基于遺傳算法的雙級行星齒輪減速器優(yōu)化設計

趙曉松，王劍彬

(南華大學 機械工程學院，湖南　衡陽　421001)

0　引言

NGW行星齒輪減速器具有結(jié)構緊湊、傳動比大、承載能力高、裝配形式多樣、適應性廣等優(yōu)點，因多個行星齒輪相互嚙合使其受力顯著減小，其徑向載荷因為相互抵消進一步減小了軸和軸承的受力，因此在齒輪變速箱以及轉(zhuǎn)向機構中得到廣泛應用。

在常規(guī)的傳動設計中，齒數(shù)模數(shù)等設計參量均為確定值，但這樣的設計方式往往不能夠達到最優(yōu)化的設計效果[1]。本文以某企業(yè)生產(chǎn)的標準NGW雙級行星齒輪減速器為設計實例，以體積及其傳動效率為目標函數(shù)，以齒輪傳動配齒和結(jié)構強度為條件，通過引入遺傳算法以及模糊優(yōu)化方法，得到了理想的具有工程實用價值的綜合設計效果。

1　優(yōu)化數(shù)學模型

1.1　設計變量及目標函數(shù)

由于雙級行星齒輪高速級齒輪傳動與低速級齒輪傳動建模過程相同，因此本文以高速級齒輪嚙合系統(tǒng)的太陽輪齒數(shù)Zt1、行星齒輪齒數(shù)Zx1、齒輪模數(shù)m1、齒寬系數(shù)Ψd1、太陽輪與行星輪嚙合角αtx1、行星輪與齒圈嚙合角αxn1為設計變量，即：

X=[X1,X2,X3,X4,X5,X6]T=[Zt1,Zx1,m1,Ψd1，αtx1，αxn1]T.

為滿足傳動裝置的總體布局，縮小結(jié)構尺寸以節(jié)約成本，本文將體積優(yōu)化作為第一目標函數(shù)。由于太陽輪以及其所有行星齒輪體積最小之后其齒圈也會相應地變小，故第一目標函數(shù)為：

(1)

其中：α為齒輪壓力角，α=20°；n為行星齒輪的個數(shù)，n=3。

為了減小摩擦產(chǎn)生的損耗以及提高傳動效率，以傳動效率為第二目標函數(shù)：

(2)

1.2　約束條件

1.2.1傳動比

太陽輪同內(nèi)齒圈齒數(shù)應滿足如下傳動比要求:

h1(x)=Zn1-(i-1)Zt1=0.

(3)

其中：i為行星齒輪機構的傳動比；Zn1為內(nèi)齒圈齒數(shù)。

1.2.2同心條件

太陽輪與行星輪中心距為Atx1，行星輪與內(nèi)齒圈中心距為Axn1，Atx1=0.5m1(Zt1+Zx1)cosα/cosαtx1，Axn1=0.5m1(Zn1-Zx1)cosα/cosαxn1，同心條件為Atx1=Axn1，即：

(4)

1.2.3裝配條件

裝配條件為：

(5)

其中：C為整數(shù)。

1.2.4齒寬系數(shù)約束

齒寬系數(shù)約束為：

g1(x)=0.4-Ψd1≤0.

(6)

g2(x)=Ψd1-0.9≤0.

(7)

1.2.5模數(shù)約束

模數(shù)約束為：

g3(x)=2-m1≤0.

(8)

g4(x)=5-m1≥0.

(9)

1.2.6變位條件

為提高太陽輪的強度及承載能力，防止齒輪產(chǎn)生根切，使節(jié)點處于兩齒輪嚙合區(qū)，故建立變位，其條件為Xt1>Xx1(其中，Xt1為太陽輪徑向變位系數(shù)，Xx1為行星輪徑向變位系數(shù))，函數(shù)形式表達為|X∑tx1-Xt1|應滿足：

g5(x)=|X∑tx1-Xt1|-Xt1<0.

(10)

其中：X∑tx1為太陽輪與行星輪總變位系數(shù)。

1.2.7鄰接條件

為了使相鄰的兩個行星齒輪齒頂不發(fā)生干涉，故設置鄰接條件L-d1≥m1(其中，L為相鄰兩行星輪中心距；d1為行星輪齒頂圓直徑)，即：

(11)

其中：σ1為太陽輪齒頂高降低系數(shù)。

1.2.8齒頂厚條件

由于一般齒輪會采用較大的正變位系數(shù)，這樣會產(chǎn)生齒頂變尖同時伴隨齒頂壁厚過薄，故設置齒頂厚系數(shù)約束條件為：

g7(x)=0.4m1-Sa1≤0.

(12)

基中：Sa1為太陽輪齒頂厚。

1.2.9內(nèi)嚙合齒輪副不發(fā)生重疊干涉

內(nèi)嚙合齒輪副不發(fā)生重疊干涉的條件為：

g8(x)=Zx1+10-Zn1<0.

(13)

1.2.10重合度約束

為使齒輪傳動平穩(wěn)，須使重合度ε≥[ε]([ε]為重合度許用值，一般推薦值為1.1～1.2，本文選用1.2)。故重合度約束條件為：

g9(x)=[ε]-εtx1≤0.

(14)

g10(x)=[ε]-εxn1≤0.

