結(jié)合零空間交與多播的K用戶BC網(wǎng)絡(luò)分析

王　越， 劉　鋒， 曾連蓀

(上海海事大學(xué) 信息工程學(xué)院， 上海 201306)

眾所周知，通過采用多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO)空間復(fù)用技術(shù)在多條獨(dú)立的鏈路中傳輸不同的數(shù)據(jù)碼流，可以成倍地提高數(shù)據(jù)的吞吐量．但是，使用多輸入多輸出技術(shù)的系統(tǒng)仍然受到消息之間的相互干擾，使得系統(tǒng)性能受到影響．對(duì)于無線網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的容量研究是十分困難的，因此考慮從另一個(gè)角度——自由度來衡量系統(tǒng)的容量大?。嘘P(guān)多輸入多輸出的單播網(wǎng)絡(luò)研究已經(jīng)非常多了，如廣播信道(Broadcast Channel，BC)[1-3]、互擾信道(Interference Channel，IC)[4]、X信道(X Channel，XC)[5]等，但是有關(guān)多播網(wǎng)絡(luò)的研究相對(duì)比較少．文獻(xiàn)[6]提出多播的概念，并且導(dǎo)出網(wǎng)絡(luò)的可達(dá)區(qū)域以及外界; 文獻(xiàn)[7]提出的結(jié)合多播的模型改善了系統(tǒng)的頻譜和能量效率; 文獻(xiàn)[8]介紹了一種在移動(dòng)系統(tǒng)中的多輸入多輸出多播和廣播方案可伸縮視頻編碼的傳輸，可改善個(gè)人用戶的信道質(zhì)量．在多輸入多輸出網(wǎng)絡(luò)中，自由度主要受到干擾的影響，尤其是多播網(wǎng)絡(luò)，干擾消息主要來自網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部和網(wǎng)絡(luò)之間．因此，對(duì)多播網(wǎng)絡(luò)的干擾處理并獲得更大的自由度的研究是非常必要的．處理干擾的方法有很多種，如干擾中和、干擾對(duì)齊和迫零等，筆者提出并使用結(jié)合零空間交[9]的迫零方案來消除干擾．該方案的主要思想是: 針對(duì)多播網(wǎng)絡(luò)的同一個(gè)接收端存在多個(gè)干擾消息，通過收發(fā)端合理的天線配置，使得多個(gè)干擾消息對(duì)應(yīng)的零空間可以取得交空間，再將多個(gè)干擾消息同時(shí)置于這個(gè)交空間中，這樣就可以使得干擾消息迫零，從而在接收端可以解碼出期望信號(hào)．

在以往的研究中已經(jīng)使用迫零方法得到了單播的廣播信道、互擾信道、X信道等簡(jiǎn)單模型的自由度．然而對(duì)于更加復(fù)雜的多播信道的自由度，研究仍然較少．所以，筆者考慮將迫零方法引入到多播系統(tǒng)中，以便展開對(duì)多播理論的深入研究．

筆者主要研究的是多播的K用戶廣播信道網(wǎng)絡(luò)的自由度，這是一種新的廣播信道模型．不同于以往的簡(jiǎn)單單播廣播信道模型，筆者提出的模型采用“循環(huán)模式”為每個(gè)接收端分配期望消息，同時(shí)，采用結(jié)合零空間交的迫零方案，將同一個(gè)接收端的多個(gè)干擾消息置于對(duì)應(yīng)零空間的交空間中，以實(shí)現(xiàn)同時(shí)迫零多個(gè)干擾消息．

圖1　K用戶廣播信道多播網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)模型

1　系統(tǒng)模型

K用戶廣播信道多播網(wǎng)絡(luò)自由度研究的系統(tǒng)模型如圖1所示．

系統(tǒng)模型的發(fā)送端發(fā)送K個(gè)消息，每個(gè)接收端均接收到K-N個(gè)期望消息和N個(gè)干擾消息．由于在每個(gè)接收端都存在N個(gè)干擾消息，所以要使用某種方法消除接收端的N個(gè)干擾消息．在這里，使用筆者提出的迫零方案——零空間交，使接收端的干擾消息全部迫零，以消除干擾消息．

