非均布路基荷載下溶洞頂板穩(wěn)定性分析

趙明華，陳言章，肖 堯，楊超煒

(湖南大學(xué)巖土工程研究所，湖南 長沙 410082)

我國疆域遼闊，巖溶分布廣泛，約占國土面積的1/3[1]。大量在建的高速公路不可避免地會穿越巖溶發(fā)育地區(qū)，而巖溶塌陷破壞將影響路基的穩(wěn)定性和工程的安全性。因此，對路基下伏溶洞頂板穩(wěn)定性進(jìn)行分析研究具有重要的工程意義[2]。

目前，國內(nèi)外學(xué)者對該問題進(jìn)行了大量的研究工作，主要從試驗(yàn)研究、數(shù)值研究、理論研究三方面展開。在試驗(yàn)研究方面，周基等[3]對巖溶區(qū)路基塌陷段進(jìn)行了相似模擬試驗(yàn)；Abdulla等[4]對空洞上覆土層的穩(wěn)定性進(jìn)行了室內(nèi)離心模型試驗(yàn)研究；Kiyosumi等[5]對條形基礎(chǔ)作用在含空洞堅(jiān)硬地層的承載力進(jìn)行了模型試驗(yàn)研究。在數(shù)值研究方面，曹文貴等[6]引入強(qiáng)度折減技術(shù)，結(jié)合數(shù)值流形方法提出了公路路基巖溶頂板穩(wěn)定性的評價方法；劉悟輝等[7]采用有限差分法對路基下伏溶洞的穩(wěn)定性進(jìn)行了計算分析和評價；陽軍生等[8]、胡慶國等[9]利用通用有限元軟件分別對溶洞上方圓形、條形基礎(chǔ)的穩(wěn)定性及極限承載力進(jìn)行了研究；何忠明等[10]根據(jù)極限平衡的思想，基于尖點(diǎn)突變理論建立了路堤填筑過程中溶洞頂板失穩(wěn)判定的數(shù)學(xué)模型。以上數(shù)值計算方法計算結(jié)果相對準(zhǔn)確，但其計算要求較高，參數(shù)選取復(fù)雜，在實(shí)際工程的初步設(shè)計應(yīng)用中存在一定的局限性，因此有必要開展巖溶區(qū)公路路基下伏溶洞頂板穩(wěn)定性評價理論方法的研究。韓紅艷等[11]將溶洞頂板巖體視為固支梁，假定溶洞頂板面所受的荷載對稱均布，得到溶洞頂板的穩(wěn)定性和頂板跨度以及覆蓋層厚度之間的關(guān)系；王建秀等[12]通過對覆蓋型巖溶區(qū)薄頂板無充填溶洞巖溶塌陷成因機(jī)制的分析，提出其塌陷穩(wěn)定性可以用“蓋層土體-薄頂板無充填溶洞力學(xué)系統(tǒng)”的穩(wěn)定性來解釋；蔣沖等[13]根據(jù)Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則，建立了巖溶區(qū)路基溶洞頂板安全厚度確定方法。但目前的理論研究方法均是假定路基荷載對稱均布，而實(shí)際作用在地層表面上的路基荷載形式復(fù)雜，且與溶洞通常有一定距離。因而，以上理論計算方法不能考慮非均布路基荷載對溶洞頂板穩(wěn)定性的影響，且不適用于非對稱條件下頂板穩(wěn)定性的評價。

鑒于此，本文基于Boussinesq解求得在非均布路基荷載下溶洞頂板上任一點(diǎn)的附加應(yīng)力，將計算結(jié)果與土體和頂板的自重作用相疊加，從而得到溶洞頂板的最大彎矩和最大剪力；進(jìn)而，對頂板分別進(jìn)行抗彎和抗剪切穩(wěn)定性分析；最后，引入穩(wěn)定系數(shù)，對影響溶洞頂板穩(wěn)定性的主要因素進(jìn)行參數(shù)分析，并通過工程算例驗(yàn)證本文方法的可行性。

