新工科理念下線性代數(shù)課程教學設計探索

謝加良，朱榮坤，賓紅華

(集美大學理學院，福建廈門 361021)

1 研究背景

“新工科”(Emerging Engineering Education，3E)是我國工程教育改革的方向。自2016年這一概念提出至今，在教育部組織下，多所綜合類高校及工科優(yōu)勢高校進行了深入研討，凝練成“復旦共識”[1]、“天大行動”[2]和“北京指南”[3]，提出人才培養(yǎng)的新方案，探索工程教育改革的新路徑。新工科的內(nèi)涵是：以立德樹人為引領，以應對變化、塑造未來為建設理念，以繼承與創(chuàng)新、交叉與融合、協(xié)調(diào)與共享為主要途徑，培養(yǎng)多元化、創(chuàng)新型的卓越工程人才[4]。這種新工科人才既具備運用既定知識解決現(xiàn)有問題的實操能力，又能夠持續(xù)學習、自我更新，跟進知識和技術的迭代，成為引領科技革新和產(chǎn)業(yè)發(fā)展的中堅。基于新工科人才的培養(yǎng)目標，“天大行動”對課堂教學提出新要求：一是問技術發(fā)展改內(nèi)容，更新工程人才知識體系。將產(chǎn)業(yè)和技術的最新發(fā)展、行業(yè)對人才培養(yǎng)的最新要求引入教學過程，更新教學內(nèi)容和課程體系，建成滿足行業(yè)發(fā)展需要的課程和教材資源；二是問學生志趣變方法，創(chuàng)新工程教育方式與手段。推進信息技術和教育教學深度融合，建設和推廣應用在線開放課程，充分利用虛擬仿真等技術創(chuàng)新工程實踐教學方式[2]。

作為高等院校理、工、經(jīng)、管等各專業(yè)的一門重要數(shù)學基礎課，線性代數(shù)是學習后續(xù)課程的前提和工具，對培養(yǎng)學生的抽象思維、邏輯推理、空間想象和計算等能力具有不可替代的作用。同時，隨著科學技術的跨越式發(fā)展，線性代數(shù)已滲透到經(jīng)濟、金融、信息、社會等各個領域。線性代數(shù)高度的抽象性和嚴密的符號體系都遠遠超出了學生的既有經(jīng)驗，因此有很多本科生覺得這門課難理解。在此背景下，就課時少、內(nèi)容多、較抽象的線性代數(shù)課程而言，如何通過改進和完善課堂教學設計，在引領學生夯實線性代數(shù)基礎知識的同時，培養(yǎng)其運用線性代數(shù)思維分析、解決實際問題的能力，切實提升線性代數(shù)課程教學效果，以適應新工科建設和發(fā)展的要求就顯得尤為重要。

2 設計原則

“新工科”對課堂教學要求的實質(zhì)與落腳點是變革傳統(tǒng)的教學模式即從僅以教師為中心的教學模式，向既能發(fā)揮教師主導作用又能充分體現(xiàn)學生主體地位的新型教學模式轉(zhuǎn)變，實現(xiàn)課堂的“去中心化”。基于此，在線性代數(shù)課堂教學設計中應把握兩個原則：一是讓學生的思維動起來，考慮如何通過教學設計實現(xiàn)“破冰”，使“高大上”的學術形態(tài)的數(shù)學轉(zhuǎn)化為“接地氣”的教育形態(tài)的數(shù)學，更好地使學生在人格、思維、智慧層次獲得全面提升；二是深入挖掘信息技術在課程推進中的最優(yōu)效用，不僅將信息技術作為教與學的簡單輔助工具，還須注重優(yōu)化運用教育技術的智能形態(tài)，將相關知識、方法和技能巧妙融入線性代數(shù)的教學設計中。

