帶有分段常數(shù)變量的Logistic模型的穩(wěn)定性和Neimark-Sacker分支

豆中麗，王　瑞

(1.重慶工商大學(xué)融智學(xué)院，重慶 400055； 2.重慶大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

1　預(yù)備知識(shí)

在生態(tài)系統(tǒng)中，具有分段常數(shù)變量微分方程模型的穩(wěn)定性、分支、混沌等動(dòng)力學(xué)行為逐漸受到眾多學(xué)者關(guān)注.文獻(xiàn)[1]討論了帶有分段常數(shù)變量的單種群Logistic模型

(1)

其中t，r，K∈(0，+∞)，[t]表示參數(shù)t的整數(shù)部分.該文討論了模型在正平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性和分支行為，指出當(dāng)參數(shù)r等于某特殊值時(shí)，該模型在正平衡點(diǎn)附近出現(xiàn)混沌現(xiàn)象.文獻(xiàn)[2]討論了一類具有功能反應(yīng)函數(shù)與食餌數(shù)量成正比的模型，但捕食者總有吃飽的時(shí)候，這就意味著忽略了消化飽和因素，與實(shí)際情況不太相符.因此研究具有飽和因素的功能反應(yīng)函數(shù)更加符合實(shí)際情況，而具有Holling-Ⅱ功能的反應(yīng)函數(shù)

就有飽和關(guān)系.本文研究了捕食者Y(t)滿足Logistic方程，且其數(shù)量按照Logistic方式增長的模型

(2)

其中：X為食餌種群密度；Y為捕食者種群密度；r為食餌內(nèi)稟增長率；e∈(0，1)為氣象環(huán)境對(duì)食餌種群密度的影響因子；K為環(huán)境容納量，可解釋為食餌所取作物狀況；a為捕食者的捕食率；β∈[0，1)為食餌逃避率，即捕食種群能捕捉到食餌數(shù)量為(1-β)X(t)；c∈(0，1]為捕食者捕食食餌的轉(zhuǎn)化率；d為捕食者的死亡率.根據(jù)生態(tài)學(xué)意義可知模型(2)的初始條件為X(0)=X0>0，Y(0)=Y0>0.

2　平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性

當(dāng)n≤t≤n+1(n=0，1，2，…)時(shí)，系統(tǒng)(2)轉(zhuǎn)化為

(3)

對(duì)(3)式兩端從n到t積分，并令t→n+1，得

(4)

通過簡單計(jì)算可得：對(duì)于任何參數(shù)，系統(tǒng)存在不動(dòng)點(diǎn)E0(0，0)，E1(K，0)；當(dāng)ac-d>0，K>K0時(shí)，系統(tǒng)(4)存在唯一正平衡點(diǎn)[3]

定理2.1系統(tǒng)(4)的平凡平衡點(diǎn)E0(0，0)是鞍點(diǎn).

證明系統(tǒng)(4)的Jacobian矩陣為

當(dāng)(x(n)，y(n))=(0，0)時(shí)，由文獻(xiàn)[5]可知系統(tǒng)(4)對(duì)應(yīng)線性系統(tǒng)的特征方程為(λ-er)(λ-de-d)=0，從而λ1=er，λ2=-de-d.因?yàn)閞>0，故|λ1|>1，|λ2|<1，所以平凡平衡點(diǎn)E0(0，0)是鞍點(diǎn).

定理2.2(1) 當(dāng)0d，則平衡點(diǎn)E1(k，0)是鞍點(diǎn).

(2) 當(dāng)r>2，k(1-β)(ac-d)>d時(shí)，平衡點(diǎn)E1(k，0)是不穩(wěn)定的.

(3) 當(dāng)r≠1，3，k(ac-d)(1-β)=d時(shí)，模型在平衡點(diǎn)E1(k，0)處產(chǎn)生Flip分支

證明模型(4)在平衡點(diǎn)E1(k，0)的Jacobian矩陣為

(1) 當(dāng)01+d，則|λ1|<1，|λ2|>1，從而E1(k，0)是鞍點(diǎn).

(2) 當(dāng)r>2，k(1-β)(ac-d-1)>1+d時(shí)，有|λ1|>1，|λ2|>1，所以E1(k，0)是不穩(wěn)定的.

成立，則系統(tǒng)(3)在無病平衡點(diǎn)E1(k，0)處產(chǎn)生Flip分支.

(1) 若d(1+ac-d)K-(ac+(1+ac-d)d)K0<0，且

由于正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性由特征方程的特征根決定，令p(λ)=λ2+μ1λ+μ2，可得

3　分支解的存在性和穩(wěn)定性

以及特征根

設(shè)p，q分別是對(duì)應(yīng)于特征值eiθ0，e-iθ0的特征向量，則

Aq=eiθ0q，ATp=e-iθ0p.

通過計(jì)算系統(tǒng)可表示為

其中：O(‖x‖4)是高階無窮小量；B(x，y)和C(x，y，z)是多重線性函數(shù)，且在坐標(biāo)下的分量為

于是：

具有N-S分支的系統(tǒng)出現(xiàn)的閉不變曲線方向，可以用下面公式計(jì)算：

4　數(shù)值模擬

情形Ⅲ取參數(shù)值d=0.01，c=0.1，β=0.1，a=0.4，K=10.根據(jù)定理計(jì)算可知當(dāng)r>r0>0.712時(shí)，差分方程(4)對(duì)初值迭代解非常敏感，看不出穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，系統(tǒng)已經(jīng)失穩(wěn)，產(chǎn)生混沌現(xiàn)象，見圖3—4.

圖1　r

圖2　0.67

圖3　r>r0>0.712時(shí)N-S分支解的平面和相平面圖

圖4　混沌分岔圖

[參考文獻(xiàn)]

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