1 計算模型及基本假定

根據(jù)工程實(shí)際情況，本文給出如圖1所示的簡化計算模型，并作出如下假定：

(1) 土體視為彈性半無限空間體，不考慮溶洞內(nèi)部的填充物，并簡化為平面應(yīng)變問題求解；

(2) 作用于溶洞頂板上的荷載，不考慮構(gòu)造應(yīng)力場的影響，且荷載一次性施加。

圖1 簡化計算模型Fig.1 Simplified calculation model

圖1中：A，B為路基荷載的起點(diǎn)和終點(diǎn)，q(x)為路基荷載，ξ為路基荷載的寬度，h0為溶洞頂板厚度，l為溶洞頂板跨徑，h1為土層厚度，m為衡量溶洞與路基荷載相對位置的參數(shù)，大小為溶洞的幾何中心到A點(diǎn)的水平距離，當(dāng)A點(diǎn)位于溶洞幾何中心右邊時，m取正值，當(dāng)A點(diǎn)位于溶洞幾何中心左邊時，m取負(fù)值。

2 溶洞頂板穩(wěn)定性分析

溶洞頂板上的應(yīng)力分布主要由兩部分組成，一部分是土體和頂板的自重應(yīng)力，另一部分則由路基荷載產(chǎn)生的附加應(yīng)力提供。

2.1 路基荷載作用下頂板應(yīng)力的求解

若在無限彈性體表面作用無限長條形分布路基荷載，路基荷載在寬度方向的分布是任意的，但在長度方向的分布規(guī)律是相同的，則在計算土體中任一點(diǎn)M的應(yīng)力時，只與該點(diǎn)的平面坐標(biāo)(xM, zM)有關(guān)，而與荷載長度方向y軸坐標(biāo)無關(guān)，這種情況屬于平面應(yīng)變問題[14]。

2.1.1線荷載產(chǎn)生附加應(yīng)力的求解

(1)

圖2 線荷載作用Fig.2 Linear load

對式(1)進(jìn)行積分得：

(2)

2.1.2非均布條形荷載產(chǎn)生附加應(yīng)力的求解

(3)

圖3 非均布條形荷載作用Fig.3 Non-uniform strip load

當(dāng)路基荷載滿足線性分布，即：

q(x)=ax+b

(4)

代入式(3)中可得：

(5)

特殊地，當(dāng)路基荷載為均布荷載時，即：

q(x)=q0

(6)

則：

(7)

當(dāng)路基荷載滿足二次拋物線分布，即：

q(x)=ax2+bx+c

(8)

代入式(3)中可得：

(9)

同理可以得到路基荷載滿足更高階次函數(shù)分布時地基土中任一點(diǎn)的附加應(yīng)力。

本文基于梁板理論，將溶洞視為水平矩形洞室，偏安全考慮，采用單向板計算。

一般情況下，當(dāng)支座和頂板巖層均較完整時，按兩端固支梁計算[15]，如圖4a所示。

圖4 溶洞頂板計算力學(xué)模型Fig.4 Calculating mechanics model of the karst roof

當(dāng)裂隙位于支座處，而頂板較完整時，可分成下列5種情況：

(1) 兩端支座均存在裂隙，且不貫穿頂板，按簡支梁計算，如圖4b所示。

(2) 只有一端支座有裂隙，且裂隙貫穿頂板，按全懸臂梁計算，如圖4c所示。

(3) 兩邊支座處均存在貫穿型裂隙，溶洞頂板處于不穩(wěn)定狀態(tài)，這時應(yīng)當(dāng)對溶洞進(jìn)行相關(guān)的處理。

(4) 一邊支座有非貫穿裂隙，另外一邊支座無裂隙，可視為一邊簡支一邊固支，溶洞穩(wěn)定性界于兩邊簡支與兩邊固支之間。

(5) 一邊支座有非貫穿裂隙，一邊有貫穿型裂隙，溶洞頂板處于不穩(wěn)定狀態(tài)。

當(dāng)裂隙位于支座處，且當(dāng)頂板跨中有裂隙時，可分成下列2種情況：

(1) 裂隙貫穿頂板，這種情況在實(shí)際工程中也比較危險，因?yàn)橹ё涂缰卸加辛严叮C明溶洞頂板極易破壞，處于不穩(wěn)定狀態(tài)；

(2) 裂隙未貫穿頂板，在宏觀模型上可以認(rèn)為溶洞頂板的厚度減小了，因?yàn)榱严敦灤┑娜芏错敯蹇梢哉J(rèn)為無承載能力，這時則可按頂板厚度折減來討論。

