考慮溫度效應(yīng)的單井固結(jié)解析解

吳佳輝，鄭榮躍，劉干斌，陳 迪

(寧波大學(xué)巖土所，浙江 寧波 315211)

在我國(guó)東南沿海地區(qū)軟黏土分布廣泛，其天然含水率高、孔隙比大、壓縮性高。隨著軟基處理技術(shù)的發(fā)展，熱排水固結(jié)法作為新型的處理手段逐漸得到應(yīng)用，該方法以豎井固結(jié)理論為基礎(chǔ)，作用機(jī)理相對(duì)復(fù)雜，滲流力學(xué)、土力學(xué)、傳熱學(xué)在其中相互滲透、相互交叉。關(guān)于熱排水固結(jié)問(wèn)題的研究，國(guó)內(nèi)外學(xué)者從不同角度出發(fā)，已經(jīng)開(kāi)展了很多工作。

在土體的熱效應(yīng)研究方面，Habibagahi[1～2]通過(guò)溫控固結(jié)儀對(duì)土體的滲透系數(shù)和溫度之間的關(guān)系進(jìn)行了試驗(yàn)研究，開(kāi)展關(guān)于溫度對(duì)無(wú)機(jī)土孔隙比的影響，試驗(yàn)表明：溫度對(duì)無(wú)機(jī)土孔隙比沒(méi)有影響。吳潛瑞等[3]在現(xiàn)有理論基礎(chǔ)上推導(dǎo)了忽略內(nèi)熱源影響的一維熱固結(jié)理論解，得出結(jié)論：升溫將會(huì)加速地基的超靜孔壓消散速度，減小沉降幅度。

在土體熱固結(jié)研究方面，Hueckel等[4～5]對(duì)飽和黏性土的熱效應(yīng)問(wèn)題進(jìn)行了大量的試驗(yàn)研究，并推導(dǎo)了考慮溫度效應(yīng)的飽和土的熱彈塑性本構(gòu)方程即考慮溫度效應(yīng)的修正劍橋模型。Modaressi等[6]在傳統(tǒng)熱力學(xué)理論的基礎(chǔ)上，建立了考慮溫度影響的本構(gòu)方程，對(duì)比后發(fā)現(xiàn)適用性較好。

在豎井地基固結(jié)解析理論研究方面，謝康和等[7]對(duì)現(xiàn)有打穿軟黏土層的砂井固結(jié)理論進(jìn)行研究，建立了更為完善的更接近自由應(yīng)變條件的解析理論。陳國(guó)紅[8]考慮了涂抹區(qū)水平滲透系數(shù)沿徑向變化的情況，基于等應(yīng)變假設(shè)的條件，推導(dǎo)出固結(jié)控制方程，并得出固結(jié)解。尹鐵鋒等[9]在現(xiàn)有理想豎井地基固結(jié)理論的基礎(chǔ)上，進(jìn)行溫度修正得出固結(jié)解析解。黃朝煊等[10]在豎井地基徑向固結(jié)理論和等應(yīng)變假設(shè)的基礎(chǔ)上，考慮井阻非線性的影響，重新推導(dǎo)了豎井地基固結(jié)解析解。鄧岳保[11]在考慮Hansb非達(dá)西滲流定律的基礎(chǔ)上對(duì)固結(jié)過(guò)程中土體滲透系數(shù)的變化進(jìn)行研究，得到了雙重非線性滲流模型，并根據(jù)該模型推導(dǎo)出固結(jié)的有限元方程。

學(xué)者們研究了考慮達(dá)西滲流和非達(dá)西滲流兩種情況下的豎井地基固結(jié)理論。但是關(guān)于豎井地基熱排水固結(jié)理論同時(shí)考慮涂抹效應(yīng)的研究未見(jiàn)報(bào)導(dǎo)。為此本文主要在現(xiàn)有豎井固結(jié)理論的基礎(chǔ)上，考慮溫度對(duì)滲透系數(shù)的影響，學(xué)習(xí)謝康和[7]、鄧岳保[11]的研究思路和方法，得到溫度效應(yīng)影響下的豎井地基單面排水固結(jié)解析解，并在此基礎(chǔ)上通過(guò)數(shù)值計(jì)算分析不同溫度條件下豎井地基固結(jié)性狀的變化規(guī)律。

1 考慮溫度效應(yīng)單井固結(jié)一般解

1.1 計(jì)算模型

豎井地基熱排水固結(jié)物理模型見(jiàn)圖1。單井地基由豎井、涂抹區(qū)和未擾動(dòng)區(qū)土體三部分組成。土層厚度為H；豎井貫穿土體，打設(shè)深度為H；地基四周不排水、無(wú)側(cè)向變形；地基為頂面單面排水，底面為固定邊界。

