多站雷達(dá)功率分配自修正凸松弛算法

馮涵哲， 嚴(yán)俊坤， 劉宏偉

(1. 西安電子科技大學(xué) 雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710071;2. 西安電子科技大學(xué) 信息感知技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，陜西 西安 710071)

在實(shí)際中，由于雷達(dá)平臺(tái)的負(fù)載、能源等有限，多站分布式雷達(dá)系統(tǒng)在對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位時(shí)發(fā)射機(jī)總功率會(huì)受到相應(yīng)的限制．近年來(lái)，已經(jīng)有越來(lái)越多的學(xué)者開(kāi)始研究如何使多站分布式雷達(dá)系統(tǒng)在有限資源約束下獲取更好的目標(biāo)定位跟蹤性能和更長(zhǎng)的工作時(shí)間[1-9]．功率分配是該類(lèi)問(wèn)題的一個(gè)重要子類(lèi)，已得到國(guó)內(nèi)外廣泛研究[1，6-7，10-11]．功率分配在多個(gè)領(lǐng)域均有廣泛應(yīng)用．例如，在通信領(lǐng)域，對(duì)站點(diǎn)不足的區(qū)域，將距離信源較近的幾個(gè)基站進(jìn)行合理的資源優(yōu)化，可以使有限的基站承擔(dān)更多的通訊任務(wù); 在互聯(lián)網(wǎng)傳輸領(lǐng)域，由于每根網(wǎng)線(xiàn)傳輸速率有限，且不同服務(wù)器對(duì)所下載資料的貢獻(xiàn)度不同，通過(guò)對(duì)距離較近的幾個(gè)服務(wù)器資源進(jìn)行分配，可提升下載速度．

多站分布式雷達(dá)功率分配最常見(jiàn)的方法是在其發(fā)射總功率恒定的前提下，通過(guò)調(diào)整各站的功率分布來(lái)提升目標(biāo)定位精度．該方法可通過(guò)多種優(yōu)化算法[1，6-7，10-11]快速獲取優(yōu)化結(jié)果．在多站分布式雷達(dá)背景下，文獻(xiàn)[4，12]率先提出了針對(duì)目標(biāo)定位的數(shù)學(xué)模型，并采用了凸松弛算法和域分解方法(Domain Decomposition Methods，DDM)對(duì)該模型進(jìn)行優(yōu)化．凸松弛算法操作簡(jiǎn)單，速度快，可直接通過(guò)CVX優(yōu)化軟件包得到解，編程方便，故目前非常流行．然而，凸松弛后模型的最優(yōu)解與原問(wèn)題模型實(shí)際最優(yōu)結(jié)果之間存在一定的間隙，會(huì)引起額外誤差．其中，間隙的大小、高度依賴(lài)于凸松弛參數(shù)的設(shè)定．而域分解方法則采用了一種類(lèi)似于窮舉搜索的貪婪算法的方法進(jìn)行求解．該方法雖能準(zhǔn)確求得最優(yōu)解，但需花費(fèi)大量時(shí)間進(jìn)行優(yōu)化．

針對(duì)上述兩種算法所存在的缺陷，筆者在凸松弛算法的基礎(chǔ)上提出了一種自修正的凸松弛算法．該方法首先采用傳統(tǒng)的凸松弛模塊對(duì)代價(jià)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化；然后，將所得到的結(jié)果進(jìn)行處理，自修正凸松弛參數(shù)，經(jīng)過(guò)多次迭代，逐步逼近域分解方法可以得到的理論最優(yōu)解；最后，對(duì)提出的算法和已有的算法進(jìn)行了有針對(duì)性的仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證該算法在實(shí)際應(yīng)用背景下的快速性和有效性．

1　數(shù)學(xué)模型

1.1　目標(biāo)定位誤差的克拉美羅界

如果噪聲是方差為σω的高斯獨(dú)立同分布，那么待估計(jì)變量u的誤差先驗(yàn)條件概率密度函數(shù)可寫(xiě)為[13]

(1)

待估計(jì)變量u的著名費(fèi)舍爾信息矩陣可表示為[14]

J(u)=E{[lnf(r|u)] [lnf(r|u)]H}．

(2)

式(2)代表似然函數(shù)梯度的協(xié)方差矩陣，可以導(dǎo)出克拉美羅下界(Cramér-Rao Lower Bound，CRLB)．

在文中，可調(diào)變量為多站分布式雷達(dá)系統(tǒng)各個(gè)發(fā)射站的發(fā)射功率pm，它們組成的矢量p= [p1，…，pM]．由于克拉美羅下界代表目標(biāo)定位精度的下界，可以將其作為目標(biāo)定位精度的衡量尺度．因此，現(xiàn)有工作大多將克拉美羅下界用作功率分配的代價(jià)函數(shù)[4-5]．在多站分布式雷達(dá)對(duì)目標(biāo)定位時(shí)，誤差的克拉美羅下界與費(fèi)舍爾信息矩陣密切相關(guān)聯(lián)，可表示為[5]

