低復(fù)雜度的連續(xù)相位調(diào)制系統(tǒng)定時估計(jì)*

陳士磊

(大連藝術(shù)學(xué)院 文化藝術(shù)管理學(xué)院， 遼寧 大連 116600)

由于具備恒定包絡(luò)，連續(xù)相位調(diào)制(CPM)經(jīng)常被用于無線通信領(lǐng)域.目前，由于人們認(rèn)為接收器的解調(diào)制和同步過于復(fù)雜，CPM僅用于現(xiàn)代無線電領(lǐng)域，其應(yīng)用范圍受到限制.最初，文獻(xiàn)[1]將最大似然(ML)解調(diào)制技術(shù)用于CPM，但是該方案需要相當(dāng)大的計(jì)算成本.文獻(xiàn)[2]提出以Laurent分解為基礎(chǔ)，利用脈沖幅度調(diào)制(pulse amplitude modulation，PAM)有效地使CPM信號線性化，該技術(shù)顯著降低了檢測器的復(fù)雜度，同時并未對其性能產(chǎn)生影響.對于接收器的同步而言，也有許多方法對載波頻率、相位以及符號定時參數(shù)進(jìn)行估計(jì)[3].通常，同步方法可分為數(shù)據(jù)輔助(data aided，DA)方案和非數(shù)據(jù)輔助(non data aided，NDA)方案，前者使用相干檢測，后者使用非相干檢測.對于CPM同步而言，其中一個最大的難題就是如何獲得可靠的符號定時信息.采用相干DA方法能夠增強(qiáng)可靠性，但用于符號定時估計(jì)的ML方案同時包含了定時轉(zhuǎn)移的非線性函數(shù)以及復(fù)雜的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，這會導(dǎo)致采用相干DA方法的計(jì)算成本顯著增加.

多位研究人員提出通過CPM信號的基函數(shù)展開法解決了上述問題.文獻(xiàn)[4]使用了指數(shù)函數(shù)，而文獻(xiàn)[5-6]分別使用了PAM和沃爾什函數(shù).雖然上述方法均能將定時誤差表示為信號的線性函數(shù)，但是依然存在復(fù)雜的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算.

本文提出利用基函數(shù)的替代集合(以勒讓德多項(xiàng)式的形式)來更好地逼近CPM信號.該方法能夠使ML方案中的定時轉(zhuǎn)移線性化，并且使導(dǎo)數(shù)運(yùn)算變?yōu)楹唵吻蠛?對于多個常用CPM信號而言，得出的定時估計(jì)接近于修正的克拉美羅限(modified Cramer-Rao bound，MCRB)[7].

1 系統(tǒng)模型

傳輸基帶CPM信號的復(fù)包絡(luò)可表示為

(1)

式中：E為每個符號的能量；T為符號持續(xù)時間；φ(t，α)為N個符號的信息承載相函數(shù)，其表達(dá)式為

(2)

在接收器內(nèi)，帶有符號定時偏差τ的基帶信號可被建模，其表達(dá)式為

r(t)=s(t-τ，α)+w(t)

(3)

式中，w(t)為零均值高斯噪聲，功率譜密度為N0.

假設(shè)突發(fā)的接收信號包含一個隨機(jī)生成的已知前導(dǎo)序列α，并且定時不確定性只限于τ=±T/2，在觀察期間T0=NT內(nèi)未知符號定時參數(shù)的對數(shù)似然函數(shù)可表示為

(4)

1.1 數(shù)據(jù)輔助檢測

(5)

sn，k構(gòu)成了nth符號以及kth基函數(shù)的投影系數(shù).將式(5)代入式(4)，并將積分分成N個部分的總和，可得

(6)

式中，

(7)

通過取得對數(shù)似然函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并將結(jié)果設(shè)置為零，就能夠獲得使定時誤差估計(jì)變?yōu)樽畲笏迫还烙?jì)的必要條件.在去除常數(shù)并進(jìn)行重新排列之后，DA對數(shù)似然函數(shù)可表示為

(8)

1.2 勒讓德多項(xiàng)式設(shè)計(jì)

在文獻(xiàn)[8]中，當(dāng)K=2時，勒讓德多項(xiàng)式提供了足夠的精確度，能夠逼近常見的CPM信號.實(shí)際上，為了不失一般性，設(shè)置時間轉(zhuǎn)移時的勒讓德多項(xiàng)式的范圍為[0，T].因此，當(dāng)k=0、1時，獲得了正交時間轉(zhuǎn)移基函數(shù)φ0(t)=1以及φ1(t)=2t/T-1，相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算濾波器的正交時間轉(zhuǎn)移基函數(shù)可表示為

(9)

將式(9)代入式(8)，以便減少公式計(jì)算項(xiàng)，可得

(10)

式中，

(11)

在這種情況下，可發(fā)現(xiàn)采用本文提出的方法之后首次降低了復(fù)雜度.當(dāng)K=2時，每組導(dǎo)數(shù)計(jì)算濾波器就會進(jìn)行簡單求和，并且對接收信號進(jìn)行縮放，如式(11)所示.

