稀布同心圓環(huán)陣列的優(yōu)化設計

戴定成, 姚敏立, 金　偉, 張峰干

(1. 火箭軍工程大學信息工程系, 陜西 西安 710025; 2. 火箭軍工程大學初級指揮學院, 陜西 西安 710025)

0　引　言

同心圓環(huán)陣列(concentric ring array, CRA)因其良好的幾何對稱特性以及全方位角掃描能力,受到越來越多研究者的關注[1-15]。為了在一定的約束條件下降低天線的峰值旁瓣電平(peak sidelobe level, PSLL)以及陣元數(shù)量,獲得更好的天線性能,各國學者進行了大量的探索,提出了一系列的方法。從陣列結(jié)構(gòu)看,這些方法可以分為兩類,第一類是稀疏的方法[2-5],即以均勻排布(通常陣元間隔為0.5λ)的陣列為基礎,根據(jù)優(yōu)化結(jié)果選擇一部分陣元不予激勵;第二類是稀布的方法[6-14],在滿足約束條件的前提下,陣元被隨機地放置在天線平面上。稀布陣列的陣元位置相較于稀疏陣有更大的自由度,因此有著更加廣闊的應用前景,但同時由于該問題的高度非線性,其優(yōu)化難度也更大。

文獻[1]將混合遺傳算法(hybrid genetic algorithm, HGA)應用到同心圓環(huán)陣列綜合中,以圓環(huán)半徑以及各圓環(huán)上的陣元數(shù)量作為優(yōu)化對象,對同心圓環(huán)陣列進行了綜合,取得了較好的效果。文獻[9]提出了一種修正的實數(shù)編碼遺傳算法(modified real genetic algorithm, MGA),將圓環(huán)的半徑作為優(yōu)化對象,約束同一圓環(huán)上的陣元間隔,最后對所有陣元進行聯(lián)合優(yōu)化,降低了優(yōu)化的計算量和模型的復雜性。文獻[10]提出了一種改進的整數(shù)編碼遺傳算法(improved integer genetic algorithm, IIGA),提升了遺傳算法的計算效率并能避免算法過早收斂。此外,還有差分進化[13](differential evolution, DE)算法,以及粒子群優(yōu)化[14](particle swarm optimization, PSO)算法等進化算法也被應用到天線陣列綜合中。文獻[6-7]利用凸優(yōu)化對同心圓環(huán)陣列進行優(yōu)化求解,能夠大大節(jié)省運算時間,但這些方法需要設定參考方向圖,而如何確定合適的參考方向圖,本身就是一個較為復雜的問題。

現(xiàn)有文獻中很少對圓環(huán)數(shù)量進行優(yōu)化分析,大多是根據(jù)固定的圓環(huán)數(shù)量來優(yōu)化同心圓環(huán)陣列,針對不同數(shù)量的圓環(huán),由于優(yōu)化變量的維數(shù)不同,往往需要多次重復試驗才能確定最優(yōu)解。針對這一問題,建立了圓環(huán)半徑的映射函數(shù),使圓環(huán)不同數(shù)量的種群個體,能同時參與優(yōu)化迭代過程。然后,借鑒和聲搜索的思想,在差分進化算法中引入隨機噪聲,進一步建立了保留概率和變異概率的動態(tài)模型,提出了一種改進的差分進化算法,實現(xiàn)了保留概率以及變異概率隨迭代次數(shù)動態(tài)變化,進一步提高了算法的全局搜索能力。最后進行了蒙特卡羅仿真實驗,檢驗了算法的性能。

1　稀布同心圓環(huán)陣列的數(shù)學模型

1.1　同心圓環(huán)陣列的方向圖

假設一個同心圓環(huán)陣列有Nr個圓環(huán),Ne個方向性一致的陣元,結(jié)構(gòu)如圖1所示,則對應的陣因子(array factor,AF)為

(1)