圖1 豎井地基熱排水固結(jié)物理模型Fig.1 Physical model of axisymmetric consolidation of single well foundation

1.2 控制方程

基本假定：

(1)土體是完全均質(zhì)飽和的理想彈性材料；

(2)土層厚度不發(fā)生改變；

(3)等應(yīng)變條件成立，即地基土中側(cè)向變形受到約束，同一水平上的任一點(diǎn)垂直變形相等；

(4)土中水的滲流服從Darcy定律；

(5)土顆粒和孔隙水均不可壓縮，土體變形完全由孔隙水的排出引起；

(6)溫度變化不會(huì)導(dǎo)致飽和土中水、土物性參數(shù)的改變，僅考慮熱對(duì)土體滲透性的影響。

王媛等[12]通過(guò)對(duì)土樣在不同溫度條件下進(jìn)行滲透實(shí)驗(yàn)，根據(jù)其實(shí)驗(yàn)結(jié)果可推導(dǎo)出：

(1)

式中：T——某一溫度；

R——常溫(一般取20℃)；

kT、kR——溫度為T(mén)和R時(shí)的土體滲透系數(shù)；

ηR、ηT——土中水體在溫度達(dá)到R和T時(shí)的動(dòng)力黏滯系數(shù)。

溫度影響下動(dòng)力黏滯系數(shù)變化數(shù)學(xué)關(guān)系式為：

(2)

由式(1)、式(2)可得滲透系數(shù)與溫度的關(guān)系式：

kT=(aT+b)kR

(3)

基于以上基本假定，由謝康和等的固結(jié)解析理論[7]可得到考慮溫度效應(yīng)的徑向固結(jié)控制方程：

(4)

(5)

(6)

豎井區(qū)流量的連續(xù)方程為：

(7)

式中：εv——土體的體積應(yīng)變；

mv——土體體積壓縮系數(shù)；

ksT——溫度T時(shí)涂抹區(qū)土體滲透系數(shù)；

khT——溫度T時(shí)未擾動(dòng)區(qū)土體滲透系數(shù)；

ur——徑向超靜孔壓；

(8)

1.3 求解條件

邊界條件為：

②r=rw：ur=uw；

初始條件為：

其中，u0為初始孔壓，q0為初始荷載。

2 方程求解

根據(jù)假設(shè)，溫度隨深度是均勻分布的，結(jié)合式(3)得：

ksT=(aT+b)ks

(9)

khT=(aT+b)kh

(10)

對(duì)式(5)、(6)兩邊關(guān)于r積分，并利用求解條件①，可得：

(11)

(12)

式(11)、(12)兩邊對(duì)求積分，并利用求解條件②，得：

rw≤r≤rs

(13)

rs≤r≤re

(14)

把式(13)，(14)代入式(8)，積分得：

(15)

井徑比n=re/rw；s=rs/rw，S為涂抹區(qū)半徑與豎井半徑之比。

由式(11)可進(jìn)一步得到：

(16)

由式(4)，(7)和(16)聯(lián)立可得：

(17)

由式(4)、(15)可得：

(18)

把式(18)代入式(17)，得：

(19)

將式(19)關(guān)于Z求導(dǎo)，得：

(20)

式(20)對(duì)Z進(jìn)行求導(dǎo)：

(21)

式(19)對(duì)t求導(dǎo)，結(jié)合式(17)整理可得豎井中孔壓uw的控制方程：

(22)

采用分離變量法求解式(22)。假設(shè)：

uw(z,t)=Zw(z)D(t)

(23)

(24)

其中，Zw(z)，Z(z)是關(guān)于深度z的函數(shù)；D(t)是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)。

式(23)代入式(22)，可得：

(25)

即：

(26)

Dm′+Dmβm=0

(27)

式(26)的特征方程為：

(28)

將其簡(jiǎn)化為：

φx2+φ=0

微分方程(28)的通解為：

Zwm(z)=amsin(λmz)+bmcos(λmz)

(29)

式(27)的解為：

Tm(t)=Awme-βmt

(30)

將式(29)，(30)代入式(23)，可得：

(31)

將式(31)代入到式(19)，得：

(32)

式(31)可化簡(jiǎn)為：

(33)

式(33)代入式(25)，可得：

(34)

式中：Ch——地基土的徑向固結(jié)系數(shù)；

G——隨溫度變化的井阻因子。

疊加所有特解，可得：

(35)

(36)

(37)

(38)

式(37)、(38)代入到式(13)、(14)結(jié)合式(4)，可得到滿足基本方程及其求解條件的土體內(nèi)超靜孔壓表達(dá)式：

(39)

(40)

不同溫度下豎井地基任一深度的徑向固結(jié)度Ur為：

(41)

豎井地基徑向土層平均固結(jié)度U為：

(42)