對(duì)期望消息與干擾消息的簡(jiǎn)要說明: {W1，W2，W3，…，WK-1，WK}是發(fā)送端發(fā)送的K個(gè)消息．接收端1共收到K個(gè)消息，其中有K-N個(gè)期望信號(hào)，分別是{W1，WN+2，WN+3， …，WK-1，WK}，其他N個(gè)消息都是干擾消息; 接收端2共收到K個(gè)消息，其中有K-N個(gè)期望信號(hào)，分別是{W1，W2，WN+3，WN+4，…，WK-1，WK}，其他N個(gè)消息都是干擾消息; 其他接收端情況依此類推．

圖2 每個(gè)接收端存在2個(gè)干擾消息

針對(duì)接收端信號(hào)采用“循環(huán)模式”: 對(duì)于發(fā)送端信號(hào){W1，W2，W3，…，WK-1，WK}，將W1發(fā)送給從第1個(gè)接收端開始的共N個(gè)接收端;將W2發(fā)送給從第2個(gè)接收端開始的共N個(gè)接收端; 依此類推，即可得到筆者提出的“循環(huán)模式”系統(tǒng)模型．圖2給出了一個(gè)采用“循環(huán)模式”的系統(tǒng)模型．

多播K用戶廣播信道網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)模型的輸入輸出關(guān)系為

Yj=HjX+Zj,

(1)

其中，Yj代表的是維度為(K-N)×1、第j(j=1，2，3，…，K)個(gè)接收端的輸出信號(hào);Hj代表的是發(fā)送端到接收端j、維度為 (K-N)×K的信道矩陣;X表示廣播信道模型的發(fā)送信號(hào);Zj表示 (K-N)×1 維信道的加性高斯白噪聲．

對(duì)這種多播系統(tǒng)模型的自由度定義為多播網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的自由度就是系統(tǒng)接收端解碼消息的總數(shù)．根據(jù)多播系統(tǒng)模型的自由度大小，可間接衡量系統(tǒng)的容量大小，也是判定系統(tǒng)模型性能優(yōu)劣的一個(gè)重要指標(biāo)．

2　方案分析與設(shè)計(jì)

針對(duì)上面提出的系統(tǒng)模型，采用了結(jié)合零空間交的迫零方案，分析如何從帶有干擾消息的信號(hào)中解碼出期望消息，同時(shí)得到系統(tǒng)的自由度大小．為了便于分析，先從4用戶模型開始向一般模型過渡逐步分析．

2.1　4用戶情況

2.1.1每個(gè)接收端存在2個(gè)干擾消息的情況

在圖2中，發(fā)送端發(fā)送4個(gè)消息，每個(gè)接收端根據(jù)“循環(huán)模式”分別從發(fā)送的4個(gè)消息中接收2個(gè)期望消息，同時(shí)消除另外2個(gè)干擾消息．其中，發(fā)送端至少配置5根天線，接收端均配置2根天線．

該模型采用迫零方法來處理干擾消息，從而解碼出期望消息．具體就是，接收端1有兩個(gè)干擾消息W1和W4，只有2個(gè)期望信號(hào)W2和W3; 其他類似．設(shè)波束成形向量F= [f1,f2,f3,f4]5×4．該模型的輸入輸出關(guān)系滿足式(1)．其中，Hk的維度為 2×5 ; 消息信號(hào)矩陣S的維度為 4×1．

要實(shí)現(xiàn)迫零某個(gè)干擾信號(hào)，只要將該干擾信號(hào)置于信道矩陣構(gòu)成的零空間的交空間．針對(duì)當(dāng)前模型來說，接收端3和4的干擾消息W1置于H3和H4構(gòu)成的零空間的交空間中; 接收端1和4的干擾消息W2置于H1和H4構(gòu)成的零空間的交空間中; 接收端1和2的干擾消息W3置于H1和H2構(gòu)成的零空間的交空間中; 接收端2和3的干擾消息W4置于H2和H3構(gòu)成的零空間的交空間中．

首先給出一個(gè)關(guān)于零空間交的引理，如下．

由上述引理可導(dǎo)出一條重要結(jié)論．若(m+p)×n矩陣C的秩r=rank(C)，則它的右奇異向量{ν1，ν2，…，νn}中，與n-r個(gè)零奇異值對(duì)應(yīng)的右奇異向量{νr+1，νr+2，…，νn}構(gòu)成零空間的交 null(A)∩ null(B)的標(biāo)準(zhǔn)正交基．若零空間的交存在，則必有n-r≥ 1; 而矩陣C是滿秩的，有r= min(m+p，n)．由此可以得到關(guān)系式