1.3 S形曲線

S形曲線S(τ)為關(guān)于定時誤差τ的對數(shù)似然函數(shù)導(dǎo)數(shù)的平均值.本文利用式(10)中已知的前導(dǎo)序列近似S形曲線，對N個符號的近似可表示為

(12)

ML定時估計(jì)與S形曲線正斜率上的零交叉點(diǎn)相對應(yīng).獲得估計(jì)的方法是生成整個S形曲線，并確定零交叉點(diǎn).但如果只是希望對單點(diǎn)進(jìn)行估計(jì)，計(jì)算過程會相當(dāng)繁瑣.文獻(xiàn)[8]提出了一種更加有效的方法，即通過假設(shè)最壞情況下的定時誤差τ=±T/2，并且評估稍微寬的范圍±3T/4內(nèi)的S形曲線進(jìn)行估計(jì).基于此，在時間實(shí)例中對式(12)進(jìn)行了評估，即

(13)

式中，m為S形曲線進(jìn)行均勻采樣的數(shù)值(整數(shù))，在序列中P=1.5m+1.為了對S形曲線的離散樣本進(jìn)行評估，兩個樣本應(yīng)滿足S(τi)<0且S(τi)S(τi+1)<0，通過線性插值發(fā)現(xiàn)最終近似定時誤差相當(dāng)于ML估計(jì)，則有

(14)

因此，定時估計(jì)器的工作過程為：以樣本τi，i=0，1，…，P-1為例，根據(jù)式(12)對近似S形曲線進(jìn)行計(jì)算；根據(jù)式(13)識別零交叉點(diǎn)；根據(jù)式(14)實(shí)現(xiàn)近似符號定時估計(jì).

2 接收器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

(15)

一旦對誤差信號進(jìn)行了計(jì)算，環(huán)路濾波器就會提供一種帶有更新值的新型定時估計(jì)，即

(16)

3 仿真結(jié)果

3.1 開環(huán)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證符號定時估計(jì)器的性能，本文將提出算法的定時誤差方差與MCRB進(jìn)行了比較.假設(shè)定時誤差獨(dú)立并且均勻地分布在τ=±T/2范圍內(nèi)，首先利用式(12)～(14)在200個符號內(nèi)隨機(jī)生成前導(dǎo)信號.需注意的是，選取隨機(jī)前導(dǎo)以確保本文提出的方法能夠適用于任意一種指定的前導(dǎo)結(jié)構(gòu).

圖1 閉環(huán)定時恢復(fù)電路框圖Fig.1 Block diagram of closed loop timing recovery circuit

圖2是兩種常用CPM方案，即最小頻移鍵控(minimum shift keying，MSK)和高斯MSK(GMSK)的歸一化定時誤差方差.在上述兩種方案內(nèi)，在速率T/m的條件下對S形曲線進(jìn)行了取樣，其中，在兩種方案內(nèi)分別為m=2和4.從圖2中可看出，相較于m=2，在m=4時采取的樣本與較大噪聲范圍內(nèi)對應(yīng)的MCRB十分接近.由于內(nèi)插算法的精確度是隨著m值的增加而提升，該結(jié)果符合預(yù)期.經(jīng)過觀察可以看出，在噪聲較大的情況下，提出的算法十分接近MSK和GMSK中Es/N0≤0 dB和Es/N0≤10 dB的界限，其中，Es/N0表示符號能量與噪聲功率譜密度之間的比率.

