一類隱零點問題的解題策略

■東北師范大學(xué)附屬中學(xué)　劉彥永

近年來,高考數(shù)學(xué)壓軸題的熱點聚焦在了函數(shù)的零點和極值點問題。筆者在教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)同學(xué)們對隱零點(零點不可求)問題沒有系統(tǒng)的解決辦法,常常望而生畏,不知所措。本文通過下面的典型題目探討這類問題的三種基本解法,以明確這類問題的解題策略,提高解題效率。

題目1：設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax-2。

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若a=1,k為整數(shù),且當(dāng)x＞0時,(x-k)f'(x)+x+1＞0,求k的最大值。

本題是2012年全國新課標(biāo)卷Ⅱ文科第21題,題目限制條件比較新穎,采用設(shè)而不求的解法非常有效,這類題型的練習(xí)對同學(xué)們的思維有一定的啟發(fā)性。

解析：(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域為R,且f'(x)=ex-a。

當(dāng)a≤0時,f'(x)＞0,f(x)在R上是增函數(shù),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是R;

當(dāng)a＞0時,令f'(x)=ex-a=0,得x=lna。

令f'(x)=ex-a＞0,得x＞lna,所以f(x)在(lna,+∞)上是增函數(shù);

令f'(x)=ex-a＜0,得x＜lna,所以f(x)在(-∞,lna)上是減函數(shù)。

故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(lna,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,lna)。

(Ⅱ)解法1：(分離參數(shù)、設(shè)而不求,轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題)

若a=1,則f(x)=ex-x-2,f'(x)=ex-1。

所以(x-k)f'(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1=x(ex-1)+x+1-k(ex-1)。

當(dāng)x＞0時,(x-k)f'(x)+x+1＞0等價于x(ex-1)+x+1-k(ex-1)＞0。

由于①式等價于k＜g(α)=α+1∈(2,3),故整數(shù)k的最大值為2。

解法2:(分類討論,轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題)

當(dāng)x＞0時,(x-k)f'(x)+x+1＞0等價于:(x-k)(ex-1)+x+1＞0。②

令g(x)=(x-k)(ex-1)+x+1(x＞0),g'(x)=(x-k+1)ex。

(1)當(dāng)k≤1時,g'(x)＞0恒成立,g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,g(x)＞1＞0,符合題意。

(2)當(dāng)k＞1時,若x∈(0,k-1),則g'(x)＜0;若x∈(k-1,+∞),則g'(x)＞0。

故g(x)在(0,k-1)上單調(diào)遞減,在(k-1,+∞)上單調(diào)遞增。

由于②式等價于g(x)min=g(k-1)=k+1-ek-1＞0。

令h(k)=k+1-ek-1(k＞1),h'(k)=1-ek-1＜0,h(k)在(1,+∞)上單調(diào)遞減。

且h(2)=3-e＞0,h(3)=4-e2＜0,故整數(shù)k的最大值為2。

由(Ⅰ)知,函數(shù)h(x)=ex-x-2在(0,+∞)單調(diào)遞增。

而h(1)=e-3＜0,h(2)=e2-4＞0,所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零點。

故g'(x)在(0,+∞)存在唯一的零點,設(shè)此零點為α,則α∈(1,2)。

當(dāng)x∈(0,α)時,g'(x)＜0;當(dāng)x∈(α,+∞)時,g'(x)＞0。

所以g(x)在(0,+∞)的最小值為g(α)。

又由g'(α)=0,可得eα=α+2,所以

解法3:(巧妙換元、數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化為切線問題)

當(dāng)x＞0時,(x-k)f'(x)+x+1＞0等價于x(ex-1)+x+1-k(ex-1)＞0。

令t=ex∈(1,+∞),則問題等價于tlnt+1-k(t-1)＞0,即tlnt+1＞k(t-1)。

令g(t)=tlnt+1(t＞1),g'(t)=lnt+

問題等價于函數(shù)g(t)=tlnt+1的圖像恒在過定點(1,0)的直線y=k(t-1)的上方。

作出草圖即知臨界值為過(1,0)作g(t)=tlnt+1的切線。

設(shè)切點坐標(biāo)為(α,αlnα+1),則k切線=即lnα-α+2=0。

k切線=lnα+1=α-1∈(2,3),故整數(shù)k的最大值為2。

題目2：已知函數(shù)f(x)=axex-1,g(x)=lnx+kx。

(Ⅰ)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)當(dāng)k=1時,f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范圍。

當(dāng)k≥0時,g'(x)＞0,g(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);

(Ⅱ)解法1：(分離參數(shù)、設(shè)而不求,轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題)

當(dāng)k=1時,f(x)≥g(x)恒成立,即axex-1≥lnx+x恒成立。

故lnt+t=0,即t=e-t。

當(dāng)x∈(0,t)時,p(x)＞0,h'(x)＞0;當(dāng)x∈(t,+∞)時,p(x)＜0,h'(x)＜0。

h(x)max=h(t)=1。

解法2：(分類討論,轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題)

當(dāng)k=1時,f(x)≥g(x)恒成立,即axex-lnx-x-1≥0恒成立。

(1)當(dāng)a≤0時,h'(x)＜0恒成立,h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,h(1)=ae-2＜0,不符合題意。

(2)當(dāng)a＞0時,令p(x)=axex-1(x＞0),p(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

x∈(0,t)時,h'(x)＜0;x∈(t,+∞)時,h'(x)＞0。

h(x)min=h(t)=atet-lnt-t-1=-lnt-t=lna≥0,故a≥1。

解法3:(數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化為公切線問題)

當(dāng)k=1時,f(x)≥g(x)恒成立,即axex-1≥lnx+x恒成立。

分別研究f(x)=axex-1和g(x)=lnx+x在(0,+∞)上的圖像。

當(dāng)a≤0時,axex-1≥lnx+x顯然不恒成立。

當(dāng)a＞0時,因為f'(x)=a(x+1)ex＞0,f″(x)=a(x+2)ex＞0,且g'(x)=+ 1＞0,g″(x)=-＜0,所以兩個函數(shù)的草圖(圖1)和臨界時的圖像(圖2)如下:

圖2

圖1

因此,只需找到臨界狀態(tài)對應(yīng)的a即可。設(shè)臨界時兩曲線的公共點的橫坐標(biāo)為t,則有消去a得(t+1)(lnt+t)=0,即lnt+t=0。故atet-1=lnt+t=0,即atet=1,取對數(shù)有l(wèi)na+lnt+t=0,得a=1。根據(jù)圖像變化情況知a≥1符合題意。

隱零點問題是高考的一類重點和難點問題,解決此類問題主要有分離參數(shù)、分類討論和數(shù)形結(jié)合三種方法,三種方法各有千秋,應(yīng)具體問題具體分析。一般首選分離參數(shù)的方法,因為這樣能將問題轉(zhuǎn)化為不含有參數(shù)的函數(shù)的最值問題,直接降低了解答的難度。對于不易或不能分離參數(shù)的問題可采用分類討論的方法。對于選擇題或者填空題,我們可以利用技巧等價轉(zhuǎn)化并應(yīng)用數(shù)形結(jié)合快速得到答案。