中職數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)函數(shù)值域的幾種求法

王東

【摘要】函數(shù)值域的求法是中職數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生掌握一些常見(jiàn)的值域求解方法，他們反復(fù)練習(xí)、靈活掌握，就能對(duì)中職學(xué)生值域的求法起到清晰思路、簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程、避繁就簡(jiǎn)、事半功倍的作用，也對(duì)激發(fā)中職學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，提高中職學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)起到積極作用.

【關(guān)鍵詞】值域；單調(diào)性分離系數(shù)；換元；數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)興趣

我們知道，在函數(shù)的三要素中，定義域和值域起決定作用，而值域是由定義域和對(duì)應(yīng)法則共同確定.求函數(shù)的值域，不但要重視對(duì)應(yīng)法則的作用，而且還要特別重視定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用.確定函數(shù)的值域是中職數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)函數(shù)不可缺少的重要環(huán)節(jié)，是一個(gè)難點(diǎn).

對(duì)于如何求函數(shù)的值域，是中職學(xué)生感到十分難做的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它不但所涉及的知識(shí)面廣、涉獵的知識(shí)內(nèi)容多，而且應(yīng)用的方法靈活多樣.若在具體教學(xué)過(guò)程中，有意識(shí)的給學(xué)生歸結(jié)總結(jié)一些常見(jiàn)的求值域方法，讓他們反復(fù)練習(xí)、靈活掌握，就能對(duì)中職學(xué)生值域的求法起到清晰思路、簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程、避繁就簡(jiǎn)、事半功倍的作用.本文就函數(shù)值域求法歸納如下幾種常用方法，在課題上專題講給學(xué)生，使他們掌握收到了一定的效果：

一、觀察法

觀察法是對(duì)所研究的數(shù)學(xué)對(duì)象或待解的數(shù)學(xué)問(wèn)題，就其本身的結(jié)構(gòu)形式（數(shù)、式、形），通過(guò)視覺(jué)獲得信息，從而發(fā)現(xiàn)它們的性質(zhì)和關(guān)系的一種方法，是數(shù)學(xué)思維的基本方法.我們首先通過(guò)對(duì)函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域的方法叫觀察法.

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)我們大家已經(jīng)熟悉的算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性，即：（1）被開(kāi)方數(shù)的非負(fù)性，（2）整體值的非負(fù)性.求出變量x的取值范圍，通過(guò)直接觀察算術(shù)平方根的二重性質(zhì)而獲解，這種方法對(duì)于一類函數(shù)的值域的求法簡(jiǎn)捷明了，不失為一種巧法.

四、換元法

解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法.換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理.

換元法是對(duì)結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，量與量關(guān)系不十分明確的式子，通過(guò)恰當(dāng)?shù)囊胄碌淖兞?，以新變量代替函?shù)式中的某些量，使原函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的我們較為熟悉函數(shù)的形式，進(jìn)而求出原函數(shù)的值域.

點(diǎn)評(píng) 將一些無(wú)理函數(shù)通過(guò)換元，化為常見(jiàn)的一次、二次函數(shù)，再根據(jù)它們的單調(diào)性求出它們的值域，從而確定出原函數(shù)的值域.

值域的求法方法很多，中職學(xué)生掌握一些常用的方法，不但可以解決基本的數(shù)學(xué)求值域問(wèn)題，而且對(duì)自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高有很大幫助.通過(guò)這樣系統(tǒng)化歸、分類、轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)方法練習(xí)，讓學(xué)生感受對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)思想的妙處，提升數(shù)學(xué)興趣有很大的積極作用.