圖2 MSK和GMSK歸一化定時誤差方差Fig.2 Normalized timing error variancein MSK and GMSK

隨著m值的增加，本文希望MSK的性能優(yōu)于GMSK，但是圖2顯示的結(jié)果卻違反了這個預(yù)期.在L=1的MSK方案中，線性函數(shù)在符號周期內(nèi)并不具有信號相變的特點(diǎn).因此，在構(gòu)成S形曲線并且定時估計(jì)不精確的時候出現(xiàn)了近似誤差.但是在L≈3的GMSK方案中，線性函數(shù)較好地逼近了相位，這一點(diǎn)與S形曲線近似以及定時估計(jì)的精確度提升一致.通常，L≥2并且h≤0.5的CPM信號在符號間隔內(nèi)具有線性相變的特點(diǎn)，并且基函數(shù)對其進(jìn)行了較好地逼近.由于L降低或者h(yuǎn)增加，相位變化不再與線性函數(shù)類似，同時近似精確度也會降低.為了進(jìn)一步說明，本文考慮使用兩個候選的逼近容量CPM方法[10-11]，其中，參數(shù)為Mc=4、2RC(RC表示g(t)由升余弦函數(shù)調(diào)制產(chǎn)生)，進(jìn)制位h=1/8以及Mc=2、4REC(REC表示g(t)由矩形脈沖函數(shù)調(diào)制產(chǎn)生)，h=1/4.在這種情況下，在較大的Es/N0范圍內(nèi)與MCRB十分接近，在Es/N0≤15 dB的條件下，m=2與m=4之間的差異較小，如圖3所示.

3.2 閉環(huán)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

對于閉環(huán)系統(tǒng)而言，假設(shè)定時殘留誤差為τ=0，可以在DD模式下對其性能進(jìn)行檢測.這種情況是人為設(shè)計(jì)的，但是能夠觀察到錯誤的數(shù)據(jù)判決對定時誤差方差的影響.在DD模式下，數(shù)據(jù)部分包含大約550個符號，并且確定回溯值D=1.圖4、5為環(huán)路帶寬為2.5e-3時DD定時的性能.顯然，在MSK和GMSK兩種方案中，符號定時估計(jì)器表現(xiàn)出了魯棒性能，十分接近較大噪聲值的界限，但是偏離了MCRB，即出現(xiàn)了近似誤差.從圖5(參數(shù)為Mc=4、2RC，h=1/8以及Mc=2、4REC，h=1/4)中可看出相似的趨勢，高階參數(shù)方案對近似誤差更加敏感，原因在于在符號間隔內(nèi)的相位變化不再逼近線性函數(shù).但在所有情況下，閉環(huán)系統(tǒng)均能夠在一定信噪比范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)可信的定時估計(jì)，該范圍是在調(diào)制方案的工作范圍內(nèi).

圖3 在兩個逼近容量CPM方案中的歸一化定時誤差方差Fig.3 Normalized timing error variance in twoapproximation capacity CPM schemes

圖4DD模式下MSK和GMSK方案內(nèi)的歸一化定時誤差方差

Fig.4NormalizedtimingerrorvarianceinMSKandGMSKschemesunderDDmode

圖5DD模式下兩個逼近容量CPM方案中的歸一化定時誤差方差

Fig.5NormalizedtimingerrorvarianceintwoapproximationcapacityCPMschemesunderDDmode

3.3 算法復(fù)雜度分析

為了分析算法實(shí)現(xiàn)成本，對本文提出方案的復(fù)雜度進(jìn)行了比較.在文獻(xiàn)[4]中，為了進(jìn)行求導(dǎo)，每個符號需要12(LoM+(L-1)A)次運(yùn)算，其中，乘法次數(shù)為M，加法次數(shù)為A，Lo表示匹配濾波器的樣本長度，需要3M+A次運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)定時估計(jì).在文獻(xiàn)[5]中，為了進(jìn)行求導(dǎo)，需要4(LoM+(L-1)A)次運(yùn)算，以及3M+A次運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)定時估計(jì).在本文中，只需通過mLo次加法運(yùn)算就能夠?qū)崿F(xiàn)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，并且通過12M+11A次運(yùn)算實(shí)現(xiàn)了定時估計(jì)，比較結(jié)果如表1所示.由表1可知，本文提出方法的整體計(jì)算成本更低.

表1 不同算法的運(yùn)算復(fù)雜度比較Tab.1 Comparison in computational complexityof different algorithms

4 結(jié) 論

本文提出了一種新型低復(fù)雜度的CPMML定時估計(jì)方案.利用基函數(shù)的替代集合(以勒讓德多項(xiàng)式的形式)來更好地逼近CPM信號.該方法能夠使ML方案中的定時轉(zhuǎn)移線性化，并且使導(dǎo)數(shù)運(yùn)算變?yōu)楹唵吻蠛?結(jié)果表明，對于各種CPM參數(shù)而言，在開環(huán)以及閉環(huán)兩個系統(tǒng)中，本文提出算法的估計(jì)性能與MCRB相近.

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