綜上所述，根據(jù)工程實(shí)際需要，僅對圖4所示的溶洞頂板計算模型進(jìn)行詳細(xì)討論。在計算溶洞頂板在路基荷載作用下的應(yīng)力時，在梁上取若干個點(diǎn)，求出各點(diǎn)處的附加應(yīng)力，然后利用MATLAB進(jìn)行擬合，作為作用在溶洞頂板上的荷載p(x)。

2.2 土體和頂板自重作用下頂板應(yīng)力的求解

在計算土體和頂板自重應(yīng)力時，假定自重應(yīng)力σcz沿水平面均勻分布，且隨深度按直線規(guī)律變化，即式(10)：

σcz=γ1h1+γ0h0

(10)

式中：γ1——溶洞頂板上覆土層的重度；

γ0——溶洞頂板所在巖層的重度。

基于梁板理論，將土體和頂板的自重看成均布荷載作用在溶洞頂板上，如圖5所示(以簡支梁為例)，計算自重應(yīng)力作用下溶洞頂板的應(yīng)力。

圖5 溶洞頂板作用自重應(yīng)力Fig.5 Self-weight stress loading on the karst roof

2.3 溶洞頂板穩(wěn)定性分析

溶洞頂板的穩(wěn)定性是巖溶區(qū)公路路基設(shè)計控制的關(guān)鍵性指標(biāo)，下面將對溶洞頂板的抗彎和抗剪切穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

由于荷載非均布，梁板最大彎矩不一定在跨中處，梁板剪力在哪個支座處達(dá)到最大也需要根據(jù)擬合的荷載進(jìn)行計算 (以簡支梁為例)，令：

Q(x)=p(x)+γ1h1+γ0h0

(11)

通過對荷載集度Q(x)沿溶洞頂板跨徑進(jìn)行積分，可以得到總荷載：

(12)

根據(jù)力的等效性，可知總荷載與溶洞頂板跨中的距離δ要滿足式(13)，計算簡圖如圖6所示。

(13)

圖6 溶洞頂板作用總荷載Fig.6 Total load on the karst roof

則梁板兩端支座處的反力分別為：

(14)

(15)

梁板所受最大剪力值取RA和RB中的最大值：

Qmax={RA,RB}

(16)

根據(jù)直梁內(nèi)力與外力間的微分關(guān)系：

(17)

對式(17)進(jìn)行積分，再根據(jù)邊界條件，即簡支梁在x=-l/2和x=l/2處的彎矩值為0：

(18)

可以得到梁上任一點(diǎn)處的彎矩表達(dá)式M(x)，再對M(x)求一階導(dǎo)數(shù)，并令其等于0：

(19)

求得彎矩取到最大值時的坐標(biāo)x，將其代入M(x)的表達(dá)式中，即可得到簡支梁上作用任意形式分布荷載時梁上的最大彎矩Mmax。

同理，若將溶洞頂板看做懸臂梁，則頂板最大彎矩和最大剪力均位于固支端；而對于兩端固支的溶洞頂板，可取如圖6所示的簡支梁為基本結(jié)構(gòu)[16]，并忽略軸力的影響，簡化為只需求解兩個多余未知力的問題，通過建立力法典型方程求出的兩個多余未知力即為固支梁兩端的彎矩MA，MB的值，兩者中的較大值即為固支梁上的最大彎矩，該過程可通過MATLAB編程實(shí)現(xiàn)。

根據(jù)上述對溶洞頂板最大彎矩和最大剪力值的計算，可以對頂板分別進(jìn)行抗彎和抗剪切穩(wěn)定性分析。

2.3.1溶洞頂板抗彎穩(wěn)定性分析

當(dāng)溶洞頂板巖層完整且跨徑較大時，彎矩是主要的控制條件，按照頂板抗彎計算穩(wěn)定性，需滿足下列關(guān)系式：

(20)

式中：σt——巖石的抗拉強(qiáng)度；

σtmax——溶洞頂板的最大拉應(yīng)力；

b——梁板的寬度，取1.0 m；

Mmax——梁板的最大彎矩。

將通過式(19)求得的最大彎矩Mmax代入到式(20)可得溶洞頂板所受到的最大拉應(yīng)力，若大于巖石的抗拉強(qiáng)度，則不滿足頂板抗彎穩(wěn)定性的要求。