3 新工科理念下的線性代數(shù)課程教學設計

3.1 建立基礎課程與專業(yè)知識有機統(tǒng)一的教學模式

承擔線性代數(shù)等公共數(shù)學課程的教師在進行課程教學設計時，對不同專業(yè)學生需要何種相應的數(shù)學知識缺乏關注和思考，教學案例選取多為簡單的數(shù)學問題求解，偏重普遍性，缺乏針對性。此類教學內(nèi)容與學生的專業(yè)背景關聯(lián)度低，甚至脫節(jié)，導致學生很難學以致用，無法將課堂所學用以解決專業(yè)問題，進而造成學生學習目標不明確、學習動力不足等困境。

基于這些問題，筆者針對不同專業(yè)的學生，設計不同的教學案例，以解決相應專業(yè)性問題的訴求為導向來引入概念、推導定理，并將此類關鍵問題作為每節(jié)課的核心和線索，引導學生在探索專業(yè)性問題解決方案過程中逐步建構(gòu)線性代數(shù)知識體系，加深學生對課程內(nèi)容本質(zhì)的理解，在潛移默化間培養(yǎng)他們的問題意識，使其接受從事科研工作的基礎訓練。以計算機工程類、信息類的新工科專業(yè)為例，通過挖掘計算機中的線性代數(shù)知識以及線性代數(shù)在信息科技中的應用等內(nèi)容，針對不同的章節(jié)設計與此相關的教學內(nèi)容，如利用圖像變換問題設計矩陣運算教學，利用人臉識別問題設計向量組的線性組合與矩陣特征值、特征向量教學，利用機器學習問題設計二次型和正定矩陣的課程教學等。

例1 基于人臉識別問題的“向量組的線性組合”教學設計。

圍繞問題引入、探究新知、深入挖掘和總結(jié)拓展共四個要點展開教學，將問題教學法和探究教學法相結(jié)合，注重數(shù)學與計算機、信息類專業(yè)的學習背景的廣泛聯(lián)系，在抽象思維的講述中引入形象思維，講清動機和背景，使每個知識點都是自然引入。

(1)問題引入。通過電影《碟中碟IV》中同學們所熟悉的關于特工采用人臉識別眼鏡追捕目標的場景，提出問題：如何利用線性代數(shù)知識來解釋這個場景？

(2)探究新知。通過講解圖像處理的基礎知識，分析如何用矩陣來表示圖片，進而延伸至為了存儲和計算如何用向量來表示圖片，總結(jié)得出人臉識別問題其實就是一個向量組和另一個向量之間的關系。以此引出本節(jié)課學習的新內(nèi)容，重點講清基本定義和線性的含義，舉例加深對定義的理解，由此可以初步理解人臉識別問題。由定義和例子，解釋說明如何利用向量組的線性表示來說明人臉識別問題。

(3)深入挖掘。在人臉識別實際應用過程中，由于拍攝角度和人的情緒不同，每次拍攝的圖片都不一定相同?？梢砸源藢С鲂枰M一步深入挖掘考慮向量方程解的問題。

(4)總結(jié)拓展。以人臉識別的實際問題為主線，總結(jié)本節(jié)課所學的內(nèi)容，拓展在實際問題中需要進一步考慮的問題，引出下一節(jié)所學的內(nèi)容：向量組之間的線性表示。

3.2 推進信息技術與線性代數(shù)教學深度融合的教學設計

信息技術的發(fā)展帶來了許多新的教育技術工具，包括精品課程、微課、慕課(Mooc)、翻轉(zhuǎn)課堂等課程體系，以及學習通、課堂派、圖+微課等課堂輔助工具。研究表明，在教學中融入圖像、影視、聲音、動畫等多種媒體，大大刺激了學生的感官，使學生做到手、腦、眼、耳并用，充分喚起學生課堂學習的興趣，從而達到優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)、提高課堂效率、激發(fā)學生創(chuàng)造性思維的教學效果[5-6]。