(2)

簡(jiǎn)化后得到零空間交的重要結(jié)論:n≥m+p+1． 再依據(jù)上述引理，可設(shè)Q1= [H3;H4]，Q2= [H1;H4]，Q3= [H1;H2]，Q4= [H2;H3]，維度均為 4×5，則波束成形向量滿足:

fi∈null(Qi)．

(3)

(4)

其中，Vij(i=1， 2， 3，4;j=5)表示取矩陣Vi的第5列．

通過上述簡(jiǎn)單分析，可以找到當(dāng)前信道模型的波束成形向量，使得每個(gè)接收端的干擾消息迫零，同時(shí)可以得到當(dāng)前模型的自由度為 2×4=8．

圖3 每個(gè)接收端存在1個(gè)干擾消息

2.1.2每個(gè)接收端存在1個(gè)干擾消息的情況

在圖3中，發(fā)送端發(fā)送4個(gè)消息，每個(gè)接收端根據(jù)“循環(huán)模式”分別從發(fā)送的4個(gè)消息中接收3個(gè)期望消息，同時(shí)消除1個(gè)干擾消息．其中，發(fā)送端至少配置4根天線，接收端均配置3根天線．

對(duì)于該情況，每個(gè)接收端只有1個(gè)干擾消息，不存在零空間交，可看成零空間交的退化情況．同樣使用上一小節(jié)的方式迫零干擾消息，獲得期望信號(hào)．同時(shí)，可得當(dāng)前的4用戶模型自由度為 4×3= 12．

2.2　K用戶情況

上節(jié)主要分析了4用戶模型，并給出了如何使每個(gè)接收端的干擾消息迫零，同時(shí)也指出了對(duì)應(yīng)模型的自由度．考慮到實(shí)際工程中應(yīng)盡量節(jié)省成本，依據(jù)上節(jié)提出的迫零方案，下面將針對(duì)更一般的K(K>3) 用戶系統(tǒng)模型，分析如何最優(yōu)配置天線以實(shí)現(xiàn)迫零干擾，同時(shí)簡(jiǎn)要分析一般模型的自由度大?。?/p>

2.2.1最優(yōu)天線配置

K用戶系統(tǒng)模型如圖1所示．對(duì)于接收端，可以配置天線數(shù)量與期望信號(hào)數(shù)量相同，即每個(gè)接收端均配置K-N根天線．下面來分析發(fā)送端的天線數(shù)量的最優(yōu)配置問題．

定理對(duì)于多播K用戶廣播信道網(wǎng)絡(luò)，每個(gè)接收端都配K-N根天線，則使用結(jié)合零空間交的迫零方案，發(fā)送端至少配置NK- (N2-1) 根天線，即可在每個(gè)接收端收到K-N個(gè)期望消息，并迫零N個(gè)干擾信號(hào)，同時(shí)系統(tǒng)模型的自由度為 (K-N)K．

證明對(duì)于筆者提出的“循環(huán)模式”的系統(tǒng)模型，不妨從信道維度來分析天線的具體配置問題，并假設(shè)發(fā)送端至少配置L根天線，才可以實(shí)現(xiàn)在每個(gè)接收端獲取對(duì)應(yīng)的K-N個(gè)消息，同時(shí)消除N個(gè)干擾消息．已知Hi(i=1， 2， 3，…)表示發(fā)送端到接收端的信道矩陣，其維度用 (K-N)×L表示．

與4用戶情況類似，在每個(gè)接收端要實(shí)現(xiàn)存在N個(gè)干擾消息的接收消息中獲得K-N個(gè)期望消息，就必須將干擾消息置于對(duì)應(yīng)信道矩陣的零空間交中．即接收端1至N的干擾消息W1置于{H1，H2，…，HN}構(gòu)成的零空間; 接收端2至N+1 的干擾消息W2置于{H2，H3，…，HN+1}構(gòu)成的零空間;以此類推．同時(shí)，可以確定對(duì)應(yīng)信道矩陣的維度為N(K-N)×L．

再根據(jù)引理及其導(dǎo)出結(jié)論:n≥m+p+1，可以確定n和m+p表示上述零空間的維度，即n=L且m+p=N(K-N)，因此可以得出L≥N(K-N)+1．即得證當(dāng)前模型的發(fā)送端最優(yōu)天線配置為N(K-N)+1 根．又因?yàn)槊總€(gè)接收端均解碼出K-N個(gè)消息，因此可以確定該系統(tǒng)模型的自由度為K(K-N)．

