問題驅(qū)動理念下的高中數(shù)學(xué)合作學(xué)習(xí)探析
——以“差角三角函數(shù)公式”教學(xué)為例

陳龍珠吳 飛

（1.尤溪第一中學(xué)，福建 尤溪 365100；2.尤溪教師進修學(xué)校，福建 尤溪 365100）

“自主、合作與探究”是本次課程改革所提倡的教學(xué)理念。相對自主學(xué)習(xí)而言，高中生合作學(xué)習(xí)的組織和實施比較困難，主要問題集中表現(xiàn)在兩個方面：一是不愿合作與不會合作?；A(chǔ)好的學(xué)生認為課堂學(xué)習(xí)時間太緊，與其合作不如自己多學(xué)，基礎(chǔ)弱的學(xué)生提不出問題，不知道如何合作。二是沒有合作學(xué)習(xí)的平臺與機制。所謂“合作學(xué)習(xí)平臺”，是指兩人及以上有組織的合作學(xué)習(xí)小組，小組內(nèi)有目標(biāo)、有分工。沒有平臺就沒有組建學(xué)習(xí)小組或有小組沒有組織管理。［1］所謂“合作學(xué)習(xí)機制”主要指相互間的幫扶機制，合作的評價、激勵機制。［2］沒有機制就沒有結(jié)對子幫扶措施，沒有過程評價和行為激勵的運行機制。

上述問題的根源集中體現(xiàn)在教師和學(xué)生認識上，反映在合作學(xué)習(xí)問題設(shè)計上。認識到位，問題設(shè)計合理，那么合作的態(tài)度、平臺及其機制就有根基。對此，筆者以“差角三角函數(shù)公式”教學(xué)為例，從學(xué)習(xí)問題設(shè)計入手，對高中生數(shù)學(xué)合作學(xué)習(xí)的實施進行具體分析。

一、師生慣性思維引發(fā)的合作學(xué)習(xí)困境與矯正

對教師而言，依據(jù)教材講授知識是最為簡單的教學(xué)行為?！敖潭冀滩粫?，讓學(xué)生自己合作學(xué)習(xí)不是時間浪費嗎？”“課程教學(xué)內(nèi)容多、任務(wù)重，沒有時間安排合作”，這是“教教材”教師的普遍認識。以“差角三角函數(shù)公式”（2013人教版A版數(shù)學(xué)必修4）的教學(xué)為例，按照教材設(shè)計的教學(xué)基本流程“情境設(shè)置、調(diào)度思維”“猜想入手、驗證跟進”“聯(lián)系舊知、推導(dǎo)公式”和“例題講解、練習(xí)配套”四個環(huán)節(jié)展開，是多數(shù)教師的教學(xué)行為。從教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)課時安排看，一個課時教學(xué)時間，要讓不同程度學(xué)生掌握知識點（如何在單位圓中用角α與β的正弦值和余弦值來表示角α-β的余弦值；如何用向量數(shù)量積的坐標(biāo)來表示角α-β的余弦值）并且在思維能力（思維方面：如何構(gòu)造α-β？為什么要這樣設(shè)計？思想方法上：單位圓模型應(yīng)用）上有所提升和發(fā)展，的確是有一定的難度。很顯然，無論教師多么努力講解，中等程度以下學(xué)生都將存在“夾生飯”情況，課后要花時間自己再理解，而優(yōu)生的認知水平也只是停留在接受上。既然如此，讓學(xué)生帶著一定問題（有梯次的問題串）合作（好、中、差的組合）探究，然后，教師根據(jù)情況再行施教至少有兩個好處：好生可以在“教而知困”中實現(xiàn)“憤啟”——說得出來，系統(tǒng)化知識；中下生可以在“學(xué)而知不足”中實現(xiàn)“悱發(fā)”——有基礎(chǔ)的啟發(fā)，理解知識。在本例“差角三角函數(shù)公式”教學(xué)中，如果組織學(xué)生先依據(jù)問題串合作探究然后再因?qū)W施教，筆者以為對教師后續(xù)講解和對學(xué)生思維的調(diào)度，在時間上、在知識理解和能力發(fā)展上都是經(jīng)濟、合理的（下文將具體分析）。因此，教師認識問題要在課堂教學(xué)設(shè)計的比較中具體解決。