3.2.1 發(fā)揮多媒體教學的最優(yōu)效用,提高課堂效率

線性代數(shù)的教學內(nèi)容主要有矩陣、行列式、向量組的線性相關、線性方程組解的結(jié)構(gòu)及求法、矩陣的特征值與特征向量、二次型等[7]。多媒體教學可運用于以下幾個教學設計環(huán)節(jié)以提升課堂效率：利用多媒體演示線性代數(shù)與幾何之間的關系；利用多媒體進行大型線性方程組運算；利用多媒體進行矩陣的運算和應用實例講解、例題分析、播放視頻和創(chuàng)新性習題等。

3.2.2 基于慕課、微課等平臺開展線上、線下交互式教學

隨著慕課等在線教育模式的興起，教師在課堂上可用的教學資源越來越豐富。由教育部高等學校大學數(shù)學課程教學指導委員會等單位組織的全國高校數(shù)學微課程教學設計競賽至今已成功舉辦三屆，積累了來自全國各地的公共數(shù)學課教師們珍貴的微課視頻，這些微課視頻均是將信息技術與教育教學內(nèi)容緊密融合、創(chuàng)新教學設計的優(yōu)秀成果。因此，在線性代數(shù)課程設計中，可以設計適當?shù)恼鹿?jié)，引導學生先在線上觀看相應的知識點微課視頻，做好隨堂筆記，完成在線作業(yè)，記錄問題疑惑；再在線下課堂梳理知識脈絡，講解重點、難點，詳解線上例題、作業(yè)，并進行適當拓展和延伸。

3.2.3 利用學習通、課堂派等最新的課堂教學管理工具優(yōu)化課堂質(zhì)量

這些工具大都具有教學備課、分組學習、課堂互動、考勤表現(xiàn)、班級公告、教學分析、課程管理、成績統(tǒng)計、隨堂測試、教學資料備份、分析處理教材、精品課程制作、優(yōu)秀作品發(fā)布等功能，可以根據(jù)實際情況與需求，在課堂適時利用其中的一些功能，如進行課堂小測等，及時了解學生的聽課情況，實現(xiàn)課堂質(zhì)量的同步把控和優(yōu)化。

當然，在知識傳授與反饋方面，傳統(tǒng)的板書教學也有其不可替代的優(yōu)勢。教師通過板書動態(tài)呈現(xiàn)知識點推導全過程，把數(shù)學思維的形成、發(fā)展“抽絲剝繭”、條分縷析地傳授給學生，可實現(xiàn)與學生的直接交流和同步互動，隨時根據(jù)學生反饋信息調(diào)整課程進度和講授方式，更有利于學生理解、掌握課程內(nèi)容，同時培養(yǎng)學生的抽象思維能力。因此，在線性代數(shù)的教學過程中，既要考慮信息技術和線性代數(shù)教學的深度融合，還應注重現(xiàn)代教學手段(電子課件、計算機軟件、多媒體、網(wǎng)絡)與傳統(tǒng)教學(黑板、粉筆)的優(yōu)化組合，全面提升課堂教學效果。

3.3 探索數(shù)學軟件與線性代數(shù)常規(guī)課程內(nèi)容緊密配合的教學設計

計算機技術的迭代式發(fā)展將人類社會帶入信息化時代，在這一背景下，各類性能優(yōu)越的應用性數(shù)學軟件也層出不窮，如Matlab、Mathematica、Maple等。這些軟件作為人的輔助和延伸運用于數(shù)學領域，一方面在運算速度上突破了筆算的限制，另一方面在操作難度上使原本繁瑣復雜的矩陣、行列式等的運算簡單易行。在線性代數(shù)課程教學中引入此類軟件，既可以將學生從這些計算中“解放”出來，又可通過對軟件運行本質(zhì)算法的展示和剖析，幫助學生理解信息技術應用過程中看似“不可知”的艱深原理。因此，可以結(jié)合課程內(nèi)容，介紹Matlab等數(shù)學軟件在代數(shù)計算中的用法，讓學生學會在應用線性代數(shù)知識解決實際問題時如何應用數(shù)學軟件，同時通過對一些具體問題的計算幫助學生對一些抽象的代數(shù)概念進行理解，加深對代數(shù)理論知識的認識。

