基于費(fèi)用函數(shù)的測試性指標(biāo)優(yōu)化分配方法

王 賀，朱智平，王貴騰，王鴻睿，楊慶國

(湖南云箭集團(tuán)有限公司，湖南 長沙 410100)

0 引言

隨著電子技術(shù)的發(fā)展，制導(dǎo)航空炸彈體制越來越多，其彈上電子設(shè)備和技術(shù)也越來越復(fù)雜。為保證制導(dǎo)航空炸彈成功執(zhí)行任務(wù)，需要在投放前對(duì)其進(jìn)行充分的性能測試。良好的測試性，可以快速準(zhǔn)確地檢測、隔離故障，在載機(jī)投放前或掛機(jī)前就能發(fā)現(xiàn)、定位問題，可以大大減少載機(jī)因炸彈故障而帶彈返回和炸彈投放之后的任務(wù)失敗。因此，測試性作為制導(dǎo)航空炸彈的一項(xiàng)重要設(shè)計(jì)指標(biāo)，對(duì)制導(dǎo)航空炸彈的使用起著非常關(guān)鍵的作用[1-2]。

在進(jìn)行制導(dǎo)航空炸彈測試性設(shè)計(jì)時(shí)，首先要進(jìn)行測試性分配，將測試性指標(biāo)自上而下地分配給各組成單元。目前，常用的測試性分配方法有故障率分配法、加權(quán)分配法、綜合加權(quán)分配法、層次分析法、優(yōu)化分配法等[3]。故障率分配法中，故障率高的組成單元應(yīng)有較高的故障檢測率與隔離率，反之應(yīng)分配較低的故障檢測率與隔離率。加權(quán)分配法考慮系統(tǒng)測試性參數(shù)受眾多因素的影響，為每個(gè)影響因素設(shè)置權(quán)重，依據(jù)每個(gè)產(chǎn)品加權(quán)值占總加權(quán)值的比例求解分配值。綜合加權(quán)分配法在加權(quán)分配法的基礎(chǔ)上考慮了影響因素的重要程度，引入了影響因素加權(quán)值。層次分析法將所分析的問題按級(jí)分層，通過對(duì)層內(nèi)元素之間相互影響關(guān)系的分析，得出最佳決策[4-5]。優(yōu)化分配法以構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)為基礎(chǔ)，求其最大值或最小值，從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化分配[6-7]。

在給定系統(tǒng)測試性指標(biāo)而現(xiàn)有系統(tǒng)方案不滿足要求的情況下，測試性工程人員面臨做出對(duì)哪些組件進(jìn)行改進(jìn)的決定，從而使全部實(shí)現(xiàn)費(fèi)用最小。優(yōu)化分配法協(xié)調(diào)系統(tǒng)各組成單元之間費(fèi)用、體積、重量等因素，可以在總費(fèi)用最小這一目標(biāo)前提下，將測試性指標(biāo)分配給各組成單元。

采用總費(fèi)用最小作為優(yōu)化目標(biāo)，需建立總費(fèi)用與各組成單元測試性指標(biāo)之間的模型。但在很多情況下，這些模型在參數(shù)合理、準(zhǔn)確量化與精確求解方面并不容易實(shí)現(xiàn)[8-9]。針對(duì)該問題，提出了一種容易量化參數(shù)的費(fèi)用函數(shù)，并采用遺傳算法求解該問題，可以求得高精度的分配結(jié)果。

1 測試性分配模型

設(shè)系統(tǒng)由n個(gè)單元組成，系統(tǒng)要求的測試性指標(biāo)為Psr，在總費(fèi)用最低的情況下將該指標(biāo)分配給各組成單元，這一問題的數(shù)學(xué)模型為[10]：

(1)

(2)

Ps≥Psr

(3)

Pi,min≤Pi≤Pi,max

(4)

式(1)中，Pi為分配給組成單元i的測試性指標(biāo)(具體為故障檢測率或故障隔離率)；c(Pi)為組成單元i的費(fèi)用函數(shù)；C為系統(tǒng)總費(fèi)用。式(2)中，Ps為由各組成單元分配的測試性指標(biāo)計(jì)算得出的系統(tǒng)測試性指標(biāo)，λi為組成單元i的故障率。式(3)中，Psr為系統(tǒng)要求的測試性指標(biāo)。式(4)中，Pi,min為組成單元i當(dāng)前達(dá)到的最低測試性水平；Pi,max為組成單元i可以達(dá)到的最高測試性水平。