對學(xué)生而言，依賴感是長期講授式教學(xué)形成的習(xí)慣。學(xué)習(xí)好的學(xué)生不愿與學(xué)習(xí)落后的學(xué)生交流，是因為優(yōu)生認為自己已經(jīng)理解了教師的講解，沒有問題需要交流，而一旦形成依賴，多數(shù)時候也提不出有價值的問題；對于學(xué)困生而言，由于基礎(chǔ)不扎實怕提問題，加之形成了對教師的依賴，也確實提不出問題交流。因此，在課堂中無法實施合作學(xué)習(xí)的本質(zhì)是學(xué)生長期依賴教師的結(jié)果。因此，要有意識地組織學(xué)生自主探究與合作探究，讓學(xué)習(xí)還原為活動中經(jīng)驗交流的過程性本質(zhì)，正如差角三角函數(shù)公式學(xué)習(xí)中，“為什么要學(xué)”“如何轉(zhuǎn)化差角函數(shù)值為兩個角的三角函數(shù)值”“怎么從特殊角到一般的角”，以及“兩種證明方法的比較”都是很自然的經(jīng)驗問題，只有經(jīng)驗的自然交流才能實現(xiàn)學(xué)習(xí)社會性和個體性的統(tǒng)一，促進好生在“教”中深化對知識內(nèi)在性認識、學(xué)困生在交流中消弭對知識交流的“恐慌”，形成好中差的多贏局面，這才是解決問題之根本。

二、以問題作主線串聯(lián)合作內(nèi)容

合作學(xué)習(xí)涉及到五個方面：積極的互賴關(guān)系，個人的責(zé)任，促進性互動，社交技能和小組自評。而探究性合作學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是“探究”核心是“合作”，在處理好以上五個方面的同時要認真把握以下三個問題串。

一般而言，課堂教學(xué)任務(wù)是有一定結(jié)構(gòu)性的，它由學(xué)生的認知水平、認知規(guī)律和課程標(biāo)準(zhǔn)所決定。因此，探究的內(nèi)容要圍繞著學(xué)生的認知需求與認知水平來組織；探究的任務(wù)要圍繞著教材所呈現(xiàn)的教學(xué)內(nèi)容來生成；探究過程圍繞著課程標(biāo)準(zhǔn)所設(shè)計的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)任務(wù)來推進。在明確探究內(nèi)容、任務(wù)的基礎(chǔ)上，用問題串的形式將其串聯(lián)起來，特別是將合作內(nèi)容串聯(lián)起來。就“差角三角函數(shù)公式”的教學(xué)而言，從“為什么要研究差角三角函數(shù)值”“章頭圖的情境問題表達了怎樣意圖”，進一步思考，“已知角α的正弦，能不能求出45°+α的正切值？”這些問題對長期“教教材”的那些教師來講不是問題，但是，對于學(xué)生來說卻是十分重要的，它不僅是對學(xué)習(xí)需求、學(xué)習(xí)必要性的激發(fā)和調(diào)度，更是引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實問題入手，學(xué)會解決問題所必須經(jīng)歷的思維過程。很顯然，問題解決來自于問題發(fā)現(xiàn)，問題發(fā)現(xiàn)來自于對事物的觀察與思考，而觀察與思考的行為動力則是個體的內(nèi)在需求。由于學(xué)生不是天生的就會觀察，也很少有機會面臨現(xiàn)實的、典型的實際問題進行觀察思考，尤其是帶有思維方法習(xí)得的思考。因此，教師要把探究內(nèi)容轉(zhuǎn)化為問題思考來促進學(xué)生探究。上述三個問題指向了數(shù)學(xué)現(xiàn)實應(yīng)用急迫性和數(shù)學(xué)問題解決一般性的情感和能力領(lǐng)域，是探究性合作性學(xué)習(xí)的首要內(nèi)容，因此，有必要將其分解成問題串，用于合作學(xué)習(xí)。

