基于能量解耦法的輕型載貨商用車振動(dòng)系統(tǒng)模態(tài)分析

許恩永

（東風(fēng)柳州汽車有限公司，廣西柳州545005）

乘坐舒適性是客戶評(píng)價(jià)汽車的重要指標(biāo)之一，在汽車生產(chǎn)銷售過(guò)程中占有極其重要的位置，目前主要通過(guò)座椅處的振動(dòng)狀態(tài)來(lái)衡量，而汽車動(dòng)力學(xué)是從根本上解決汽車行駛問(wèn)題過(guò)程中遇到諸多振動(dòng)難題的復(fù)雜而又有效的一門(mén)學(xué)科。目前建立汽車系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程常用的方法有：拉格朗日法、牛頓—?dú)W拉法和凱恩法等[1]。動(dòng)力學(xué)是汽車進(jìn)行模態(tài)分析的前提，而模態(tài)分析是控制振動(dòng)、抑制噪聲等解決NVH常見(jiàn)問(wèn)題中最為有效的一種分析方法[2]。實(shí)際中，容易求得線性振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率和固有振型，卻難以判斷廣義坐標(biāo)與固有頻率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，尤其是廣義坐標(biāo)之間耦合程度較高時(shí)，文獻(xiàn)[3-5]等都完成了汽車平順性的建模仿真，但仍沒(méi)有對(duì)固有頻率與廣義坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行分析。

本文以某輕型載貨商用車為例，通過(guò)簡(jiǎn)化建立該汽車五自由度力學(xué)模型，根據(jù)牛頓—?dú)W拉法建立其動(dòng)力學(xué)方程，并采用動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)隔振優(yōu)化的慣用方法——能量解耦法[6-8]，基于常用矩陣化數(shù)學(xué)軟件MATLAB得到該車座椅處最為關(guān)注的系統(tǒng)各階模態(tài)與各廣義坐標(biāo)的能量分布，說(shuō)明不同模態(tài)所對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)以及各廣義坐標(biāo)的耦合情況，為提高商用車平順性提供理論依據(jù)。最后，利用動(dòng)力學(xué)軟件ADAMS建立其動(dòng)力學(xué)模型，并進(jìn)行模態(tài)和振型分析完成上述計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。

1　五自由度振動(dòng)系統(tǒng)模態(tài)分析

1.1　力學(xué)模型

商用車是一個(gè)極為復(fù)雜的剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)，本文研究的某輕型載貨商用車模型如圖1所示。

圖1　某型商用車模型

為建立汽車座椅的五自由度模型分析平順性相關(guān)的模態(tài)特性，根據(jù)該商用車的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化，得到由輪胎、懸架、車身和人椅所組成的剛體系統(tǒng)，其力學(xué)模型如圖2所示。

圖2　汽車五自由度振動(dòng)系統(tǒng)力學(xué)模型

圖2可見(jiàn)，該模型具有五個(gè)自由度，取廣義坐標(biāo)為（i=1，2，3，4，5），分別表示汽車前簧下質(zhì)量垂向位移、汽車后簧下質(zhì)量垂向位移、車身垂向位移、車身俯仰角位移和人椅位移；和表示前后輪的路面不平激勵(lì)。本文中采用的商用車動(dòng)力學(xué)參數(shù)如表1所示。

表1　某型號(hào)汽車動(dòng)力學(xué)參數(shù)

1.2　動(dòng)力學(xué)方程

汽車五自由度振動(dòng)系統(tǒng)作平面運(yùn)動(dòng)，其動(dòng)力學(xué)分析相對(duì)簡(jiǎn)單，故可采用牛頓第二定律來(lái)建立其動(dòng)力學(xué)方程，如下：

建立上面動(dòng)力學(xué)方程需要注意下面兩點(diǎn)：

①本文在建立動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，之所以沒(méi)有考慮彈性元件的原長(zhǎng)和各個(gè)部件本身的質(zhì)量，是因?yàn)楦鱾€(gè)自由度的位移是相對(duì)于各自的靜平衡位置。

②本文主要進(jìn)行的是自由振動(dòng)的響應(yīng)，即zg1=zg2=0.