式中,波數(shù)k=2π/λ,λ是波長;Im(m=1,2,…,Ne)是陣元激勵電流;rm是第m個陣元對應的半徑;φm是方位角,(rmcosφm,rmsinφm)是第m個陣元對應的坐標；u=sinθcosφ,v=sinθsinφ,θ和φ分別是俯仰角和方位角。文中主要研究均勻激勵的同心圓環(huán)陣列方向圖綜合問題,因此Im=1。在稀布同心圓環(huán)陣列中,為了獲得筆形波束以及360°幾何對稱的良好性能,通常各圓環(huán)的半徑是隨機分布的,不同圓環(huán)上的陣元間隔不全相等,而同一圓環(huán)上的陣元是均勻分布的。 為了避免互耦帶來的不良影響,一般要求圓環(huán)之間以及陣元之間的間隔不小于最小間隔dc,通常dc=0.5λ。 根據(jù)這一要求,可以求出每個圓環(huán)上可放置陣元數(shù)量的最大值。

圖1　同心圓環(huán)陣列結(jié)構(gòu)圖

如圖1所示,假設第n個圓環(huán)的半徑為rn,陣元間隔是den,則兩個相鄰陣元A和B之間的圓心角為

∠AOB=2arc sin(den/2rn)

(2)

那么該圓環(huán)最大可放置陣元數(shù)可表示為

(3)

為了獲得更好的天線性能,對于同心圓環(huán)陣列,其優(yōu)化目標一般設為全平面的峰值旁瓣電平,即

(4)

式中,(u0,v0)是主瓣區(qū)域;(u,v)是主瓣以外的區(qū)域。

1.2　映射函數(shù)及優(yōu)化模型

現(xiàn)有文獻中,通常是根據(jù)固定的圓環(huán)數(shù)量來優(yōu)化圓環(huán)半徑以及各圓環(huán)上的陣元間隔,而對于不同圓環(huán)數(shù)量的優(yōu)化,卻鮮有報道。 為了獲得更好的天線性能并減少優(yōu)化實驗次數(shù),將圓環(huán)數(shù)量也納入到優(yōu)化對象當中。

首先,以圓環(huán)間隔作為變量,構(gòu)造M維隨機變量D=[d1,d2,…,dM],其中di∈[dc,λ]。 根據(jù)D計算初始圓環(huán)半徑H=[h1,h2,…,hM],其中

(5)

找到滿足hk0+1>L且hk0≤L的k0,k0便是由D決定的圓環(huán)數(shù)量。

其次,取前k0項di進行映射以滿足天線孔徑約束條件，即

(6)

Sp=L-k·dc

(7)

(8)

(9)

將D作為優(yōu)化變量,可以保證不同圓環(huán)數(shù)量的種群個體,其優(yōu)化變量的維數(shù)一致,對于某一確定的D,其對應的圓環(huán)半徑R*也是唯一確定的。 這樣不同圓環(huán)數(shù)量的個體便能夠同時參與優(yōu)化過程,執(zhí)行交叉變異等步驟。 記該映射關系為R*=g(D)。

根據(jù)上述分析,可以將圓環(huán)陣列天線的優(yōu)化模型寫為

(10)

2　改進的差分進化算法

2.1　算法基本流程

標準的差分進化算法采用交叉替換等操作,利用候選解的差異干擾量來產(chǎn)生新個體,具有結(jié)構(gòu)簡單、全局搜索能力較強等特點。 然而如何選擇合適的變異和交叉概率以提高算法的搜索速度以及全局收斂能力,是制約差分進化算法性能的重要因素。

樂師在創(chuàng)作過程中通常利用3種方法使各樂器產(chǎn)生美妙的和聲共鳴,即:樂師的記憶、小幅修改現(xiàn)有樂器搭配以及偶然的創(chuàng)作靈感。 和聲搜索算法[15]模擬這一創(chuàng)作過程,構(gòu)造了3種種群進化策略,即:①繼承上一代種群個體;②對上一代個體進行交叉變異等小幅度微調(diào);③注入隨機噪聲。 和聲搜索算法參數(shù)較少,結(jié)構(gòu)簡單,在解決多維復雜優(yōu)化問題上展現(xiàn)出了良好的全局搜索性能。 文獻[16-17]提出了一種基于和聲搜索的差分進化算法,引入和聲搜索的思想,在產(chǎn)生新的可行解過程中注入隨機噪聲,可以改善種群的結(jié)構(gòu),增加種群的多樣性以及算法的全局收斂能力。 文獻[18]針對和聲搜索算法的兩個關鍵參數(shù)(和聲微調(diào)概率與和聲微調(diào)幅度)進行了研究分析,提出了多種適應不同場景的和聲微調(diào)概率模型。 在文獻[16-18]的研究基礎上,提出一種保留概率和差分變異概率時變的改進差分進化(improved differential evolution, IDE)算法。其算法流程如下:

