分類(lèi)例談隨機(jī)事件概率的求解策略

張?zhí)O梅

對(duì)于隨機(jī)事件的概率求解應(yīng)掌握一定的策略，只有這樣才能順利求解.下面舉例說(shuō)明，希望對(duì)同學(xué)們能夠有所啟發(fā).

一、求等可能事件概率時(shí)，要注意如何確定基本事件

對(duì)基本事件的不同假設(shè)，就得到不同的解法，只要所假設(shè)的基本事件是等可能的.

例1 （2017年山東卷）從分別標(biāo)有1，2，3，…，9的9張卡片中，不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽出一張，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是（）.

A.■ B.■ C.■ D.■

解析：9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張的所有方法有C29=■=36（種）。數(shù)字1～9中，奇數(shù)有5個(gè)，偶數(shù)有4個(gè)，奇偶性不同，即從奇數(shù)中抽1個(gè)，從偶數(shù)中抽1個(gè)，所以抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的情況有5×4=20（種），故所求事件的概率為■=■。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于這種不放回的試驗(yàn)中，抽取幾次可以看成一次抽取幾個(gè)。如在n個(gè)球中，不放回地隨機(jī)抽取m個(gè)球，可以看成一次性抽取m個(gè)球，則共有Cmn種取法。

二、求互斥事件中有一個(gè)發(fā)生的概率時(shí)，要注意把事件分拆

運(yùn)用互斥事件的概率加法公式解題時(shí)，首先要分清事件間是否互斥，同時(shí)要學(xué)會(huì)把一個(gè)事件分拆為幾個(gè)互斥事件，并且要做到不重不漏.

例2 某射手在一次射擊中命中9環(huán)的概率為0.28，命中8環(huán)的概率為0.19，命中不夠8環(huán)的概率為0.29，計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中命中9環(huán)或10環(huán)的概率.

解析：這個(gè)射手在一次射擊中，命中10環(huán)或9環(huán)為A，命中10環(huán)、命中9環(huán)、命中8環(huán)、不夠8環(huán)分別設(shè)為A1、A2、A3、A4，而A2、A3、A4彼此互斥，所以P（A2+A3+A4）=P（A2）+P（A3）+P（A4）=0.28+0.19+0.29=0.76.∵A1=A2+A3+A4，P（A1）=1？搖-？搖P（A2？搖+？搖A3？搖+？搖A4）？搖=？搖0.24，又A1與A2互斥，且A？搖=？搖A1？搖+？搖A2，∴P（A）？搖=？搖P（A1？搖+？搖A2）？搖=？搖P（A1）？搖+？搖P（？搖A2）？搖=？搖0.24？搖+？搖0.28？搖=？搖0.52，即這個(gè)射手在一次射擊中命中9環(huán)或10環(huán)的概率為0.52.

三、求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率時(shí)，要注意將事件分步和轉(zhuǎn)化

某事件是由幾個(gè)相互獨(dú)立基本事件同時(shí)發(fā)生形成時(shí)，一定要搞清楚這幾個(gè)相互獨(dú)立事件，也就是搞清楚某事件分幾步完成.同時(shí)，注意如果A與B相互獨(dú)立，那么■與B、A與■、■與■也相互獨(dú)立.？搖

四、求獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率時(shí)，要注意事件是有序還是無(wú)序

例4 某射手射擊一次，擊中目標(biāo)的概率為0.9，他連續(xù)射擊4次，求：（1）偶次射擊中，奇次不擊中的概率；（2）恰有兩次擊中的概率.

解析：（1）中的兩次擊中是有序其唯一的，（2）中的兩次擊中是無(wú)序的.設(shè)“某射手射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件A，則“某射手射擊一次，擊不中目標(biāo)”為事件為■，偶次射擊中，奇次不擊中的概率為；恰有兩次擊中的概率為.

五、直接計(jì)算符合條件的事件的個(gè)數(shù)較繁時(shí)，可先間接計(jì)算其對(duì)立事件的個(gè)數(shù)，求得對(duì)立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率

例5 有4位同學(xué)每人買(mǎi)一張?bào)w育彩票，求至少有兩位同學(xué)彩票號(hào)碼的末尾數(shù)字相同的概率.

解析：題中“至少有兩位同學(xué)彩票號(hào)碼的末尾數(shù)字相同”包含多個(gè)互斥事件，而它的對(duì)立事件較簡(jiǎn)單，故可先計(jì)算它的對(duì)立事件的概率.設(shè)“至少有兩位同學(xué)彩票號(hào)碼的末尾數(shù)字相同”為事件A，則■表示“4為同學(xué)的彩票號(hào)碼末位數(shù)字各不相同”，每位同學(xué)所買(mǎi)彩票的末位數(shù)字均有0，1，2，…，9十種可能，故基本事件總數(shù)為104個(gè)，要末位數(shù)字各不相同，則第一位同學(xué)彩票的末位數(shù)字有10種情況，第二位同學(xué)彩票的末位數(shù)字有9種情況，第三位同學(xué)彩票的末位數(shù)字有8種情況，第四位同學(xué)彩票的末位數(shù)字僅有7種情況，所以P（■）=■=■，因此至少有兩位同學(xué)彩票號(hào)碼的末位數(shù)字相同的概率為1-P（■）=■.（作者單位：山東省肥城市泰西中學(xué)）