2.3.2溶洞頂板抗剪切穩(wěn)定性分析

當(dāng)溶洞頂板巖層完整且跨徑較小時，剪切是主要的控制條件，按照頂板抗剪切計算穩(wěn)定性，此時剪切面上的最大剪應(yīng)力為：

(21)

式中：Qmax——梁板的最大剪力。

對于巖石的剪切破壞用莫爾判據(jù)比較合理，不同的巖性莫爾判據(jù)形式不同[17]：

(1) 巖性較堅(jiān)硬至較軟弱的巖石莫爾強(qiáng)度包絡(luò)線近似為二次拋物線型，莫爾強(qiáng)度判據(jù)表達(dá)式為：

(22)

式中：σc——巖石的抗壓強(qiáng)度；

σ——剪切體所受圍壓(水平天然應(yīng)力)，若沒有實(shí)測資料可令σ=0[18]。

將式(21)代入式(22)中，若等號左邊大于右邊，則不滿足溶洞頂板抗剪切穩(wěn)定性的要求。

(2) 巖性堅(jiān)硬、較堅(jiān)硬的巖石強(qiáng)度包絡(luò)線近似為雙曲拋物線型，莫爾強(qiáng)度判據(jù)表達(dá)式為：

τ2=(σ+σt)2tan2φ0+(σ+σt)σt

(23)

式中：φ0——包絡(luò)線漸近線的傾角。

φ0需滿足式(24)：

(24)

將式(21)代入式(23)，若等號左邊大于右邊，則不滿足溶洞頂板抗剪切穩(wěn)定性的要求。

3 參數(shù)分析

影響溶洞頂板穩(wěn)定性的參數(shù)主要包括兩方面：①溶洞各參數(shù)對頂板穩(wěn)定性的影響：溶洞頂板厚度h0，溶洞頂板跨徑l，溶洞上覆土層厚度h1等；②路基荷載對頂板穩(wěn)定性的影響：路基荷載的分布形式q(x)，路基荷載的寬度ξ，溶洞與路基荷載的相對位置參數(shù)m等。因此本文將著重從以下四個方面對溶洞頂板的穩(wěn)定性進(jìn)行參數(shù)分析。

3.1 定義穩(wěn)定系數(shù)

為了能更直觀地描述各參數(shù)對溶洞頂板穩(wěn)定性的影響，引入穩(wěn)定系數(shù)k，由于當(dāng)溶洞頂板跨徑較大時，頂板的抗剪切穩(wěn)定性通常滿足要求，本文即以頂板巖層的最大拉應(yīng)力與其抗拉強(qiáng)度的比值來判斷溶洞頂板的穩(wěn)定性[19]，如式(25)所示：

(25)

當(dāng)穩(wěn)定系數(shù)k≥1時，表明溶洞頂板的穩(wěn)定性滿足要求，反之則需要對溶洞進(jìn)行處治。

3.2 溶洞頂板穩(wěn)定性的影響分析

計算模型中各參數(shù)取值如表1所示。

表1 計算參數(shù)取值

3.2.1路基荷載分布形式的影響分析

假定路基荷載滿足如圖7所示的軸對稱分布形式。

圖7 路基荷載分布形式Fig.7 Subgrade load distribution

對于圖7a所示的均勻分布的路基荷載，假定q0=1 MPa，而圖7b為二次拋物線分布荷載，分布形式滿足q(x)=ax2+c，c表示拋物線分布荷載頂點(diǎn)處的荷載值，當(dāng)a>0時，荷載分布中間小兩邊大；而當(dāng)a<0時，荷載分布中間大兩邊小。為控制變量，無論什么形式分布的荷載，代入式(12)求得的總荷載F均要相等，因此a與c并不是相互獨(dú)立的兩個變量。

將表1中的計算參數(shù)取值代入相關(guān)公式，并令m=-15 m，即荷載中心與溶洞中心都位于z軸，可得穩(wěn)定系數(shù)k與拋物線分布荷載頂點(diǎn)處的荷載值c的關(guān)系曲線，如圖8所示。

圖8 路基荷載的分布形式對穩(wěn)定系數(shù)的影響Fig.8 Influence of subgrade load distribution on the stability factor