具體落實在教學實踐中，可以考慮利用數(shù)學軟件進行教學設計的章節(jié)有行列式的計算、矩陣的運算、求逆矩陣、求矩陣的特征值和特征向量、解線性方程組等。

例2 求方陣逆矩陣的教學設計。

(1)從簡單的三階方陣入手，先通過兩種筆算方法進行求解：一是按照定義，先求伴隨矩陣，再求逆矩陣；二是利用初等變換法求逆矩陣。

(2)求四階以上方陣的逆矩陣。此時，學生可能會感覺繁瑣，可進一步介紹逆矩陣的Matlab數(shù)學軟件求法。

例3 求解線性方程組的教學設計。

(1)從簡單的三元線性方程組入手，先通過兩種筆算方法進行求解：一是用中學學習過的加減消元法求解；二是用初等變換求解線性方程組的方法。

(2)求解四元以上的線性方程組。此時，學生可能會遇到困難，可進一步介紹求解線性方程組的Matlab數(shù)學軟件求法。

4 分析與思考

隨著人工智能時代的到來和新工科建設的逐步推進，線性代數(shù)等數(shù)學類的基礎課程迎來廣闊的前景和重要的發(fā)展機遇，為其他學科深入學習提供必要的知識和應用能力儲備。在教學實踐過程中我們發(fā)現(xiàn)，線性代數(shù)知識與專業(yè)課知識有機統(tǒng)一、與信息技術深度融合、與數(shù)學計算軟件緊密配合的教學模式，既可以提高教學內(nèi)容的系統(tǒng)性、科學性、前瞻性和趣味性,又可加強即時互動，根據(jù)反饋同步進行課程調(diào)整,為學生提供最優(yōu)質(zhì)的學習資源，便于其隨時隨地根據(jù)自身知識結(jié)構(gòu)和訴求“定制”個性化學習方案，進行自主化學習，真正“形成以學習者為中心的工程教育模式”[1]。當然，在課堂教學設計中仍然有幾個問題需要我們著重考慮：一是要根據(jù)教學內(nèi)容的特點選擇相應的信息技術工具；二是根據(jù)不同專業(yè)、不同學生層次設計不同的應用實例和方案；三是在與專業(yè)知識和信息技術融合時，要以線性代數(shù)課程本身作為立足點，考慮適度性原則。

新工科建設是一項浩繁的系統(tǒng)化工程。在這一理念指導下，線性代數(shù)課堂教學改革尚有諸多問題亟待解決。改革的推進不可避免地會受到一系列條件的制約，如學校的硬件設施、教師的教學能力、師生對相關技術的掌握和應用水平等。在此背景下，新工科的教學策略如何實施、教學范式如何改革等問題，都需要教育工作者根據(jù)新工科的具體推進情況，進行持續(xù)性的深入思考與實踐。

[參考文獻]

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[2]教育部.“新工科”建設行動路線(“天大行動”)[J].高等工程教育研究,2017(2):24-25.

[3]教育部.教育部高等教育司關于開展新工科研究與實踐的通知[Z].教高司函[2017]6號.

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[5]吳華,魏佳.信息技術與大學數(shù)學課程整合的方式與理論探討[J].大學數(shù)學,2008(3):28-32.

[6]王強,方文波,張俊杰,等.教育信息化背景下高校線性代數(shù)課程教學內(nèi)容創(chuàng)新的探索與實踐[J].大學數(shù)學,2012(5):4-7.

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[8]周開發(fā),曾玉珍.新工科的核心能力與教學模式探索[J].重慶高教研究,2017(3):22-35.