式中：Th——徑向固結(jié)時(shí)間因數(shù)。

3 理論結(jié)果討論

3.1 參數(shù)取值

選取寧波軟黏土進(jìn)行算例分析，分析模型如圖1所示，所取參數(shù)如下：re=0.5 m，rs=0.15 m，rw=0.05 m，n=re/rw=10，s=rs/rw=3，a=0.029，b=0.428，kh=2.0×10-8m/s，kh/ks=4.0，kw=2.0×10-4m/s，H=20 m，mv=0.2 MPa-1，γw=10 kN/m3。

3.2 結(jié)果分析

相同井徑比，不同溫度條件下的土體徑向平均固結(jié)度隨時(shí)間變化情況，見(jiàn)圖2。

圖2 不同溫度下平均固結(jié)度對(duì)比曲線Fig.2 Curves of radial mean consolidation degree with different temperatures

由圖2a可知，溫度對(duì)徑向固結(jié)度的影響比較大，同一時(shí)間內(nèi)，溫度越高土體的固結(jié)速度越快，土體完成固結(jié)所需的時(shí)間也就越短。在固結(jié)初期，同一時(shí)間內(nèi)的土體固結(jié)度隨溫度的升高而增大，變化關(guān)系基本為線性關(guān)系；隨著時(shí)間的推移以及土體固結(jié)的發(fā)展，溫度對(duì)土體固結(jié)的作用開(kāi)始減弱，固結(jié)度隨溫度升高而增大的速度逐漸減小。固結(jié)度相應(yīng)于溫度的變化率，隨著時(shí)間的發(fā)展先增大再減小(圖2b)。在土體排水固結(jié)過(guò)程中，隨著時(shí)間的推移，溫度對(duì)土體固結(jié)的影響越來(lái)越明顯。不同溫度條件下，土體固結(jié)度達(dá)到30%所需的時(shí)間相差不多，但是當(dāng)固結(jié)度達(dá)到100%時(shí)，溫度對(duì)土體固結(jié)產(chǎn)生了較大的影響，30 ℃的土體固結(jié)時(shí)間比90 ℃時(shí)多12.5 d左右(圖2c)。分析固結(jié)度100%的曲線，對(duì)曲線上5個(gè)節(jié)點(diǎn)的縱坐標(biāo)值進(jìn)行對(duì)比，可知橫坐標(biāo)為45 ℃、60 ℃、75 ℃、90 ℃的點(diǎn)比30 ℃的點(diǎn)依次減少了21.8%、35.1%、44%、50%。結(jié)果表明，相同溫差條件下，溫度越高，土體固結(jié)度的影響效果越弱。

井徑比越小，土體固結(jié)所用的時(shí)間就越短。但是當(dāng)井徑比過(guò)小時(shí)，由于涂抹效應(yīng)的存在，反而會(huì)延緩豎井地基的固結(jié)(圖3)。

圖3 n變化對(duì)徑向平均固結(jié)度的影響Fig.3 Effect of n change on radial mean consolidation degree

在豎井施工過(guò)程中，周?chē)馏w會(huì)產(chǎn)生擾動(dòng)，形成涂抹區(qū)。為此本文考慮了涂抹效應(yīng)的影響，更符合實(shí)際情況，由圖4可知，當(dāng)不考慮涂抹作用，即kh/ks=1時(shí)，土體的固結(jié)速度最快，隨著kh/ks值的增大，固結(jié)速度減小，這是由于涂抹效應(yīng)造成涂抹區(qū)的滲透系數(shù)減小導(dǎo)致的。

圖4 不同kh/ks值對(duì)固結(jié)度的影響Fig.4 Effect of various values on the degree of consolidation

4 結(jié)論

(1)同一時(shí)間內(nèi)，溫度越高土體的滲透系數(shù)越大，固結(jié)速度越快；固結(jié)度較小時(shí)，溫度因素對(duì)固結(jié)時(shí)間的影響并不顯著。

(2) 在固結(jié)初期，同一時(shí)間內(nèi)的土體固結(jié)度隨溫度的升高而增大，變化關(guān)系基本為線性關(guān)系；隨著時(shí)間的推移以及土體固結(jié)的發(fā)展，溫度對(duì)土體固結(jié)的作用開(kāi)始減弱，固結(jié)度隨溫度升高而增大的速度逐漸減小。

(3) 在溫度條件相同的情況下，n值越小，土體固結(jié)越快，但當(dāng)n過(guò)小時(shí)，涂抹效應(yīng)導(dǎo)致涂抹區(qū)的滲透系數(shù)減小從而延緩?fù)馏w固結(jié)。

上述理論推導(dǎo)與分析，可應(yīng)用于工程實(shí)踐，考慮涂抹效應(yīng)，取最佳的固結(jié)溫度和井徑比可將固結(jié)效率最大化。

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