由圖8可知，按固支梁計算得到的溶洞頂板穩(wěn)定系數(shù)最大，按懸臂梁計算得到的穩(wěn)定系數(shù)最小。而按簡支梁計算得到的結(jié)果介于兩者之間。由于荷載非均布，當(dāng)拋物線分布荷載頂點(diǎn)處的荷載值c增大，頂板跨中處分配到的附加應(yīng)力增大，而支座處分配到的附加應(yīng)力減小，因而溶洞頂板的抗彎穩(wěn)定系數(shù)k也將隨之減小。說明路基荷載分布越集中在溶洞中心處，溶洞頂板的穩(wěn)定性越低。

3.2.2溶洞與路基荷載相對位置的影響

假定路基荷載為均布分布的荷載，且荷載集度q0=1 MPa，保持表1中其他參數(shù)不變，僅改變m的大小，可得k與m的關(guān)系曲線，如圖9所示。

圖9 溶洞與路基荷載相對位置對穩(wěn)定系數(shù)的影響Fig.9 Influence of the relative position of the cave and subgrade load on the stability factor

由圖9可知，溶洞頂板的穩(wěn)定系數(shù)k隨著溶洞與路基荷載相對位置參數(shù)m的增大而呈非線性增加。按簡支梁計算得到的頂板穩(wěn)定系數(shù)較按懸臂梁計算得到的頂板穩(wěn)定系數(shù)增加的幅度大，而按固支梁計算的頂板穩(wěn)定系數(shù)增幅最大。當(dāng)m=-15 m時，即荷載中心與溶洞中心位于同一鉛垂線上時，此時溶洞頂板的穩(wěn)定系數(shù)k達(dá)到最小值。說明溶洞與路基荷載的距離越近，溶洞頂板的穩(wěn)定性越差。

3.2.3溶洞頂板厚度的影響

假定路基荷載為均布分布的荷載，且荷載集度q0=1 MPa，保持表1中其他參數(shù)不變，并令m=0，改變?nèi)芏错敯搴穸萮0的大小，可得k與h0的關(guān)系曲線，如圖10所示。

圖10 溶洞頂板厚度對穩(wěn)定系數(shù)的影響Fig.10 Influence of the roof thickness on the stability factor

由圖10可知，溶洞頂板的穩(wěn)定系數(shù)k隨著溶洞頂板厚度h0的增大呈非線性增加。按固支梁計算的頂板穩(wěn)定系數(shù)增幅最大，按懸臂梁計算的頂板穩(wěn)定系數(shù)增加的幅度最小，而按簡支梁計算的頂板穩(wěn)定系數(shù)增幅介于兩者之間。當(dāng)h0達(dá)到某一臨界值時，溶洞頂板的穩(wěn)定系數(shù)將大于1。當(dāng)頂板分別按固支梁、簡支梁、懸臂梁結(jié)構(gòu)模型計算穩(wěn)定系數(shù)時，對應(yīng)的頂板臨界厚度h0為1.4，1.7，3.7 m。說明溶洞頂板越厚，巖石完整性越好，對溶洞頂板的穩(wěn)定性越有利。

3.2.4溶洞頂板跨徑的影響

假定路基荷載為均布分布的荷載，且荷載集度q0=1 MPa，保持表1中其他參數(shù)不變，并令m=0，改變?nèi)芏错敯蹇鐝絣的大小，可得k與l的關(guān)系曲線，如圖11所示。

圖11 溶洞頂板跨徑對穩(wěn)定系數(shù)的影響Fig.11 Influence of the roof span on the stability factor

由圖11可知，溶洞頂板的穩(wěn)定系數(shù)k隨著溶洞頂板跨徑l的增大呈非線性減小。按簡支梁計算的頂板穩(wěn)定系數(shù)大于按懸臂梁計算的頂板穩(wěn)定系數(shù)，而按固支梁計算的頂板穩(wěn)定系數(shù)在跨徑較小時減小幅度較大，而后趨于緩慢。當(dāng)l達(dá)到某一臨界值時，溶洞頂板的穩(wěn)定系數(shù)將大于1。當(dāng)頂板分別按固支梁、簡支梁、懸臂梁結(jié)構(gòu)模型計算穩(wěn)定系數(shù)時，對應(yīng)的頂板臨界跨徑l為5.9，4.7，2.2 m。說明溶洞跨徑越小，巖石完整性越好，對溶洞頂板的穩(wěn)定性越有利。

