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    橢圓曲線加密教學中輔助軟件的開發(fā)與應(yīng)用

    2018-04-02 01:24:39方賢進吳艷婷
    計算機教育 2018年3期
    關(guān)鍵詞:純量子群乘法

    方賢進,吳艷婷,王 麗

    (安徽理工大學 計算機科學與工程學院,安徽 淮南 232001)

    0 引 言

    橢圓曲線加密(Elliptic Curve Cryptography,ECC)已經(jīng)廣泛地使用在TLS、PGP和SSH中,這3項技術(shù)是現(xiàn)代IT世界的加密基礎(chǔ),當今流行的比特幣(BitCoin)、區(qū)塊鏈(Block Chain)等加密貨幣技術(shù)更是以此為基礎(chǔ)。

    在中國知網(wǎng)(CNKI)上搜索“橢圓曲線”“教學”兩個關(guān)鍵詞,可檢索到5 835條文獻,但幾乎都是關(guān)于ECC學術(shù)方面的論文,教研類的論文只有郎榮玲、劉建偉等人在《計算機教育》發(fā)表的“信息安全數(shù)學基礎(chǔ)理論教學方法研究”[1],但也只簡單提及“橢圓曲線密碼體制來源于對橢圓曲線的研究,因此在講授這個部分內(nèi)容時一定要把橢圓曲線的物理意義以及其應(yīng)用講清楚”。

    現(xiàn)代密碼學[2]中ECC的教與學存在一定困難,首先橢圓曲線加密涉及橢圓曲線幾何、集合論、Abel群、有限域等數(shù)學知識,另外橢圓曲線加密運算要應(yīng)用模運算、擴展的歐幾里得算法、有限域上的點加運算、倍點運算等,有些運算不僅抽象(例如點的逆元運算、點加運算、2倍點運算等),而且計算量很大(例如有限域上點集合計算、多倍點運算)。在教學過程中筆者發(fā)現(xiàn),學生覺得橢圓曲線加密算法具有神秘感,難以直觀理解。鑒于此,利用HTML5新功能結(jié)合CSS、jQuery框架開發(fā)基于Web的可視化工具軟件,用于輔助講解橢圓曲線及其代數(shù)與幾何特性、橢圓曲線下Abel群的定義及幾何意義、有限域GF(p)上橢圓曲線點的計算等,為學生更好地理解橢圓曲線加密算法及其應(yīng)用(如加解密、數(shù)字簽名等)奠定基礎(chǔ)。橢圓曲線加密教學方法探討的設(shè)計框架見圖1。

    圖2?。╝)實數(shù)域上的一般橢圓曲線

    圖2 (b)奇異橢圓曲線(4a3+27b2=0)

    圖3 橢圓曲線加密教學輔助軟件的功能模塊

    1 橢圓曲線及其代數(shù)幾何特性的認識教學

    橢圓曲線在代數(shù)學和幾何學上已被廣泛研究了150多年,有堅實的理論基礎(chǔ)。橢圓曲線密碼體制以橢圓曲線為基礎(chǔ),因此在講解橢圓曲線密碼體制之前,先要讓學生搞清楚橢圓曲線的代數(shù)與幾何特性,這樣才能更好地理解橢圓曲線的基本原理及相關(guān)理論。

    無論是實數(shù)域還是有限域上的橢圓曲線,學生都覺得比較抽象。為了讓學生更好地理解橢圓曲線上點的各種運算及其幾何意義,有必要讓學生對各種橢圓曲線的特性有直觀的了解,如關(guān)于x軸的對稱性、根的判別式與奇異曲線等。因此,利用開發(fā)的可視化軟件,在講解橢圓曲線的幾何特性時通過改變html5頁面表單中數(shù)字型輸入框參數(shù)a、b的值,可以形象地得到實數(shù)域上各種不同的橢圓曲線,見圖2(a)、2(b)。

    該輔助軟件基于Web架構(gòu),采用HTML5+jQuery框架的Web前端開發(fā)技術(shù),不需要后端(Server)支持。軟件的主要功能是橢圓曲線加密基礎(chǔ)理論的輔助教學及可視化,其功能模塊見圖3,具體軟件參見作者個人網(wǎng)站http://star.aust.edu.cn/~xjfang/crypto。