求解這一模型，首先需要獲取系統(tǒng)的參數(shù)，然后建立各組成單元測試性和費(fèi)用之間的函數(shù)關(guān)系，最后求解費(fèi)用函數(shù)。

2 費(fèi)用函數(shù)

2.1 費(fèi)用函數(shù)的基本要求

Dale 和Winter提出了費(fèi)和函數(shù)必須滿足的基本條件[11]：

(3)c(Pi)可微；

(6)c(Pi)為單調(diào)遞增函數(shù)。

2.2 費(fèi)用函數(shù)模型

根據(jù)費(fèi)用函數(shù)的基本要求，提出了一種費(fèi)用函數(shù)模型：

(5)

式中，fi為提高組成單元i的測試性水平的費(fèi)用系數(shù)，0

例如，取fi=0.8，Pi,max=0.99，Pi,min=0.5，c(Pi)隨Pi的變化曲線如圖1所示。

圖1 費(fèi)用函數(shù)曲線圖

由圖1可以看出，費(fèi)用函數(shù)模型有以下特點(diǎn)：

(1)費(fèi)用是關(guān)于組成單元的非線性單調(diào)遞增函數(shù)；

(2)達(dá)到高測試性水平所需的費(fèi)用很高，要達(dá)到最高測試性水平Pi,max，理論上所需費(fèi)用為無限大，在實(shí)際工程中則意味著費(fèi)用非常高；

(3)要求的測試性水平越高，費(fèi)用增長越大。例如，一個(gè)組成單元測試性水平從0.6增加到0.7要比從0.8增加到0.9更容易。

2.3 費(fèi)用系數(shù)

費(fèi)用系數(shù)為常量，用以表征相對(duì)于系統(tǒng)中其他組成單元，提高本組成單元所需費(fèi)用大小的程度。

例如，取Pi,max=0.99，Pi,min=0.5，fi分別取0.1，0.5，0.9，c(Pi)隨Pi的變化曲線如圖2所示。

圖2 不同費(fèi)用系數(shù)fi下費(fèi)用函數(shù)曲線圖

由圖2可以看出，費(fèi)用系數(shù)越大，曲線越陡，費(fèi)用變化越快速；反之，費(fèi)用變化越緩慢。

測試性優(yōu)化分配的影響因素很多，主要包括：體積、重量、設(shè)計(jì)成本、維修費(fèi)用、故障率等。其中，設(shè)計(jì)成本主要考慮嚴(yán)酷度水平、設(shè)計(jì)改進(jìn)措施的難易程度以及重要度；維修費(fèi)用主要考慮故障發(fā)生時(shí)檢測方法的難易程度和使用補(bǔ)償措施的難易程度。采用專家評(píng)分法評(píng)分，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如表1所示。

表1 影響因素評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

根據(jù)影響因素評(píng)分表得到影響因素評(píng)分向量：

Ai=[ai1,ai2,ai3,ai4,ai5,ai6,ai7,ai8]

(6)

式(6)中，Ai為組成單元i的測試性影響因素評(píng)分向量；ai1～ai8為組成單元i的表1中各影響因素評(píng)分值。

各個(gè)影響因素對(duì)不同的組成單元測試性的影響程度不同，需根據(jù)實(shí)際情況給定影響因素權(quán)值。采用專家評(píng)分法評(píng)分，將權(quán)重分為5個(gè)等級(jí)：很重要(10～9)、較重要(8～7)、一般重要(6～5)、較不重要(4～3)、很不重要(2～1)，并得到影響因素權(quán)重向量：

ωi=[ωi1,ωi2,ωi3,ωi4,ωi5,ωi6,ωi7,ωi8]

(7)

式(7)中，ωi為組成單元i的測試性影響因素權(quán)重向量；ωi1～ωi8為組成單元i的表1中各影響因素權(quán)重值。

完成影響因素和影響因素權(quán)重的評(píng)分后，進(jìn)行加權(quán)平均并歸一化，得出費(fèi)用系數(shù)。費(fèi)用系數(shù)計(jì)算公式如下：

(8)

2.4 可達(dá)到的最高測試性水平

可達(dá)到的最高測試性水平為常量，用以表征在現(xiàn)有理論和技術(shù)條件下，組成單元可以達(dá)到的測試性水平的極限值。最高測試性水平的理想值為1，但是，受技術(shù)或經(jīng)濟(jì)方面的限制，一般達(dá)不到。