(11)

式中,i=1,2,…,NP;j=1,2,…,N;randj是[0,1]之間的隨機數(shù);random代表在優(yōu)化變量取值范圍內(nèi)隨機生成的分量,即隨機噪聲。構(gòu)造保留和變異概率的時變模型為

(12)

式中,NI代表最大迭代次數(shù);nt代表當前迭代次數(shù);P(t)代表CR或者MR;Pmax代表CR或者MR對應的最大概率;Pmin代表最小概率。 根據(jù)式(12)可繪出概率變化曲線如圖2所示。

圖2　保留和變異概率變化曲線

利用式(12)構(gòu)造的保留和變異概率,在優(yōu)化迭代的前半部分,保留和變異的概率逐漸變大,能更好地繼承種群和變異個體的成分,有利于提高算法的局部搜索能力。 而后半部分,保留和變異概率逐漸變小,能更好地吸收隨機噪聲的成分,有利于增強種群多樣性,跳出局部最優(yōu)解。 2/3處也并非固定值,可以根據(jù)實際情況修正概率模型,進而調(diào)整最大概率出現(xiàn)的時間點。

步驟3更新種群。 如果新可行解ui的適應值優(yōu)于父代xi,則用ui代替xi進入下一步迭代。

步驟4終止判斷。 若迭代次數(shù)達到預定最大值,則終止算法,否則繼續(xù)步驟2和步驟3,迭代次數(shù)加1。

2.2　標準函數(shù)測試實驗

為了檢驗IDE算法的全局尋優(yōu)能力和收斂精度,利用4組標準測試函數(shù)對IDE算法和DE算法進行對比實驗。各測試函數(shù)的編號、名稱、表達式、變量取值范圍、目標值以及尋優(yōu)類型如表1所示。

表1　進化算法測試函數(shù)

函數(shù)f1的全局極大值被極小值包圍,傳統(tǒng)算法極易陷入局部最優(yōu)解,當(x,y)=(0, 0)時f1取得最大值3 600。 函數(shù)f2是基于De Jong函數(shù)的局部最小值規(guī)則分布的多模函數(shù),該函數(shù)有多個局部極小值,搜索算法容易過早收斂,該函數(shù)在(x,y)=(0,0)時取得最小值0。函數(shù)f3與f2類似,同樣包含大量局部最優(yōu)解,只有在(x,y)=(0, 0)時取得全局最小值0。 函數(shù)f4在(x,y)=(0,0)時取得全局最大值0,而距離最優(yōu)解kπ(k∈Z+)處,存在無數(shù)個局部極大值。 以上4組函數(shù)能夠充分檢驗算法的全局搜索能力和收斂精度。

仿真的基本參數(shù)設置為:迭代次數(shù)NI=1000,種群規(guī)模NP=30,標準DE的保留概率CR=0.9,IDE算法的保留概率CR最大值和最小值分別為0.9和0.8,變異概率MR的最大值和最小值分別為0.8和0.4。對于每一項測試函數(shù)均進行100次蒙特卡羅仿真。為了保證實驗的公平性,每次獨立實驗兩種算法的隨機初始種群均設為相同。

測試的硬件條件為一臺DELL工作站,其CPU為Intel Xeon E31240 @ 3.3GHz,內(nèi)存為16GB。 所有仿真程序均在Win 7操作系統(tǒng)下Matlab 2014a軟件中運行。

對各測試函數(shù)100次獨立實驗結(jié)果的最優(yōu)值、最差值、平均值、標準差以及尋優(yōu)成功率(即在100次獨立實驗中搜索到全局最優(yōu)解次數(shù)的比率)進行統(tǒng)計分析,如表2所示。

表2　IDE和DE測試結(jié)果對比

從表2中可以看出,在f1～f3函數(shù)測試中,IDE算法在搜索成功率以及均值方差等指標上均明顯優(yōu)于DE算法。特別地,在f1函數(shù)測試中,IDE算法的搜索成功率比DE高8%,IDE算法的最差值與目標值相差不到0.1,而DE算法的最差值與目標值卻相差甚遠,這說明DE算法容易陷入局部最優(yōu)。盡管f4函數(shù)測試中IDE算法搜索成功次數(shù)比DE算法少一次,但IDE算法的最差值和最優(yōu)值與DE算法相同,均值和標準差與DE算法相近。因此,通過該實驗可以說明,IDE算法的全局搜索能力以及收斂精度是優(yōu)于DE算法的。