    2 橢圓曲線下的Abel群的定義及幾何意義的教學

    橢圓曲線上所有的點、點加運算、點的純量乘法構(gòu)成一個Abel群(交換群)。但是,在講解這部分內(nèi)容時,涉及群論的很多概念和知識,如橢圓曲線上所有點及運算構(gòu)成Abel群的單位元概念、逆元概念、點加運算、點的純量乘法運算、點加運算的結(jié)合律、交換律等。如果缺乏形象、直觀地展示與驗證,往往比較枯燥、乏味。

    橢圓曲線上兩個不相等的非零點P=(xP ,yP)、Q=(xQ,yQ),它們的點加運算P+Q=R=(xR,yR)的代數(shù)計算公式為

    其中m=(yP-yQ)/(xP-xQ)。

    為了更清晰地講解點加運算,可以用可視化的方法演示點加運算的代數(shù)計算結(jié)果以及其幾何意義:橢圓曲線上點加運算的幾何意義是連接兩個點P與Q,PQ的延長線與曲線的交點關(guān)于x軸的對稱點即為這兩個不同點P與Q之和。圖4(a)是橢圓曲線 上的兩個點P(1, 2)、Q(3, 4)相加得到點R(-3, 2)及其幾何意義,點R(-3, 2)是PQ延長線與橢圓曲線的交點(-3, -2)的對稱點。圖4(a)同時驗證了橢圓曲線下群的定義一條規(guī)則:橢圓曲線上3個連成一線的非單位元點P、Q、-R,它們的和為P+Q+(-R)=O。圖4(b)演示了橢圓曲線上群的定義的另一條規(guī)則:若P、Q互為逆元,即P與Q關(guān)于x軸對稱,或者說Q=-P,則P+Q=O,其表示無窮遠點O是平行于y軸的直線的一種抽象。

    純量乘法又稱為倍點運算,即nP=P+P+ +P,純量乘法的計算基礎(chǔ)是兩個相同點的點加運算。如果P(xP,yP)是橢圓曲線上的點,按照以下規(guī)則計算2P=P+P=R=(xR,yR)。

    其中m=(3x2p+a)/2yp。

    當純量乘法運算中的n比較大時,其運算是反復通過倍加(double and add)算法實現(xiàn)的。例如,計算151P,將n=151表示成二進制形式:151=27+24+22+21+20,151P=27P+24P+22P+21P+20P,

    2P利用公式(2)計算,4P利用2P計算,以此類推,反復利用倍加運算完成計算。

    圖5(a)是橢圓曲線上點的標量乘法及計算結(jié)果的可視化;圖5(b)表示兩個相同點相加(P+P=2P)的結(jié)果及幾何意義,即過該點做橢圓的切線,切線與橢圓曲線交點的對稱點即為兩個相同點相加的結(jié)果;圖5(b)與5(c)表示兩個相同點的點加運算(P+P)與點P的二倍純量乘法(2P)的結(jié)果與幾何意義的一致性。

    圖4?。╝)不相同的兩個點的加法運算

    圖4?。╞)互為逆元的兩個點的加法運算

    圖5 (a)點的純量乘法

    圖5?。╞)兩個相同點相加的幾何意義

    圖5?。╟)2P純量乘法的幾何意義

    3 有限域GF(p)上橢圓曲線點的計算的教學

    3.1 有限域GF(p)上橢圓曲線點集合計算演示

    橢圓曲線 ,對每個x=0,1,…,p-1計算x3+ax+b(modp),如果其值是一個模p的平方根,則找到橢圓曲線上的兩個點(x,y)、(x,p-y)。該算法的執(zhí)行過程可通過圖5中的可視化工具演示,選擇參數(shù)n=1,對點P橫坐標x的輸入框依次選擇0~p-1,則計算出橢圓曲線在有限域GF(p)上的所有離散點并顯示出來。與實數(shù)域橢圓曲線一樣,在有限域GF(p)上的橢圓曲線的這些離散點及其運算仍然構(gòu)成一個Abel群(交換群)。

    3.2 有限域GF(P)上橢圓曲線的點的純量乘法、循環(huán)子群、階及其可視化

    有限域GF(p)上一個橢圓曲線所有點構(gòu)成的Abel群中點的數(shù)量稱為群的階,記為N。當p是一個很大的素數(shù)時,可以利用Schoof算法[3]在多項式時間內(nèi)計算N的值。橢圓曲線 上所有離散點構(gòu)成的Abel群的階N=100,見圖6。