2.2.2干擾處理分析

上一小節(jié)已經(jīng)詳細(xì)分析了K用戶模型的最優(yōu)天線配置問題，接下來展開分析如何實(shí)現(xiàn)在接收端消除干擾，以便獲取相應(yīng)的期望消息．在這里采用迫零方案，關(guān)鍵在于將干擾消息同時(shí)置于多個(gè)信道矩陣構(gòu)成的零空間中，實(shí)現(xiàn)將干擾迫零．具體的分析如下．

假設(shè)波束成形向量F=[f1，f2，f3，…，fK-1，fK]．將發(fā)送消息Wi(i=1， 2， 3， 4，…，K)看成干擾消息時(shí)，必然對(duì)應(yīng)N個(gè)接收端將該消息視為干擾消息，將N個(gè)接收端對(duì)應(yīng)信道矩陣組合起來，并用Q表示，形如Q= [H2;H3]．

對(duì)圖1所示的模型，不妨用Q1表示干擾消息W1對(duì)應(yīng)的組合信道矩陣．以此類推，可得到QK表示干擾消息WK對(duì)應(yīng)的組合信道矩陣．從而得出波束成形的列向量與組合信道矩陣Qi(i=1， 2， 3， 4，…，K)之間的關(guān)系:

fi∈null(Qi)．

(5)

(6)

其中，m=N(K-N)+1，Vim表示取Vi(i=1，2，3，…，K)的第m列向量．

通過上述分析，可以找到使干擾消息迫零的波束成形向量F，進(jìn)而每個(gè)接收端可以解碼出期望消息，同時(shí)消除干擾消息．

2.2.3復(fù)雜度分析

依據(jù)前面的天線配置方案及干擾處理，在這里對(duì)系統(tǒng)的復(fù)雜度展開分析．根據(jù)矩陣?yán)碚摽芍? 對(duì)于秩為r的m×n的矩陣A，對(duì)A進(jìn)行奇異值分解或求取廣義逆，其復(fù)雜度均為O(mnr); 同時(shí)，對(duì)于m×n的矩陣A和n×p的矩陣B，兩者相乘的復(fù)雜度為O(mnp)．

首先分析發(fā)送端的復(fù)雜度．構(gòu)成零空間的組合矩陣的維度可從前面得知為N(K-N)×L，對(duì)該組合矩陣進(jìn)行奇異值分解，可以得到為獲得每個(gè)發(fā)送消息對(duì)應(yīng)的波束成形向量的計(jì)算過程的復(fù)雜度為O(N(K-N)2L)，其中L就是發(fā)送端最低天線配置數(shù)量，即L取值N(K-N)+1．又因?yàn)樵搹V播信道網(wǎng)絡(luò)發(fā)送K個(gè)消息，因此發(fā)送端的總復(fù)雜度CT=O(KN(K-N)2L)，即

CT=O(KN(K-N)2(N(K-N)+1))=O(KN2(K-N)3)．

(7)

然后分析接收端的復(fù)雜度．在每個(gè)接收端通過使用HkF的廣義逆實(shí)現(xiàn)線性編碼方案，其中Hk的維度為 (K-N)×L，F(xiàn)的維度為L(zhǎng)×K．首先，Hk與F相乘的復(fù)雜度為O((K-N)LK)，再對(duì)HkF進(jìn)行廣義逆計(jì)算，其復(fù)雜度為O(K(K-N)2)．因此，每個(gè)接收端的總復(fù)雜度CR=O((K-N)LK)+O(K(K-N)2)，即

CR=O(KN(K-N)2+K(K-N)2)=O(KN(K-N)2)．

(8)

對(duì)于整個(gè)廣播信道網(wǎng)絡(luò)而言，總的系統(tǒng)復(fù)雜度C=CT+CRK．將式(7)和式(8)代入，并經(jīng)過整理之后，可以得到

C=O(KN2(K-N)3+K2N(K-N)2)=O(KN2(K-N)3)．

(9)