1.3　質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣

通過(guò)對(duì)式（1）至式（5）的合并與化簡(jiǎn)，可以得到如下的形式：

其中：

1.4　固有頻率和振型矩陣

本文主要討論系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)，故令阻尼系數(shù)為0，得到：

由振動(dòng)理論可知，通過(guò)對(duì)矩陣K和M求廣義特征值和廣義特征向量，即可得到對(duì)角矩陣Λ和振型方所組成的對(duì)角矩陣。通過(guò)對(duì)Λ進(jìn)行開(kāi)方即可得到系統(tǒng)各階圓頻率（單位rad/s），再除以2π便可得到系統(tǒng)各階固有頻率（單位Hz）。充分利用矩陣數(shù)學(xué)軟件MATLAB在矩陣計(jì)算中的優(yōu)勢(shì)，調(diào)用其子函數(shù)，輸入命令[Λ Φ]=eig（K，M），即可得到振型矩陣 Λ 和對(duì)角矩陣Φ。

將表1的汽車動(dòng)力學(xué)參數(shù)代入式（7），得到質(zhì)量和剛度矩陣。利用MATLAB軟件編制程序，容易得到該系統(tǒng)的振型矩陣Φ和對(duì)角矩陣Λ為：

根據(jù)對(duì)角矩陣及前面介紹的關(guān)系可得到系統(tǒng)的前五階固有頻率為：f1=1.31 Hz，f2=2.36 Hz，f3=2.98 Hz f4=10.52 Hz，f5=11.72 Hz.

利用MATLAB軟件求解得到的固有頻率是按照從小到大的順序進(jìn)行排列的，因此難以得知各廣義坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的固有頻率。如果單純地通過(guò)觀察振型矩陣各列中最大的元素獲取貢獻(xiàn)量最大的自由度，由于沒(méi)有考慮到質(zhì)量、單位和正負(fù)號(hào)等問(wèn)題，很多時(shí)候并不準(zhǔn)確，尤其是在廣義坐標(biāo)的耦合程度較高時(shí)容易判斷出錯(cuò)。為彌補(bǔ)該不足，下面利用能量法來(lái)解決這一問(wèn)題。

2　汽車五自由度振動(dòng)系統(tǒng)能量分布

2.1　能量法解耦法

通常振動(dòng)系統(tǒng)中都存在不同程度的耦合作用，使得系統(tǒng)的激振頻帶加寬，給隔振和頻率配置帶來(lái)困難，不利于減振降噪。為對(duì)這一程度做出評(píng)價(jià)，通常用某一廣義坐標(biāo)的動(dòng)能占某階模態(tài)總動(dòng)能的百分比作為模態(tài)解耦的評(píng)價(jià)指標(biāo)，即能量法解耦。

根據(jù)式（7）即可求得圓頻率 ω（i=1，2，3，4，5）及振型矩陣Φ，由此便可求得系統(tǒng)各階主振動(dòng)時(shí)的能量分布，將它寫(xiě)成矩陣的形式，即為能量分布矩陣。

當(dāng)系統(tǒng)作i階主振動(dòng)時(shí)的最大動(dòng)能為：

展開(kāi)得：

mkl表示質(zhì)量矩陣的第k行、第l列元素，（φi）k和（φi）l分別表示振型（φi）的第k、l個(gè)元素。

第k個(gè)廣義坐標(biāo)在第i階主振動(dòng)最大動(dòng)能所占的百分比為：

如果Tp（k，i）=100%，則意味著第i階主振型的能量全部集中在第k個(gè)廣義坐標(biāo)上，其余廣義坐標(biāo)分配到的能量均為零，即該階模態(tài)對(duì)應(yīng)的主振動(dòng)沒(méi)有耦合性，即實(shí)現(xiàn)了完全解耦。