(3)

其中，J(u)是待估計(jì)變量u的費(fèi)舍爾信息矩陣，tr(·)是矩陣的求跡運(yùn)算．式(3)中，b= (d+e)，而A=deT-qqT． 其中，d= [d1，…，dM]T，e= [e1，…，eM]T和q= [q1，…，qM]T[15]:

1.2　功率分配的優(yōu)化問(wèn)題和凸松弛后的優(yōu)化問(wèn)題

一旦得到了克拉美羅下界的函數(shù)表達(dá)式(3)，在總功率和單部雷達(dá)最大最小功率約束下，功率分配的優(yōu)化模型可表示為

(7)

其中，IM=[1，1，…，1]T，是M×1矢量；Pmax和Pmin分別為每部發(fā)射雷達(dá)工作時(shí)的最大額定功率和最小待機(jī)功率．式(7)中約束是凸的，但目標(biāo)函數(shù)是非凸非線(xiàn)性函數(shù)．因此，在優(yōu)化過(guò)程中需要非線(xiàn)性搜索且可能存在局部最小點(diǎn)，求解難度較大．采用凸松弛技術(shù)[16]可以簡(jiǎn)化以上目標(biāo)函數(shù)．

從式(7)的分式形式代價(jià)函數(shù)可以看出，其分子是線(xiàn)性函數(shù)，分母是凸二次型函數(shù)．通過(guò)將比值性的代價(jià)函數(shù)凸松弛為加性代價(jià)函數(shù)，可使其變?yōu)橥购瘮?shù)．凸松弛后，優(yōu)化式(7)變?yōu)?/p>

(8)

其中，η是預(yù)先設(shè)定的自修正參數(shù)值．式(8)是典型的凸二次規(guī)劃，采用CVX優(yōu)化軟件包來(lái)求解十分方便．

2　自修正凸松弛算法

從原理上來(lái)講，自修正凸松弛算法就是在凸松弛算法的基礎(chǔ)上，引入修正變量，對(duì)凸松弛參數(shù)進(jìn)行校正來(lái)降低凸松弛引入的額外誤差．該文以?xún)?yōu)化式(8)為基礎(chǔ)，多次反饋修正參數(shù)以逼近最優(yōu)解．

從式(4)～式(6)可發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)定位目標(biāo)的精度與雷達(dá)的發(fā)射功率、距離方位信息以及目標(biāo)的雷達(dá)散射截面等都有關(guān)． 式(8)是凸松弛為凸問(wèn)題的優(yōu)化模型，可以直接采用現(xiàn)今廣泛使用的CVX優(yōu)化軟件包對(duì)其直接求解[5]．該算法的優(yōu)點(diǎn)是求解過(guò)程簡(jiǎn)單，但凸松弛會(huì)引入額外誤差．自修正凸松弛算法在凸優(yōu)化的基礎(chǔ)上引入了一種反饋校正的策略修正凸松弛引入的額外誤差，具體算法如下．

自修正凸松弛算法的求解過(guò)程:

(2) 使用CVX優(yōu)化軟件包來(lái)求解式(8)的問(wèn)題，得到凸松弛后優(yōu)化結(jié)果pout．

(4) 若|η1-η0|≤ε，(收斂條件取ε=10-8)，則停止迭代; 否則，令η0=η1，返回(2)，進(jìn)行下一次的搜索循環(huán)．

總的來(lái)說(shuō)，由上述算法可以快速簡(jiǎn)便地獲取多站分布式雷達(dá)系統(tǒng)定位過(guò)程近似最優(yōu)的資源分配方式．在模塊化優(yōu)化過(guò)程的同時(shí)，有效地減少了凸松弛帶來(lái)的額外誤差．

3　實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為了驗(yàn)證筆者提出的算法在多基地雷達(dá)對(duì)目標(biāo)定位的背景下能夠有效、快速地修正凸松弛帶來(lái)的額外誤差，逼近最優(yōu)功率分配，針對(duì)多站分布式雷達(dá)系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種目標(biāo)定位仿真場(chǎng)景．將筆者提出的算法與凸松弛算法和域分解方法進(jìn)行比較來(lái)驗(yàn)證其有效性．為簡(jiǎn)化仿真，實(shí)驗(yàn)中假設(shè)各部雷達(dá)發(fā)射參數(shù)相同，如表1所示．

表1　雷達(dá)發(fā)射信號(hào)參數(shù)

