同一柱面電容傳感器探頭數(shù)學(xué)模型解析解*

包本剛, 朱湘萍, 劉志壯, 侯意仁

(湖南科技學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院，湖南 永州 425199)

0 引 言

在工程實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常需要檢測電容傳感器[1]的電容值或者改變量來獲得所需的其他物理量[2～7]，近幾年來對電容傳感器的設(shè)計(jì)及研究應(yīng)用越來越多[8～16]，但得到的電容傳感器數(shù)學(xué)模型均為近似模型，誤差較大，如文獻(xiàn)[8]提出了單一平面電容傳感器數(shù)學(xué)模型，用于測量木材的含水率，檢測精度高時(shí)誤差難以控制，且計(jì)算量非常大，操作不便；文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)了壓輥傳感器模型，可對稻谷干燥水分進(jìn)行動態(tài)監(jiān)測，但在10 %～33 %含水率處誤差較大，且含水量較大時(shí)，檢測時(shí)間較長；文獻(xiàn)[10]設(shè)計(jì)了阻抗傳感器，小麥秸稈的濕基含水率在10.4 %～19.7 %以外誤差較大等。

為了更準(zhǔn)確地測量顆粒物體的含水率，本文利用電容器定義、靜電場中的導(dǎo)體、電介質(zhì)及電容器的邊緣效應(yīng)等電磁理論，提出了同一柱面的電容傳感器探頭的數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出同一柱面電容傳感器探頭的電容量與被測顆粒物體介電常數(shù)的規(guī)律，為顆粒物體的含水率檢測及監(jiān)控設(shè)計(jì)了一種新型的電容傳感器。探頭結(jié)構(gòu)簡單，操作方便，測量含水量發(fā)范圍比較廣，具有較高的實(shí)用性。

1 同一柱面電容傳感器探頭結(jié)構(gòu)及工作原理

1.1 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

如圖1所示，電極I，II采用長方形銅箔對稱粘貼在絕緣圓筒的外壁，內(nèi)外半徑分別為R3,R4，長和寬分別為a,b；絕緣圓筒采用PVC塑料圓筒制成，內(nèi)外半徑分別為R2,R3；隔離電極(地電極)，采用銅箔粘貼在絕緣圓筒的整個(gè)內(nèi)壁，內(nèi)外半徑為R1,R2。

圖1 同一柱面電容式傳感器結(jié)構(gòu)

1.2 工作原理

同一柱面電容傳感器尺寸、形狀、位置及環(huán)境溫度一定時(shí)，電容值由被測顆粒物體介電常數(shù)唯一確定，且電容量與被測顆粒物體介電常數(shù)是一一對應(yīng)的單值函數(shù)；當(dāng)被測顆粒物體的含水量一定時(shí)，其介電常數(shù)唯一確定，當(dāng)含水量變化時(shí)，其介電常數(shù)相應(yīng)發(fā)生變化，傳感器的電容量亦隨之發(fā)生相應(yīng)的變化；實(shí)現(xiàn)通過檢測同一柱面電容傳感器探頭的電容量的變化推算被測顆粒物體的含水量。

2 同一柱面電容器傳感器探頭數(shù)學(xué)模型

2.1 模型建立[1]

Δ2V=0,(x,y,z)∈Ω∪(R3-Ω1-Ω2-Ω)

(1)

V|Ω1=V1,V|Ω2=V2

(2)

(3)

Vi|?Ω=V0|?Ω

(4)

(5)

對于同一圓柱面電容傳感器探頭，采用柱面坐標(biāo)，設(shè)兩金屬電極板所占的空間區(qū)域?yàn)?/p>

(6)

(7)

被測顆粒物體外圍空間采用球坐標(biāo)，其區(qū)域?yàn)?/p>

II={(r,θ,φ)|r>R4,β<θ<π-β,0<φ<π}

(8)

2.2 傳感器探頭電容量介電常數(shù)變化規(guī)律

假設(shè)兩金屬電極板的電勢分別為V1,V2均已經(jīng)確定，根據(jù)對稱結(jié)構(gòu)，V1=-V2

(9)