三、以問題作載體調(diào)節(jié)自主與合作的學(xué)習(xí)進程

從形式上看，探究可以分為個體的自主探究和小組的合作探究。自主是合作的前提，在自主基礎(chǔ)上的合作，合作才有針對性和達成性。個體如果未能事先切入教材去理解“為什么要研究差角三角函數(shù)值”“章頭圖的情境問題表達了怎樣意圖”，那么，對于“已知角α的正弦，能不能求出45°+α的正切值”這樣需要真正合作的問題是沒有合作意愿和基礎(chǔ)的。從合作的目的看，合作探究是以解決共同關(guān)注的問題為前提的。如果個體沒有自主探究的準(zhǔn)備，對探究對象了解不充分、認識不全面，那么合作交流自然就不充分、不全面甚至無法合作，解決問題的目的就無法實現(xiàn)。在本例中，如果學(xué)生沒有“如何構(gòu)建α-β，為什么要這樣構(gòu)建α-β”的自主思考在前，那么合作的意義只能停留在對角α與角β余弦線和正弦線的理解上，這樣的合作是低層次的。因此，調(diào)節(jié)自主與合作學(xué)習(xí)進程是十分重要的問題，教師在設(shè)計學(xué)生合作學(xué)習(xí)活動的首要工作就是先設(shè)計學(xué)生自主學(xué)習(xí)要先行思考和解決的問題。

四、以問題作階梯推進分層合作

要讓每個合作小組持續(xù)保持合作意愿和合作熱情不是教師一廂情愿的事情，它不僅需要建立相應(yīng)的合作機制，如組織機制、幫扶機制、討論機制，還要根據(jù)學(xué)生的知識或認知水平分層實施1對1聯(lián)動性交流或指導(dǎo)性交流。因此，合作問題的設(shè)計要有層次性：同水平的實施有層次的聯(lián)動性交流；不同水平間實施有層次的指導(dǎo)性交流。聯(lián)動性交流如：“情境圖中，（1）已知條件有哪些？（2）求解什么？（3）解決問題的關(guān)鍵在哪里（怎么由角α的正弦值，求出45°+α的正切值）？”這些問題的設(shè)計既要直接明了，又要涵蓋情境問題中基本的思維價值。指導(dǎo)性交流如：“情境圖中，（1）從已知到未知，它的本質(zhì)問題是什么（問題轉(zhuǎn)化：由角α的正弦值，求45°+α的正切值）？（2）在具體到一般的轉(zhuǎn)化中，角α，β的三角函數(shù)值與α+β或α-β的三角函數(shù)值可能是什么關(guān)系（是一種簡單的分配關(guān)系嗎，請舉例）？（3）怎么在單位圓中構(gòu)建α-β？為什么這樣構(gòu)建？”指導(dǎo)性交流問題主要聚焦于問題解決的思維梯度的設(shè)計上。思維梯度既要指向新舊知識的勾連，又要指向解決問題的思維啟發(fā)上。

五、用問題來聚焦知識的發(fā)生與發(fā)展來展開合作學(xué)習(xí)進程

課堂教學(xué)要常態(tài)把握的總問題通常有三個方面：一是要學(xué)什么？二是為什么要學(xué)？三是怎么學(xué)？從人的認知規(guī)律看，這三問題實際上是知識的發(fā)生（發(fā)現(xiàn)了哪個知識）與發(fā)展（怎么發(fā)現(xiàn)的，能解決什么）問題。因此，相對于合作學(xué)習(xí)而言，要思考、要合作解決的總問題也是圍繞著這三個方面來設(shè)計。

所以，課堂教學(xué)總問題的設(shè)計是要為整個教學(xué)流程服務(wù)的；具體的合作學(xué)習(xí)問題設(shè)計只是對總體問題的落實。以“差角三角函數(shù)公式”教學(xué)來講，每個教學(xué)環(huán)節(jié)的問題設(shè)計（主要是自主與合作的問題設(shè)計）都是對“為什么要學(xué)習(xí)差角三角函數(shù)公式”“如何在單位圓中學(xué)習(xí)差角三角函數(shù)公式”“怎么更為一般化地證明差角三角函數(shù)公式對于任意角都成立”的落實。

綜上所述，探究性合作學(xué)習(xí)問題（串）設(shè)計必須把握好學(xué)生認知水平分層設(shè)計原則、合作探究內(nèi)容整體設(shè)計原則和依據(jù)知識發(fā)生與發(fā)展邏輯梯次設(shè)計原則。如此，基于探究的高中生數(shù)學(xué)合作學(xué)習(xí)才是有效的、自覺的。