Bergman-Hartogs域上的兩類雙全純映照子族

王朝君，崔艷艷，劉　浩

(1.周口師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 周口 466001； 2.河南大學(xué)現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究所，河南 開封 475001)

1　預(yù)備知識(shí)

1995年，Roper-Suffridge算子的引入在單變量解析函數(shù)與多復(fù)變量雙全純映照之間架起了一座橋梁，也為在多復(fù)變空間中構(gòu)造具有特殊幾何性質(zhì)的雙全純映照提供了保障.雙全純映照及其延拓主要研究各類雙全純映照子族，而隨著各類雙全純映照子族的不斷出現(xiàn)，其在Roper-Suffridge延拓算子下的幾何不變性引起了眾多學(xué)者的關(guān)注.

本文將Roper-Suffridge延拓算子進(jìn)一步推廣為

F(w，z)=(w(1)(f′(z1))δ1，…，w(s)(f′(z1))δs，f(z1)+G([f′(z1)]γz0)，(f′(z1))γz0)′.

(1)

F(z)=(f(z1)+G([f′(z1)]γz0)，(f′(z1))γz0)′.

(2)

下面主要討論算子(1)在域

上保持α次β型螺形映照及復(fù)數(shù)λ階殆星映照的性質(zhì)，并得到算子(2)也具有同樣性質(zhì).

引理1[1]設(shè)Ω∈Cn是有界星形圓形域，其Minkowski泛函ρ(z)除去一個(gè)低維流形Ω0外一階可導(dǎo)，則?z=(z1，…，zn)∈ΩΩ0，

引理4[3]設(shè)f(z)是單位圓盤D上的正規(guī)化雙全純函數(shù)，α≥2，則

2　主要結(jié)論及其證明

(3)

由引理2得

(4)

其中

令

(5)

則q(z1)∈H(D)，|q(z1)|<1且

(6)

(1+2)I=2α(1-itanβ)G(w，z)+(i2αtanβ-1)(1+2)=

(7)

(8)

從而由(7)—(8)式及引理5―7得

注1在定理1中若只考慮算子(1)中的后兩個(gè)元素，則得到算子(2)在單位球Bn上也保持α次β型螺形性.若令β=0，則得到相應(yīng)的關(guān)于α次星形映照的結(jié)論.

證明由復(fù)數(shù)λ階殆星映照的定義，只需證明

(9)

(10)

由f(z1)是D上的復(fù)數(shù)λ階殆星函數(shù)知Req(z1)>0，q(z1)∈H(D)，q(0)=1且

(11)

由引理8，

(12)

根據(jù)(4)，(10)與(11)式，

與定理1類似論證可得結(jié)論成立.

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