3　實驗仿真與分析

為了檢驗提出算法的性能,針對只優(yōu)化圓環(huán)半徑、只優(yōu)化陣元間隔和同時優(yōu)化圓環(huán)半徑與陣元間隔等3種情況進行實驗仿真。 選擇DE/best/1作為差分進化算法的變異策略。 仿真實驗的參數(shù)設為:CRmax=0.95,CRmin=0.75,MRmax=0.85,MRmin=0.2,F=0.5。 因文獻[1]并未明確給出HGA算法的種群規(guī)模和迭代次數(shù),根據(jù)文獻[9]中MGA方法的種群規(guī)模100、迭代次數(shù)200,以及文獻[10]中IIGA的種群規(guī)模30、迭代次數(shù)200,不失一般性,將IDE算法的參數(shù)設為:種群規(guī)模NP=30,最大迭代次數(shù)NI=100。 針對各實驗場景分別進行100次蒙特卡羅仿真實驗。

由于文獻[9-10]中未對圓環(huán)半徑和陣元間隔進行單獨優(yōu)化研究,因此場景1和場景2只與文獻[1]中的HGA的實驗結(jié)果進行對比。 場景3同時優(yōu)化圓環(huán)半徑和陣元間隔的實驗與HGA,MGA以及IIGA一同進行比較。

3.1　場景1——僅優(yōu)化圓環(huán)半徑

假定圓環(huán)陣列天線的孔徑為L=4.98λ,各圓環(huán)的陣元間隔均設為den=0.5λ,各圓環(huán)上的陣元均勻排布,以圓環(huán)半徑作為優(yōu)化對象進行優(yōu)化。 IDE的蒙特卡羅仿真結(jié)果如圖3所示。 IDE算法的蒙特卡羅仿真得到的PSLL平均值為-24.35 dB,方差為0.032 dB。蒙特卡羅仿真的最優(yōu)PSLL為-24.67 dB,該結(jié)果比HGA方法低1.73 dB。

圖3　場景1蒙特卡羅仿真結(jié)果

最優(yōu)結(jié)果對應的方向圖及截面圖如圖4所示,各圓環(huán)對應的半徑及陣元數(shù)量如表3所示。各圓環(huán)上的陣元數(shù)量根據(jù)式(3)可計算得到。

圖4　場景1最優(yōu)結(jié)果方向圖

場景L/λ算法PSLL/dBNe圓環(huán)編號1編號2編號3編號4編號5編號6編號714.98IDE-24.67217rn0.61.121.622.263.073.824.98Nn7142028384762HGA-22.94201rn11.592.142.883.664.98-Nn121926364562-

注1):L為陣列孔徑,Ne為陣元數(shù)量,rn為圓環(huán)半徑,Nn為對應圓環(huán)上的陣元數(shù)量,下同。

3.2　場景2——僅優(yōu)化陣元間隔

假設陣列的孔徑為L=4.5λ,各圓環(huán)間隔固定為0.5λ,以各圓環(huán)上的陣元間隔作為優(yōu)化對象,進行優(yōu)化。蒙特卡羅仿真實驗結(jié)果如圖5所示。100次獨立實驗中,IDE算法得到的平均PSLL為-26.98 dB,方差為0.183。IDE算法最優(yōu)PSLL為-27.41 dB,比HGA方法的最優(yōu)解低1.83 dB。

圖5　場景2蒙特卡羅仿真結(jié)果

IDE算法的最優(yōu)解對應的方向圖與截面圖如圖6所示。從圖6中可以看出,IDE算法在沒有明顯拓展主瓣寬度的情況下,有效降低了峰值旁瓣電平。 IDE算法獲得的最優(yōu)解的如表4所示,在僅優(yōu)化陣元間隔的情況下,IDE求得的第8個圓環(huán)上陣元數(shù)量為0,即實際圓環(huán)數(shù)量只有7個。

圖6　場景2最優(yōu)結(jié)果方向

場景L/λ算法PSLL/dBNern0.511.522.533.544.524.5IDE-27.41169Nn=6Nn=12Nn=18Nn=25Nn=25Nn=26Nn=25Nn=0Nn=31HGA-25.58183Nn=6Nn=12Nn=18Nn=25Nn=17Nn=23Nn=22Nn=27Nn=32

