.

引理5(分?jǐn)?shù)階Lyapunov第二方法)設(shè)原點是如下分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的平衡點：

其中：x(t)∈Rn為系統(tǒng)變量，f(t,x(t))為滿足局部Lipschitz條件的非線性函數(shù).若存在Lyapunov函數(shù)V(t,x(t))和K類函數(shù)αi(i=1,2,3)使得

α1‖x(t)‖≤V(t,x(t))≤α2‖x(t)‖,

則系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.

2　問題描述

考慮如下的二維不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)

其中：α∈(0,1)，X(t)=[x1,x2]∈R2為系統(tǒng)輸入變量，f(X,t)∈R為非線性函數(shù)，Δf(X)∈R為系統(tǒng)的不確定項，dx(t)∈R為隨機擾動，u(t)∈R為控制變量.

考慮如下的響應(yīng)系統(tǒng)

其中：Y(t)=[y1,y2]∈R2為系統(tǒng)響應(yīng)變量，g(Y,t)∈R為非線性函數(shù)，Δg(Y)∈R為系統(tǒng)的不確定項，dy(t)∈R為隨機擾動.

定義如下的同步誤差系統(tǒng)

假設(shè)1系統(tǒng)不確定項Δg(Y),Δf(X)為有界變量，即存在正常數(shù)γ1，使得

|Δf(x)-Δg(Y)|<γ1成立.

假設(shè)2系統(tǒng)隨機擾動dx(t),dy(t)為有界變量，即存在正常數(shù)γ2，使得

|dx(t)-dy(t)|<γ2成立.

3　主要結(jié)果

3.1　分?jǐn)?shù)階滑模面設(shè)計

設(shè)計如下的分?jǐn)?shù)階滑模面

當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生滑模運動時，需滿足如下條件

通過簡單的證明推導(dǎo)，可以得出上式是漸近穩(wěn)定的，即誤差系統(tǒng)變量趨于零.

3.2　控制器設(shè)計

本文所要討論的問題是如何設(shè)計同步控制器，使得誤差系統(tǒng)能在有限時間內(nèi)達到或趨近于滑模面

由誤差系統(tǒng)方差可以得到，

f(X,t)-Δf(X)-dx(t)-u(t)

u(t)e=g(Y,t)+Δg(Y)+dy(t)-

f(X,t)-Δf(X)-dx(t)+

(k1ei+k2sign(ei)|ei|ρ)

為了實現(xiàn)同步誤差系統(tǒng)能夠在有限時間內(nèi)穩(wěn)定，本文設(shè)計如下的自適應(yīng)規(guī)則：

ur(t)=ξis+ξi+1|s|δsign(s)

其中：ξi,ξi+1>0,δ∈(0,1).

因此，可以設(shè)計如下的控制器：

u(t)=u(t)e+u(t)r=g(Y,t)+Δg(Y)+

dy(t)-f(X,t)-Δf(X)-dx(t)+(k1ei+

k2sign(ei)|ei+1|ρ)+(ξ1s+ξ2sign(s)|s|δ).

定理1考慮設(shè)計的分?jǐn)?shù)階滑模面，給定初始條件及自適應(yīng)規(guī)則，誤差系統(tǒng)能夠在有限時間內(nèi)趨于滑模面s(t)=0.

進一步可得

DαV≤s(f(X,t)+Δf(X,t)+d(t)+

DαV≤s(f(X,t)+Δf(X,t)+d(t)-

經(jīng)過簡單的變形，很容易就能得到

DαV≤|s|(|Δf(X,t)|+|d(t)|)-

s((γ1+γ2)sgn(s)+ξ1s+ξ2sgn(s))+?|s|

DαV≤-ξ1s2-ξ2|s|+?|s|≤

-(ξ2-?)|s|≤-ξ1s2

定理1證畢.

定理2給定初始條件下，設(shè)計如上的自適應(yīng)滑模控制器和自適應(yīng)規(guī)則的作用下，同步誤差系統(tǒng)能夠在有限時間內(nèi)趨近滑模面，即實現(xiàn)了驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)同步控制.

將滑模面方程帶入上式中得

dy(t)-f(X,t)-Δf(X)-dx(t)-u(t)+

由假設(shè)1和假設(shè)2可得

k2sign(ei)|ei|ρ))

g(Y,t)+f(X,t)-sign(s)(γ1+γ2)+

K2sign(ei)|ei|ρ)-(ξ1s+ξ2|s|δsign(s)))

-(ξ1|s|+ξ2|s|δ)≤-ξ|s|

其中ξ=min{ξ1,ξ2}.

由上式可以進一步得

對上式兩邊同時取(0,t)上的積分得

4　數(shù)值仿真

仿真中驅(qū)動系統(tǒng)選取為分?jǐn)?shù)階Genesio系統(tǒng)：

響應(yīng)系統(tǒng)選取為分?jǐn)?shù)階Arneodo系統(tǒng)：

系統(tǒng)不確定項與隨機擾動分別選取如下：

Δf(X)+dx(t)=0.15cos(3t)x2-0.1sin(t)

Δg(Y)+dy(t)=0.1sin(2t)y2+0.15cos(5t)

選取系統(tǒng)初值：

x1(0)=0.2,x2(0)=-0.2,x3(0)=-0.3,

y1(0)=-0.1,y2(0)=0.3,y1(0)=-0.2.

給定參數(shù)：

k1=k2=1,ρ=δ=0.9,ξ1=ξ2=2,

γ1=γ2=0.75,α=0.9.

由定理1設(shè)計如下滑模面與同步控制器：

s(t)=e2+(k1ei+k2sign(e1)|e1|ρ) =

e2+e1+sign(e1)|e1|0.9

u(t)=u(t)e+u(t)r=-y1-x1+0.1sin(2t)y2+0.15cos(5t)-0.15cos(3t)x2+0.1sint+(e1+sign(e1)|e1|0.9)+(2s+2sign(s)|s|0.9).

仿真結(jié)果如圖1～3所示.

圖1　受控分?jǐn)?shù)階Arneodo系統(tǒng)曲線圖

圖2　分?jǐn)?shù)階滑模面 隨時間變化曲線

圖3　受控分?jǐn)?shù)階Genesio系統(tǒng)狀態(tài)軌跡曲線

5　結(jié)論

本文研究了不確定分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)自適應(yīng)滑模同步控制，通過構(gòu)造分?jǐn)?shù)階滑模面以及分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)規(guī)則，在滿足系統(tǒng)所有變量有界的情況下，利用Lyapunov函數(shù)證明了定理的有效性和魯棒性.基于該理論提出了分?jǐn)?shù)階可變結(jié)構(gòu)控制器，并驗證了在滿足系統(tǒng)所有變量有界的情況下誤差系統(tǒng)能夠在有限時間內(nèi)趨于滑模面，數(shù)值仿真中實現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階Genesio系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階Arneodo系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)有限時間同步，通過合理選取初值與參數(shù)值進行數(shù)值仿真，可以得到誤差系統(tǒng)能夠在有限時間內(nèi)趨于滑模面.該理論的研究有助于掌握分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的相關(guān)性質(zhì)，同步控制方法也具有良好的魯棒性.本文所研究的方法仍需進一步改進，針對不同的階次控制效果可能出現(xiàn)差異性，更嚴(yán)格的控制輸入條件下實現(xiàn)自適應(yīng)同步控制需要進一步的研究.

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