在I區(qū)域，管內(nèi)電解質(zhì)是圓柱分布，可取柱坐標(biāo)系，I區(qū)域內(nèi)的電勢V(r)為r的函數(shù)

由式(1)得

I區(qū)域內(nèi)的電勢的通解為

V(r)=A1lnr+B1

(10)

在II區(qū)域，由于被測物料相對于柱面電容器，可以視為無限大，外電場的分布可以視為球形分布，取球坐標(biāo)，則II區(qū)域的電勢V(r)為r的函數(shù)

(11)

由式(3)～式(11)得VI(R2)=0，VI(R3)=V1，VII(R4)=V1，VII(∞)=0,即

(12)

式中A1,A2,B1,B2為常數(shù)。I區(qū)域內(nèi)的電勢VI為

(13)

(14)

又由E=-ΔV，式(13)、式(14)得

(15)

由式(15)推出右側(cè)金屬板內(nèi)側(cè)電荷q1、外側(cè)電荷q2分別為

(16)

(17)

式中ε1為柱面電容器內(nèi)部PVC電介質(zhì)的介電常數(shù)；ε2為被測顆粒物體的介電常數(shù)；a，b分別為長方形銅箔極板的長與寬。由式(1)、式(16)、式(17)及電容器電容的定義式得

(18)

式中ε0為真空介電常數(shù)，ε0=8.85×10-12C2/N/m2；ε1r，εr分別為PVC、顆粒物體的相對介電常數(shù)。

3 算例測試

由式(18)可以看出：同一柱面電容傳感器探頭的電容量隨被測顆粒物體介電常數(shù)呈線性變化。采用PVC塑料圓筒設(shè)計(jì)電容傳感器探頭，若外徑R3為21 mm、內(nèi)徑R2為14 mm、相對介電常數(shù)εr=3，電極I、電極II為長a(20 mm)×寬b(50 mm)長方形銅箔對稱粘貼在圓筒的外壁，隔離電極長為50 mm，粘貼在圓筒的整個(gè)內(nèi)壁，由于銅箔很薄，銅箔內(nèi)外半徑相等，則R4≈R3，根據(jù)式(18)得電容量C(pF)

C=0.21εr+1.56

(19)

當(dāng)被測物體為真空，εr=1代入式(19)，得探頭的電容量C=1.77 pF，而實(shí)驗(yàn)測試電容量C′=1.70 pF，計(jì)算值與測量值的誤差大約3.95 %。

為了檢驗(yàn)電容傳感器探頭的可行性，采用稻谷作為檢測對象，在同一溫度下對不同含水率的谷物，測量了同一柱面電容傳感器探頭的電容量，測量數(shù)據(jù)如圖2所示。

圖2 探頭的電容量與稻谷含水率的關(guān)系

可知式(19)模型在一定條件下正確。

4 結(jié) 論

1)設(shè)計(jì)的同一柱面電容傳感器探頭體積小、結(jié)構(gòu)簡單、操作方便，不會將顆粒物體夾在電極之間，且性能可靠、準(zhǔn)確度較高；

2)在溫度和兩極位置一定時(shí)，利用電磁理論、邊界條件及偏微分方程的問題，推導(dǎo)出探頭的電容量與被測顆粒物體相對介電常數(shù)的規(guī)律，接近線性關(guān)系；

3)對某具體尺寸的探頭，計(jì)算出該探頭與谷物的相對介電常數(shù)表達(dá)式，并計(jì)算了真空中探頭的電容值為1.77 pF，與測量值非常接近；

4)用該尺寸的探頭，測量不同含水率谷物時(shí)，實(shí)驗(yàn)測量該探頭的電容量與谷物的含水量接近線性關(guān)系。

以上結(jié)果驗(yàn)證了同一柱面電容傳感器探頭的數(shù)學(xué)模型在一定條件下正確，用該探頭測量顆粒物體的含水率，體積小，操作方便，性能可靠，具有一定的實(shí)際意義。

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