3.1　目標(biāo)定位背景下不同算法優(yōu)化性能比較

現(xiàn)有功率分配優(yōu)化方法，如凸松弛算法和域分解方法[5]都存在缺陷．凸松弛算法求出的結(jié)果與實(shí)際最優(yōu)解存在一定的額外誤差;域分解方法采用的是一種貪婪算法，優(yōu)化需要大量的計(jì)算時(shí)間．為了方便與這些算法進(jìn)行性能對(duì)比，這里設(shè)計(jì)一種對(duì)目標(biāo)聯(lián)合定位的實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景，通過(guò)該仿真來(lái)驗(yàn)證自修正凸松弛算法的優(yōu)越性．圖1給出了目標(biāo)與雷達(dá)的空間位置分布示意圖．

圖1 收發(fā)共置雷達(dá)與目標(biāo)的空間位置關(guān)系圖2 多種密切相關(guān)算法獲得的結(jié)果對(duì)比

圖3　多種算法計(jì)算時(shí)間對(duì)比

在不同的功率條件下，設(shè)定凸松弛參數(shù)η均為10．圖2給出多種優(yōu)化算法得出的定位精度．圖2中的結(jié)果與理論分析一致，域分解方法能夠獲得最優(yōu)的定位精度; 凸松弛算法因額外誤差的引入只得到較差的定位精度; 修正凸松弛算法則能夠有效地修正凸松弛帶來(lái)的誤差．值得注意的是，在大多數(shù)情況下，第1次修正明顯減少了額外誤差;在此之后的修正對(duì)額外誤差的減少并不明顯．圖3給出了幾種優(yōu)化算法優(yōu)化過(guò)程所需要的時(shí)間．從圖2和圖3中可以看出，自修正凸松弛算法因?yàn)樾拚^(guò)程要進(jìn)行多次(2至3次)凸優(yōu)化，所以計(jì)算時(shí)間相比已有凸松弛算法的要長(zhǎng)，但還是遠(yuǎn)小于域分解方法所需的計(jì)算時(shí)間．因此，自修正凸松弛算法以少量計(jì)算時(shí)間的增加獲得更好的性能．

3.2　不同凸松弛參數(shù)自修正凸松弛算法優(yōu)化性能比較

為了顯示凸松弛算法對(duì)凸松弛參數(shù)的高度依賴(lài)性，設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)，所有發(fā)射信號(hào)參數(shù)與表1相同，發(fā)射站、接收站和目標(biāo)位置分布如圖1所示．

該實(shí)驗(yàn)中，在不同凸松弛參數(shù)η0的條件下，比較了凸松弛算法對(duì)性能帶來(lái)的損失以及修正后的效果．圖4為η0取10條件下，采用凸松弛算法、域分解方法和自修正凸松弛算法分別獲得的優(yōu)化結(jié)果．圖5為η0取1條件下，采用凸松弛算法、域分解方法和自修正凸松弛算法分別獲得的優(yōu)化結(jié)果．比較圖4與圖5可以看出，在參數(shù)為1的條件下，凸松弛算法性能損失遠(yuǎn)大于參數(shù)為10條件下進(jìn)行的凸松弛算法．相應(yīng)地 ， 在參數(shù)為1的條件下 ， 進(jìn)行修正改進(jìn)效果更加明顯．

圖4 凸松弛參數(shù)設(shè)定為10時(shí),優(yōu)化結(jié)果對(duì)比圖5 凸松弛參數(shù)設(shè)定為1時(shí),優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

該實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了凸松弛算法的性能損失高度依賴(lài)于凸松弛參數(shù)的設(shè)定，自修正凸松弛算法能夠自適應(yīng)地找到最優(yōu)的凸松弛參數(shù)．

4　結(jié) 束 語(yǔ)

在多站分布式雷達(dá)系統(tǒng)下，筆者提出了一種可以采用CVX優(yōu)化軟件包的目標(biāo)定位功率分配的自修正凸松弛算法．該算法能根據(jù)分布式組網(wǎng)雷達(dá)系統(tǒng)各部雷達(dá)的發(fā)射參數(shù)，在功率有限等約束下快速獲取更好的定位性能．具體工作方式是在各個(gè)時(shí)刻，將功率盡可能地分配給優(yōu)勢(shì)雷達(dá)以對(duì)現(xiàn)有目標(biāo)進(jìn)行更好的定位．與傳統(tǒng)的功率分配算法相比，筆者提出的算法優(yōu)勢(shì)如下:可以使用CVX優(yōu)化軟件包進(jìn)行求解，便于軟件編程和工程實(shí)際操作;通過(guò)反饋來(lái)修正凸松弛參數(shù)，有效地降低了凸松弛時(shí)引入的額外誤差，優(yōu)化結(jié)果接近最優(yōu)結(jié)果．未來(lái)，將繼續(xù)改進(jìn)自修正凸松弛算法，并推廣應(yīng)用于分布式雷達(dá)目標(biāo)跟蹤檢測(cè)等問(wèn)題．

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