(15)

其中：εtx1為太陽輪與行星輪間的嚙合重合度；εxn1為行星輪與內(nèi)齒圈間的嚙合重合度。

1.2.11最大接觸應力

以太陽輪與行星輪齒面最大接觸應力確定約束條件(模糊約束)，即：

(16)

1.2.12最大彎曲應力

以太陽輪與行星輪齒面最大彎曲應力確定約束條件(模糊約束)，即：

(17)

2　遺傳算法

遺傳算法模擬生物進化和遺傳機制，是一種過程搜索最優(yōu)解的算法，被廣泛應用于工程設計、自動控制、計算科學、故障診斷等學科，用于解決復雜的空間尋優(yōu)以及非線性的問題。遺傳算法具有如下優(yōu)點：①應用范圍廣，由于遺傳算法對參數(shù)集進行編碼而不只針對參數(shù)本身，因此可以直接對結(jié)構對象進行操作；②對群體進行搜索，傳統(tǒng)搜索方式都是采用單點搜索的方式進行的，這種搜索方式在多峰分布的搜索空間中經(jīng)常陷入局部極值中，而遺傳算法同時處理種群中多個個體，具有全局搜索功能；③根據(jù)適應度函數(shù)值的大小評估個體，定義域可自行確定；④遺傳算法可以同其他優(yōu)化方式相結(jié)合，本文將模糊優(yōu)化應用于遺傳算法，對減速器進行進一步優(yōu)化；⑤具有并行計算的能力。

圖1為遺傳算法的基本流程，具體過程如下：

(1) 初代種群生成：算法隨機產(chǎn)生N個個體，所有個體組成一個種群。算法以這N個個體為初始點進行迭代，事先設置好進化代數(shù)t，初始種群記為P(0)。

(2) 適應值計算：適應值是遺傳算法主要評價個體優(yōu)良性的手段，根據(jù)問題計算種群P(t)的適應度。本文主要以行星齒輪的體積以及傳動效率為適應度函數(shù)。

(3) 選擇：從當前種群中選出優(yōu)良個體，并將其作為父代種群，將優(yōu)良的個體遺傳給下一代。

(4) 交叉：交叉操作可以產(chǎn)生新的個體，新個體組合父代個體的優(yōu)良性能，體現(xiàn)了信息交換。

(5) 變異：遺傳算法在種群中隨機挑選個體，以一定的幾率進行變異，變異為種群提供了新的個體使之向著多元化發(fā)展，變異是遺傳算法避免局部最優(yōu)最主要的一環(huán)。

(6) 種群經(jīng)過選擇、交叉及變異生成新種群，當種群的代數(shù)大于事先設置好的代數(shù)t時，輸出最大適應度的個體，算法運算終止。

3　模糊優(yōu)化

3.1　模糊約束的隸屬函數(shù)

零件的應力從完全許用到完全不許用有一個過渡過程,這個過程難以用一個值來確定給出,因此本文引入隸屬函數(shù)這個概念。線性隸屬函數(shù)用公式表示與約束的性質(zhì)和設計要求有關,線性隸屬函數(shù)用公式表示為：

圖1　遺傳算法的基本流程

3.2　模糊綜合評判法確定最優(yōu)水平截集

4　雙級行星齒輪減速器優(yōu)化設計

某企業(yè)生產(chǎn)的NGW雙級行星齒輪減速器，要求的輸出方式為帶花鍵的空心軸，傳動比為31.5，其額定輸入轉(zhuǎn)矩為22 000 N·m，輸入轉(zhuǎn)速為1 500 r/min，額定輸入功率為109 kW。箱體采用球墨鑄鐵制成，其他部分為灰口鑄鐵。太陽輪和行星輪均使用直齒圓柱齒輪制成，內(nèi)齒圈進行高溫淬火及調(diào)質(zhì)。

以最小體積和最大傳動效率為目標函數(shù)，采用本文的遺傳算法進行優(yōu)化，經(jīng)計算得到的參數(shù)如表1所示。

表1　優(yōu)化參數(shù)

表1中下標1為高速級傳動優(yōu)化設計參數(shù)，下標2為低速級傳動優(yōu)化設計參數(shù)。

傳統(tǒng)設計方案中，該減速器體積為175.8 mm3，傳動效率為96.32%。而使用遺傳算法進行優(yōu)化后該減速器體積為164.7 mm3，降低了6.33%；傳動效率為97.27%，提高了1.35%。

5　結(jié)論

本文建立了合理的NGW雙級行星齒輪數(shù)學模型，通過使用隸屬函數(shù)將復雜的工程實際問題轉(zhuǎn)化為相對簡單的多目標優(yōu)化問題，最終達到了理想的具有工程實用價值的綜合設計效果。

參考文獻：

[1]雷英杰,張善文,李繼武,等.MATLAB遺傳算法工具箱及應用[M].西安:西安電子科技大學出版社, 2008.

[2]葉良秉，趙勻，俞高紅，等.拖拉機NGW型行星式最終傳動多目標可靠性優(yōu)化[J].農(nóng)業(yè)工程學報，2008，24(11)：89-93.

[3]陳舉華.機械結(jié)構模糊優(yōu)化設計方法[M].北京:機械工業(yè)出版社, 2001.

[4]邱宣懷，郭可謙，吳宗澤，等．機械設計 [M]．第4版．北京：高等教育出版社，2007.

[5]方世杰，綦耀光．機械優(yōu)化設計 [M]．北京：機械工業(yè)出版社，2003.

[6]游進軍, 紀昌明, 付湘.基于遺傳算法的多目標問題求解方法[J].水利學報，2003(7)：64-69.