    圖6 有限域GF(p)上橢圓曲線點集合的計算與可視化

    有限域GF(p)上橢圓曲線點的純量乘法的代數(shù)計算與實數(shù)域上一樣(參見2.1節(jié)),但是有限域上橢圓曲線的純量乘法具有自身的特殊性,見圖7。

    假設(shè)有橢圓曲線 ,其上的一個P(3,6),若對P進行純量乘法計算會發(fā)現(xiàn)其結(jié)果只有5個不同的值(O,P,2P,3P,4P),并且循環(huán)出現(xiàn)。

    可以驗證純量乘法在加法運算下是封閉的,即對有限域上橢圓曲線的某個點P迭代地進行純量乘法得到的點集合構(gòu)成一個循環(huán)子群,P稱為循環(huán)子群的生成元(generator)或基元(base point)。有限域 GF(p)上的橢圓曲線的循環(huán)子群是橢圓曲線加密算法及其他加密系統(tǒng)的基礎(chǔ)。

    由P生成的橢圓曲線上子群的階是指一個最小的正整數(shù)n,滿足nP=O。例如,橢圓曲線 上的一個點P(12,3)生成的子群的階是50,見圖8。

    圖7 有限域上橢圓曲線點的純量乘法的特性

    圖8 有限域橢圓曲線上點的集合、點P作為生成元構(gòu)成的子群及其階

    3.3 有限域上GF(p)上橢圓曲線的點加運算及其可視化

    有限域GF(p)上的橢圓曲線點加運算與實數(shù)域的差別是所有計算都是在模p下進行,但是由于有限域GF(p)上橢圓曲線的點都是離散的,從直觀的角度不存在幾何意義上3個點連成一線的問題。因此,有限域GF(p)上的橢圓曲線點加運算的幾何意義是不同于實數(shù)域。有限域GF(p)上橢圓曲線上的3個離散點p、Q、R連成一線是指3個點的坐標滿足線性方程y=mx+c(modp),其中參數(shù)m、c可由其中兩個點的坐標計算確定。

    因此,有限域上GF(p)上橢圓曲線兩個點相加P+Q=R的幾何意義是:首先由P、Q確定斜率為m的一組平行線(滿足線性方程y=mx+c(modp)),若橢圓曲線的點集合中某個離散點R’落在某一條平行線上,則R’關(guān)于x軸的對稱點R就是P+Q的結(jié)果。橢圓曲線 上的兩個點P(16,20)、Q(41,120)進行點加運算,計算斜率c=83,得到滿足方程 的一組平行線,在點集合中容易驗證R’=(86, 46)滿足該方程,則R’的逆元R=(86, -46)=(86,-46+127)=(86, 81)即為點P與Q相加的結(jié)果,見圖9。

    4 結(jié) 語

    筆者針對橢圓曲線加密教學過程中若干難點問題設(shè)計了幾個教學內(nèi)容,包括橢圓曲線及其代數(shù)幾何特性的認識與可視化、橢圓曲線下的Abel群運算規(guī)則的幾何意義可視化教學、有限域GF(p)上橢圓曲線點集合計算與可視化教學、有限域GF(p)上橢圓曲線的點的純量乘法、循環(huán)子群、階及其可視化、有限域上GF(p)上橢圓曲線的點加運算與可視化等。橢圓曲線加密教學中的輔助工具軟件可訪問筆者的課程建設(shè)網(wǎng)站http://star.aust.edu.cn/~xjfang/crypto/。 下 一 步 擬 進行ECC基本參數(shù)生成、明文映射到橢圓曲線上的點的算法、加解密算法、數(shù)字簽名算法等相關(guān)教學內(nèi)容的可視化設(shè)計,并力爭達到工業(yè)級別的ECC加解密教學演示系統(tǒng)、數(shù)字簽名教學演示系統(tǒng)。

    圖9 有限域GF(p)上的橢圓曲線點加運算的可視化

    參考文獻:

    [1]郎榮玲, 劉建偉, 金天. 信息安全數(shù)學基礎(chǔ)理論教學方法研究[J]. 計算機教育, 2012(17): 33-35.

    [2]谷利澤, 鄭世慧, 楊義先. 現(xiàn)代密碼學教程[M]. 北京: 北京郵電大學出版社, 2015.

    [3]SchoofP R. Counting points on elliptic curves over fnite felds[J]. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, 1995(7): 219-254.in France.

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