對一道立體幾何題的多解探析與思考

李大才

[摘? 要] 立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要知識，在高考幾何客觀題中常涉及一些求角度、距離、面積等問題，對于該類問題的求解，需要我們充分結(jié)合問題條件，合理轉(zhuǎn)化視角對問題進(jìn)行拆分、提煉.

[關(guān)鍵詞] 幾何;平面;圖形;推理;模型;多解

考題呈現(xiàn)

（2018年高考理數(shù)全國卷Ⅰ第12題）已知正方體的棱長為1，每條棱長所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為（? ? ）

分析：本題以正方體為研究背景，求解平面截正方體所得截面的最大值，關(guān)鍵條件是所有棱長所在直線與該平面所成的二面角均相等，根據(jù)該條件可以分析該平面與正方體底面所傾斜的角度，進(jìn)而研究截面的最值. 雖然問題屬于幾何最值問題，但從問題背景、條件來看，依然屬于空間幾何問題，問題的分析可以分解為兩個階段：一是截取平面的確定，二是截面圖形面積最大值情形的確定. 對于該問題的求解有多種分析視角，可以從立體幾何視角對問題進(jìn)行剖析;另外考慮到問題是求截面的面積，如若可以確定平面α的空間擺放，從而將幾何體展開，則可以將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究，針對不同的研究視角可以施行不同的方法.

多解探究

1. 經(jīng)驗分析，猜想突破

本題目為高考的一道填空壓軸題，考慮到研究背景為特殊的正方體，在考場時間寶貴的情況下，我們可以結(jié)合經(jīng)驗進(jìn)行猜想，而不對猜想進(jìn)行論證.

知識經(jīng)驗：兩條相交線可以確定一個平面，而立方體的所有平面可以細(xì)分為三類，對應(yīng)空間幾何的三維平面，可以確定正方體內(nèi)有三類棱，這三類棱可以劃歸為由同一頂點出發(fā)的三條直線，且互成90°角.

猜想推導(dǎo)：當(dāng)這三條棱分別與平面α所成的角度相等時就可以確定正方體內(nèi)所有的棱與其所成角度相等. 根據(jù)知識經(jīng)驗，結(jié)合直觀感受可以確定平面AB1D1或平面BDC1分別與點A1，C衍生出的三條棱所成角度相等，即是符合要求的平面α，如圖1.

截面分析：平面AB1D1或平面BDC1均是符合要求的平面，分析可知兩平面互相平行，且所截取的截面的形狀均為正三角形，且面積相等. 而當(dāng)平移其中的一個平面，可知截面的形狀演化規(guī)律為：正三角形→六邊形（面積逐漸增大）→正六邊形（面積達(dá)到最大）→六邊形（面積逐漸減小）→正三角形.根據(jù)經(jīng)驗可以確定：當(dāng)所截圖形為正六邊形時，截面的面積可以達(dá)到最大值，此時正六邊形的六個頂點均位于所在棱的中點.

2. 模型構(gòu)建，最值分析

上述解法1僅通過知識經(jīng)驗進(jìn)行了最大截面面積推導(dǎo)，沒有經(jīng)過嚴(yán)密的理論論證，下面我們對“截面為正六邊形時面積最大”的結(jié)論進(jìn)行論證分析. 如圖4所示，在法1的立體模型中將截成的一般六邊形的各條邊延長，并補全為完整的三角形，可以確定△LMN為正三角形，設(shè)HI=a，則可以求出六邊形的各條邊的長度，如圖5. 采用面積割補法求六邊形的面積，即用△LMN的面積減去三個小的三角形.

從上述論證過程可知，所截的截面為正六邊形時，取得的截面面積最大，與我們的經(jīng)驗推斷是一致的.

3. 空間投影，模型構(gòu)建

對于截面面積的分析我們同樣可以從空間投影的角度進(jìn)行，首先從空間角度確定與正方體所有棱長所成角度均相等的平面，然后利用投影來分析面積最大的情形.

4. 空間向量，向量分析

上述主要講解了四種求解截面最大值的方法，方法1是從經(jīng)驗角度進(jìn)行的分析推斷，該方法以幾何直觀經(jīng)驗為基礎(chǔ)直接確定了截面的形狀;而方法2是對截面為正六邊形的面積最大情形進(jìn)行了理論分析，是對方法1經(jīng)驗判斷的論證;后續(xù)的方法3和方法4則是嚴(yán)格按照幾何證明與一般化分析進(jìn)行的嚴(yán)密推導(dǎo). 其中方法3采用的是立體幾何投影方式，將復(fù)雜的空間幾何的問題轉(zhuǎn)化為平面幾何面積問題，然后結(jié)合平面幾何知識對截面圖形的形狀進(jìn)行了分析;而方法4則是采用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目臻g向量法，以正方體的為基礎(chǔ)構(gòu)建空間向量坐標(biāo)系，將問題拆分為截面α所在平面的確定和截面圖形面積最大值的求解兩個分問題，然后分別從向量的角度進(jìn)行推理. 總體上來看，求解方法的分析視角無外乎空間幾何和平面幾何兩個視角，多視角的結(jié)合分析可使問題更為明朗清晰.

解題反思

1. 合理拆分，敏銳識圖

上述考題是典型的空間幾何問題，考題將空間分析和平面推理相結(jié)合，用以考查學(xué)生處理綜合問題能力. 從問題的求解過程來看，主要分為兩個階段：一是從空間角度確定符合題意的截面;二是從平面幾何角度求解面積最大值. 從綜合問題的分析策略角度來看，采用拆分細(xì)化的方式可以將復(fù)雜問題簡單化，從而有效降低了思維難度. 而從幾何問題的拆分方式來看，提升敏銳的識圖能力，有效提煉特殊圖形是問題細(xì)化的關(guān)鍵. 增強(qiáng)識圖能力可以從兩個方面進(jìn)行：一是牢固掌握常見圖形的特征幾何，如立方體的棱長性質(zhì)、正四面體的底面性質(zhì)等;二是構(gòu)建立體幾何與平面圖形之間的聯(lián)系，如立體幾何中的投影特性、空間幾何的截面形狀等. 通過多維視角的分析完成圖形的認(rèn)知強(qiáng)化，為后續(xù)的復(fù)雜圖形拆分組合打下基礎(chǔ).

2. 嚴(yán)謹(jǐn)推理，科學(xué)建模

從高考立體幾何題的命制與求解過程來看，試題在考查知識的同時，也在注重對學(xué)生核心素養(yǎng)的考查，包括對問題的轉(zhuǎn)化、分析的推理、圖形的構(gòu)造等. 如上述立體幾何求值題的求解中，首先是對問題條件的直觀化，然后進(jìn)行推理建模，其中最為關(guān)鍵的學(xué)科素養(yǎng)是推理與建模，正是兩者的結(jié)合使用從而確定了截面、求得了最值.邏輯推理存在于數(shù)學(xué)解題的全過程，是遵從科學(xué)依據(jù)開展的探究活動，對于幾何問題，在推理時需要結(jié)合對應(yīng)的幾何性質(zhì)，按照圖形組合的方式開展問題探究. 需要注意的是推理的過程要充分結(jié)合構(gòu)造思想，利用幾何模型協(xié)助推理，然后利用推理進(jìn)一步完善模型，從而實現(xiàn)問題的準(zhǔn)確解答.注重推理能力和建模能力的協(xié)同發(fā)展是提升幾何問題解題效率的關(guān)鍵，在平時的學(xué)習(xí)中應(yīng)針對性訓(xùn)練.