4 工程算例

某高速全線隱伏溶洞較發(fā)育，選取里程為K51+400-K52+200，全長800 m的一段路基段進(jìn)行分析[11]。根據(jù)地質(zhì)勘查資料，該地區(qū)無大的活動性斷裂通過，區(qū)域穩(wěn)定性較好，主要不良地質(zhì)現(xiàn)象為巖溶。此路段主要地層由上至下為：種植土、坡洪積低液限黏土、粉砂、微風(fēng)化灰?guī)r。經(jīng)物探方法勘查，本段揭示有巖溶。根據(jù)勘查、物探和公路設(shè)計資料，該路段寬度為34.5 m，在K51+603.6段，路基下存在一個溶洞，其垂直行車方向斷面寬4.0 m，高約3.7 m，估算長度為6.0 m。鉆探結(jié)果顯示頂板厚度為2.8 m，巖土體的參數(shù)及荷載取值見表2。

表2 巖土體參數(shù)及荷載取值

注：σt取σc的1/15。

因該地區(qū)無大的活動性斷裂通過，巖體較完整。根據(jù)《巖土工程勘察規(guī)范》GB 50021—2001[20]表3.2.2-1中對巖石堅(jiān)硬程度的分類，可知該地區(qū)巖性較堅(jiān)硬，故選用兩端固支梁模型分別進(jìn)行溶洞頂板抗彎和抗剪切穩(wěn)定性分析。

將溶洞頂板的跨徑分成10等分，由于算例中路基荷載為均布荷載，且溶洞中心與荷載中心重合，所以溶洞與路基荷載的水平距離m為路基荷載寬度的一半，取負(fù)值。利用式(7)進(jìn)行MATLAB編程可得路基荷載作用在溶洞頂板上的附加應(yīng)力p(x)，計算結(jié)果見表3。

表3 溶洞頂板不同跨徑處的附加應(yīng)力

對表3中的數(shù)據(jù)采用二次函數(shù)進(jìn)行擬合，得到p(x)的表達(dá)式為p(x)=-0.83x2+656.24。再根據(jù)式(10)可得，土體和頂板自重下的應(yīng)力值σcz=358 kPa，將兩者疊加可以得到作用在頂板上的總荷載集度Q(x)表達(dá)式為Q(x)=-0.83x2+1 014.24。

根據(jù)力法，可得最大彎矩Mmax=1.35×103kN·m。

再根據(jù)式(20)，可算得溶洞頂板的最大拉應(yīng)力σtmax=1.03×103kPa<σt=2.67 MPa，所以溶洞頂板的抗彎穩(wěn)定性滿足要求。

同理可得支座處的最大剪力Q(x)=2.03×103kN。再根據(jù)式(21)，可算得溶洞頂板的最大剪應(yīng)力τmax=0.73×103kPa。由于水平天然應(yīng)力σ無實(shí)測資料，令σ=0。將最大剪應(yīng)力τmax代入到式(23)中，得左邊=0.52×106<28.44×106=右邊，所以溶洞頂板的抗剪切穩(wěn)定性也滿足要求。

綜上所述，該溶洞頂板滿足穩(wěn)定性要求。目前，該工程已安全通車且運(yùn)行良好。

5 結(jié)論

(1) 本文根據(jù)Boussinesq解積分得到非均布路基荷載下作用在溶洞頂板上的附加應(yīng)力，并與土體和頂板的自重應(yīng)力相疊加，該方法綜合考慮了自重應(yīng)力場及荷載分布形式對溶洞穩(wěn)定性的影響，與現(xiàn)有模型相比，其更符合工程實(shí)際情況，且適用范圍更廣。

(2) 通過參數(shù)分析，探討了路基荷載的分布形式、溶洞與路基荷載相對位置、溶洞頂板厚度以及頂板跨徑對頂板穩(wěn)定性的影響規(guī)律，對非均布荷載作用下溶洞頂板的穩(wěn)定性評價具有一定的參考價值。

(3) 本文計算方法基于梁板理論，沒有考慮實(shí)際溶洞尺寸效應(yīng)的影響，對尺寸效應(yīng)的研究將是筆者今后研究的重點(diǎn)。

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