整個(gè)多播廣播信道網(wǎng)絡(luò)總的系統(tǒng)復(fù)雜度如式(9)的結(jié)論．

3　仿真與分析

依據(jù)前面的方案分析，在本節(jié)使用了Matlab對(duì)廣播信道網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行了仿真分析．假設(shè)每個(gè)信道為不相關(guān)的瑞利衰落信道，發(fā)送端的發(fā)送功率為P，發(fā)送端在滿足總的功率限制下，對(duì)每個(gè)用戶的發(fā)送功率平均分配，每個(gè)用戶接收端噪聲方差都相同且設(shè)為σ2．同時(shí)，假設(shè)發(fā)送端可獲知它所發(fā)送的所有用戶的無差錯(cuò)等效信道狀態(tài)信息，每個(gè)用戶同樣可獲知接收端到發(fā)送端的信道狀態(tài)信息．

用戶i的消息經(jīng)過一列處理之后，在接收端的接收信噪比為

RSINRi=Pe/(σ2+Pi),

(10)

其中，Pe表示每個(gè)接收端的期望消息功率，Pi表示每個(gè)接收端的干擾消息功率．用戶i的期望消息的速率為

Ri=lb(1+RSINRi)．

(11)

因此，可以得到系統(tǒng)的總和速率為

(12)

依據(jù)上述對(duì)和速率的分析，可以對(duì)系統(tǒng)的和速率[10]進(jìn)行分析，并得到仿真結(jié)果，如圖4和圖5．

圖4 2干擾多用戶模型的和速率與信噪比的關(guān)系圖5 8用戶多干擾模型的和速率與信噪比的關(guān)系

圖4描述的是每個(gè)接收端均有2個(gè)干擾消息的多用戶系統(tǒng)的和速率與信噪比之間的變化關(guān)系．當(dāng)用戶數(shù)從4增加到8時(shí)，系統(tǒng)的自由度相應(yīng)地從8增加到48．從圖中可以看出，在固定每個(gè)接收端的干擾消息數(shù)量N的情況下，系統(tǒng)自由度隨著用戶數(shù)K增加而增加，并且仿真結(jié)果與理論結(jié)果一致．

圖5描述的是8用戶多干擾消息的系統(tǒng)的和速率與信噪比之間的變化關(guān)系．當(dāng)每個(gè)接收端的干擾消息數(shù)量相同且從1個(gè)增加到6個(gè)干擾消息時(shí)，對(duì)應(yīng)的自由度大小從56減少到16．從圖中可以看出，在固定用戶數(shù)的情況下，系統(tǒng)自由度隨著干擾消息數(shù)N增加而線性減少．這個(gè)結(jié)果同樣與理論結(jié)果一致．

圖4和圖5中還描述了單播多用戶的和速率隨著信噪比的變化關(guān)系．從圖中可以看出，在相同信噪比條件下，多播廣播信道網(wǎng)絡(luò)的和速率明顯高于單播廣播信道網(wǎng)絡(luò)的．

對(duì)比兩幅圖不難得出，如果期望獲取更大的系統(tǒng)自由度，可以從兩個(gè)角度考慮問題:控制用戶數(shù)量，使其盡量得多;控制每個(gè)接收端的干擾消息數(shù)量，使其盡可能得少．

4　結(jié) 束 語

筆者嘗試采用以零空間交為基礎(chǔ)構(gòu)造一種新的對(duì)干擾消息迫零方案，研究了多播的K用戶廣播信道網(wǎng)絡(luò)模型．與常見單播廣播信道網(wǎng)絡(luò)模型相比較，筆者提出的模型具有更高的系統(tǒng)性能和速率．同時(shí)，筆者提出的模型采用“循環(huán)模式”的天線配置方式，使接收端的干擾消息數(shù)量可控，從而可給出一般化模型的統(tǒng)一的最優(yōu)天線配置方案．在結(jié)合迫零方法和天線配置方案的基礎(chǔ)上，證明了筆者提出的模型的正確性及方案的可行性，并針對(duì)這種模型進(jìn)行了仿真分析，驗(yàn)證了理論與實(shí)際結(jié)果的一致性．同時(shí)，該迫零方案也可應(yīng)用于每個(gè)接收端的干擾消息數(shù)量不等的模型，這部分內(nèi)容可單獨(dú)深入研究．下一步的工作可將本方案應(yīng)用于其他系統(tǒng)中，如用戶數(shù)量與發(fā)送消息數(shù)量不等的多播廣播信道系統(tǒng)，或多播互擾信道系統(tǒng)，或多播X信道系統(tǒng)，以便更深入地研究多播問題．

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