3.3　場景3——同時優(yōu)化圓環(huán)半徑與陣元間隔

假設同心圓環(huán)陣列孔徑為L=4.7λ。利用IDE算法進行100次蒙特卡羅仿真實驗的結(jié)果如圖7所示。

圖7　場景3蒙特卡羅仿真結(jié)果

由于優(yōu)化變量增加,因此同樣的實驗參數(shù)下,圖7中最優(yōu)解的方差明顯要高于場景1和場景2。IDE在蒙特卡羅仿真實驗中平均PSLL為-29.98 dB,方差為0.491,最優(yōu)PSLL為-31.22 dB。最優(yōu)方向圖和截面圖如圖8所示,最優(yōu)解與參考文獻的對比如表5所示。在圓環(huán)數(shù)量相同的條件下,IDE算法比IIGA的PSLL提升了0.86 dB。

圖8　場景3最優(yōu)結(jié)果方向圖

場景L/λ算法PSLL/dBNe圓環(huán)編號1編號2編號3編號4編號5編號6編號734.7IDE-31.22160rn0.531.061.622.273.023.814.7Nn6132028322733IIGA-30.36156rn0.531.071.612.263.013.824.7Nn6121927312733HGA-27.82142rn0.761.362.092.993.784.7-Nn91725312633-MGA-28.33142rn0.741.322.102.933.794.7-Nn91626302733-

3.4　實驗結(jié)果分析

場景1中,根據(jù)第1.2節(jié)中提出的圓環(huán)半徑映射方法,使用IDE算法得出的最優(yōu)解有7個圓環(huán),比HGA最優(yōu)解多一個環(huán),最終優(yōu)化結(jié)果也優(yōu)于HGA,這說明通過圓環(huán)半徑的映射方法得到的最優(yōu)解是有效的。蒙特卡羅仿真實驗的方差很小,這說明IDE算法在針對圓環(huán)半徑優(yōu)化時,其穩(wěn)定性和魯棒性較強。

場景2中,針對固定圓環(huán)半徑的陣列,只優(yōu)化各圓環(huán)上的陣元間隔,與HGA相比,IDE算法最優(yōu)解的陣元總數(shù)更少,但天線性能更優(yōu)。這一方面證明了IDE算法具有較好的全局搜索能力,另一方面也說明PSLL與陣元數(shù)量沒有必然的聯(lián)系,通過合理的排布,可以用較少的陣元數(shù)量達到更優(yōu)的天線性能。

場景3中,同時優(yōu)化圓環(huán)半徑與各圓環(huán)上的陣元間隔,IDE算法的圓環(huán)數(shù)量與IIGA的一致,比HGA和MGA方法多1個,最終結(jié)果也比HGA和MGA好。IDE算法的陣元總數(shù)只比IIGA多4個,而PSLL卻低0.86 dB,這說明IDE算法能夠在不顯著增加陣元數(shù)量的情況下,有效降低陣列的峰值旁瓣電平。場景3中蒙特卡羅實驗結(jié)果的方差比場景1和場景2更高,這一方面是因為同時優(yōu)化陣元間隔和圓環(huán)半徑增加了變量維數(shù),導致了優(yōu)化結(jié)果不確定性增大,另一方面是因為迭代次數(shù)較少,部分獨立實驗并未完全收斂所致。

根據(jù)上述3個不同場景的實驗結(jié)果可以看出,IDE算法通過圓環(huán)半徑映射方法以及時變的概率調(diào)整模型,提高了算法的全局搜索能力和計算穩(wěn)定性,能有效降低同心圓環(huán)陣列天線的PSLL。

4　結(jié)　論

針對有陣元間隔約束和天線孔徑約束的均勻激勵同心圓環(huán)陣列綜合問題,建立了圓環(huán)數(shù)量不等情況下的圓環(huán)半徑映射函數(shù),實現(xiàn)了對圓環(huán)數(shù)量的同時優(yōu)化。在差分進化算法中,引入隨機噪聲,建立保留和變異概率的動態(tài)模型,提升了算法的全局搜索能力和計算穩(wěn)定性。仿真實驗結(jié)果表明,改進后的算法能有效降低同心圓環(huán)陣列的峰值旁瓣電平。

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