例如，取fi=0.8，Pi,min=0.5，Pi,max分別取0.8，0.9，0.99，c(Pi)隨Pi的變化曲線如圖3所示。

圖3 不同Pi,max下費(fèi)用函數(shù)曲線圖

由圖3 可以看出，Pi,max越大，曲線越平， 費(fèi)用變化越緩慢；反之，費(fèi)用變化越快。

2.5 當(dāng)前達(dá)到的測試性水平

當(dāng)前達(dá)到的測試性水平為常量，用以表征組成單元已經(jīng)達(dá)到的測試性水平。所有組成單元當(dāng)前測試性水平的極限值為0。

例如，取fi=0.8，Pi,max=0.99，Pi,min分別取0.1，0.4，0.7，c(Pi)隨Pi的變化曲線如圖4所示。

圖4 不同Pi,min下費(fèi)用函數(shù)曲線圖

由圖4 可以看出，Pi,min越大，曲線越陡，費(fèi)用變化速度越快；反之，費(fèi)用變化越緩慢。

3 遺傳算法

遺傳算法(Genetic Algorithm, GA)是一種基于生物遺傳和進(jìn)化機(jī)制的適合于復(fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化的自適應(yīng)概率優(yōu)化技術(shù)。遺傳算法從任一種群出發(fā)，通過選擇、交叉、變異，產(chǎn)生一群更適合環(huán)境的個(gè)體，并經(jīng)過數(shù)代的繁衍進(jìn)化，最后收斂至一群最適應(yīng)環(huán)境的群體，從而求得問題的最優(yōu)解[12-13]。

遺傳算法的主要運(yùn)算過程如下。

(1)編碼：在進(jìn)行搜索之前將解空間的解數(shù)據(jù)表示成遺傳空間的基因型串結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)。對(duì)于多維、高精度要求的連續(xù)函數(shù)優(yōu)化模型，可以采用浮點(diǎn)數(shù)編碼方式。

(2)生成初始種群：初始種群規(guī)模的大小可以影響遺傳算法的搜索質(zhì)量和速度。大群體可以改進(jìn)遺傳算法的搜索質(zhì)量，防止成熟前收斂。但是，大群體會(huì)增加個(gè)體適應(yīng)性評(píng)價(jià)的計(jì)算量，從而降低算法收斂速度。隨機(jī)生成M個(gè)個(gè)體，構(gòu)成初始種群。M一般取值為20～200。

(3)適應(yīng)度評(píng)價(jià)：基本遺傳算法按照與個(gè)體適應(yīng)度成正比的概率來決定當(dāng)前群體中各個(gè)個(gè)體的生存機(jī)會(huì)，要求所有個(gè)體的適應(yīng)度為非負(fù)數(shù)。費(fèi)用函數(shù)可直接作為適應(yīng)性函數(shù)。

(4)選擇：選擇是在群體中選擇適應(yīng)性強(qiáng)的個(gè)體產(chǎn)生新的群體的過程。遺傳算法使用選擇算子來對(duì)群體中的個(gè)體進(jìn)行優(yōu)勝劣汰操作。選擇算子選用不當(dāng)，會(huì)造成進(jìn)化停滯或產(chǎn)生早熟現(xiàn)象。

(5)交叉：交叉是指對(duì)兩個(gè)相互配對(duì)的染色體按照某種方式交換部分基因，從而形成兩個(gè)新的個(gè)體。遺傳算法的收斂性主要取決于交叉算子的收斂性。交叉概率Pc一般取0.4～0.99。

(6)變異：變異是指將個(gè)體染色體編碼串中的某些基因座上的基因值用該基因座的其他等位基因來替換，從而形成新的個(gè)體。變異算子可以改善遺傳算法的局部搜索能力，維持群體的多樣性，防止早熟。變異概率Pm一般取0.001～0.1。

(7)終止條件判斷：最常用的終止條件是規(guī)定算法的終止進(jìn)化代數(shù)T，當(dāng)算法迭代次數(shù)達(dá)到T時(shí)，停止運(yùn)算，輸出進(jìn)化過程中所得到的具有最大適應(yīng)度的個(gè)體作為最優(yōu)解。T一般取100～500。