根據(jù)上面敘述的能量解耦法理論基礎(chǔ)，利用MATLAB軟件開(kāi)發(fā)能量解耦法函數(shù)matrix_of_enegy。該函數(shù)的輸入?yún)?shù)為振型矩陣Φ、對(duì)角矩陣Λ和質(zhì)量矩陣M，輸出參數(shù)為能量分布矩陣Tp.函數(shù)調(diào)用格式如下：

2.2　汽車五自由度振動(dòng)系統(tǒng)能量分布矩陣

根據(jù)前面的能量解耦法函數(shù)、對(duì)角矩陣、振型矩陣和質(zhì)量矩陣，得該系統(tǒng)的能量分布如表2所示。

表2　系統(tǒng)的固有頻率和能量分布

從表2中可知，第一至第五階模態(tài)分別對(duì)應(yīng)于z4、z3、z5、z2和 z1，它們所占的能量最大，說(shuō)明了各自由度的所對(duì)應(yīng)的固有頻率以及各個(gè)自由度的耦合情況；從表中還可以看出，第二和第三階模態(tài)下，z3和z5兩自由度的頻率接近且耦合程度較高，，而其它另外三階的解耦率都超過(guò)了90%，已經(jīng)具備很好的解耦效果。

3　汽車五自由度振動(dòng)系統(tǒng)模態(tài)驗(yàn)證

3.1　五自由度振動(dòng)系統(tǒng)ADAMS模型

多體動(dòng)力學(xué)分析軟件ADAMS是進(jìn)行機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真分析的權(quán)威，在汽車行業(yè)應(yīng)用廣泛，故本文利用ADAMS軟件建立該五自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，如圖3所示，對(duì)MATLAB計(jì)算結(jié)果的驗(yàn)證。為了更好的看出振型，對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化建立其ADAMS的簡(jiǎn)化模型，如圖4所示。

圖3　輕型載貨商用車五自由度ADAMS模型

圖4　五自由度簡(jiǎn)化模型

3.2　固有頻率對(duì)比

通過(guò)ADAMS求解器對(duì)該模型的系統(tǒng)固有頻率進(jìn)行求解，得到其前五階固有頻率，并將其結(jié)果填入表3中，為了與前面MATLAB軟件的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，將MATLAB的結(jié)果也填入表3中。

表3　MATLAB與ADAMS求解系統(tǒng)固有頻率對(duì)比

從表3中可以看出本文所開(kāi)發(fā)的MATLAB程序求解結(jié)果與ADAMS求解結(jié)果相差極小，誤差在2%左右，由此說(shuō)明了該五自由度振動(dòng)系統(tǒng)建模與求解結(jié)果是正確且可靠的。

3.3　ADAMS模型固有振型

對(duì)本文建立的ADAMS模型進(jìn)行模態(tài)分析，其前五階振型結(jié)果如圖5所示。

圖5　五自由度振動(dòng)系統(tǒng)ADAMS模型的前五階振型

從圖5可見(jiàn)，第一階模態(tài)的振動(dòng)主要集中在上；第二、三階模態(tài)的振動(dòng)主要集中在和上；第四階模態(tài)的振動(dòng)主要集中在上；第五階模態(tài)的振動(dòng)主要集中在上。這與表2的能量分布關(guān)系是十分吻合的，再次驗(yàn)證了本文模型和計(jì)算方法的正確性和可靠性。而影響駕駛員乘坐舒適性的振動(dòng)頻率主要是第二階模態(tài)，振型為座椅的上下振動(dòng)，改善其舒適性可以此為根據(jù)。

4　結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)汽車結(jié)構(gòu)分析和簡(jiǎn)化，建立五自由度振動(dòng)系統(tǒng)并進(jìn)行了模態(tài)分析，利用能量解耦法基于MATLAB軟件得到了該系統(tǒng)的能量分布矩陣，獲得了各廣義坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的固有頻率以及各階模態(tài)各廣義坐標(biāo)耦合程度，最后通過(guò)ADAMS來(lái)驗(yàn)證了結(jié)果的正確性，為汽車的隔振與優(yōu)化，舒適性的改進(jìn)措施提供理論基礎(chǔ)。

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