4 應(yīng)用示例

考慮由5個(gè)組成單元(U1～U5)構(gòu)成的系統(tǒng)，要求系統(tǒng)故障檢測率指標(biāo)Psr不低于90%。各組成單元故障率、可達(dá)到的最高測試性水平、當(dāng)前達(dá)到的測試性水平見表2，影響因素評(píng)分和影響因素權(quán)重評(píng)分分別見表3和表4。

表2 系統(tǒng)測試性數(shù)據(jù)

表3 影響因素評(píng)分

表4 影響因素權(quán)重評(píng)分

遺傳算法參數(shù)設(shè)置：初始種群大小M=80，交叉概率Pc=0.8，變異概率為Pm=0.01，進(jìn)化代數(shù)T=200。遺傳算法運(yùn)行結(jié)果見圖5。由圖可以看出，隨著逐代進(jìn)化，遺傳算法收斂，能夠優(yōu)化得到最小費(fèi)用。

圖5 遺傳算法運(yùn)行結(jié)果

計(jì)算分配結(jié)果見表5。在進(jìn)化到200代時(shí)，系統(tǒng)費(fèi)用最低，其解可作為測試性指標(biāo)的最終優(yōu)化分配結(jié)果。

表5 分配結(jié)果

5 結(jié)論

針對(duì)傳統(tǒng)測試性分配方法在解決系統(tǒng)測試性指標(biāo)優(yōu)化分配方面的不足，引入了費(fèi)用函數(shù)的優(yōu)化分配模型。采用非線性費(fèi)用函數(shù)，分析費(fèi)用函數(shù)中各參數(shù)對(duì)費(fèi)用的影響以及各參數(shù)的獲取方法。針對(duì)費(fèi)用函數(shù)最小化這一非線性規(guī)劃問題, 采用遺傳算法求解全局最優(yōu)解。結(jié)果表明遺傳算法能夠獲得合理的測試性分配值，費(fèi)用函數(shù)可以用于系統(tǒng)測試性指標(biāo)的優(yōu)化分配。

[1] 田仲，石君友. 系統(tǒng)測試性設(shè)計(jì)分析與驗(yàn)證[M]. 北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2003.

[2] 劉剛，黎放，胡斌. 基于相關(guān)性模型的艦船裝備測試性分析與建模[J]. 海軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，24(8)：46-51.

[3] 沈親沐. 裝備系統(tǒng)級(jí)測試性分配技術(shù)研究及應(yīng)用[D]. 長沙：國防科技大學(xué)，2007.

[4] 李金龍，陶鳳和，賈長治，等. 基于AHP 的測試性分配方法研究[J]. 中國測試，2010，36(2)：30-33.

[5] 湯文超，李文海，羅恬穎. 基于D-S證據(jù)理論的測試性分配方法研究[J]. 中國測試，2016，42(4)：111-114.

[6] RAJESH J K，GUPTA S K，RANGAIAH G P． Multi-objective optimization of industrial hydrogen plants [J]. Chemical Engineering Science，2001，56(3)：999-1010.

[7] FULYA A，MITSUO G，LIN L． A genetic algorithm approach for multi-objective optimization of supply chain networks [J]． Computers and Industrial Engineering，2006，51(1)：196-215.

[8] 冉紅亮，張琦，朱春生，等. 一種基于多目標(biāo)優(yōu)化的測試性分配方法[J]. 中國機(jī)械工程，2011，22(15)：1775-1778.

[9] 和麟，黃瀟瑤，馬存寶. 基于費(fèi)用函數(shù)的航電系統(tǒng)可靠性優(yōu)化分配方法[J]. 計(jì)算機(jī)與現(xiàn)代化，2012(10)：1-4.

[10] 邱靜. 裝備測試性建模與設(shè)計(jì)技術(shù)[M]. 北京：科學(xué)出版社，2012.

[11] 劉飛，張為華. 基于費(fèi)用函數(shù)的系統(tǒng)可靠性優(yōu)化分配方法[J]. 機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2005(11)：11-12.

[12] 張延生，黃考利，陳建輝. 基于遺傳算法的測試性優(yōu)化分配方法[J]. 測試技術(shù)學(xué)報(bào)，2011，25(2)：153-157.

[13] 劉剛，黎放，胡斌. 基于改進(jìn)遺傳算法的測試性優(yōu)化分配方法[J]. 火力與指揮控制，2014，39(1)：44-47，57.