漸進一致φ-偽壓縮型映象不動點的迭代逼近

隆建軍

1 引言及預備知識

近些年，Mann迭代序列和Ishikawa迭代序列的迭代逼近已被許多學者研究[1-6]，利用其解決了許多類非線性算子方程解的問題.本文在賦范空間中分析了漸進一致φ-壓縮型映象的Ishikawa及Mann迭代序列的收斂性及強收斂于漸進一致φ-壓縮型映象不動點的條件.本文結果推廣了現(xiàn)有文獻[1,7,8,9,10,11]中的結果.

設X是一個實賦范線性空間，X*是X的對偶空間，<●，●>表示X*與X間的廣義對偶對，映象J:X→2X*是由下式定義的正規(guī)對偶映象：

定義1設D是X的一個非空子集，T:D→D是一個映象，φ：[0,+∞）→[0,+∞）是一嚴格增加的函數，滿足 φ（0）=0.

（4）T稱為漸進一致φ-偽壓縮：

定義2設D是X的一個非空子集，T：D→D稱為一致L-Lipschitz映象：

引理 1［12］設 X 是一個實賦范空間,是正規(guī)對偶映象，則有

2 主要結論及其證明

定理1設D是賦范空間X的一個非空凸子集，T:D→D是漸進一致φ-偽壓縮的一致L-Lipschitz映象，則

(1)若q∈D是T的任一不動點，則q=x*，從而T至多只有一個不動點；

(2)若T(D)是X中的有界集，且Аx0∈D，Ishikawa迭代序列｛xn｝定義如下：

其中｛αn｝，｛βn｝是[0,1]中的實數列，｛mn｝，｛kn｝是任意兩個正整數列，且滿足以下條件：

則｛xn｝強收斂于T的不動點x*，特別地，若q∈D是T的不動點，則

又由j是正規(guī)對偶映象，所以=‖q-x*‖2，故

即 φ（‖q-x*‖）＜（rn-1）‖q-x*‖2,n＞1

令n→∞，則有φ（‖q-x*‖）＜0，再由φ的性質即得q=x*.

由于T（D）是X中的有界集，我們定義

下證

事實上當n＝0時，有

設當n＝k-1,k＞1時，結論成立，則當n＝k時，有

故由歸納法原理知，(2.2)式對一切n＞0都成立.

另外，由引理1、(2.1)、(2.2)及是一致L-Lipschitz映象可得，

由(2.2)知｛xn｝有界，再由 T（D）有界及條件(Ⅱ)可得

將(2.4)代入(2.3)中可得

即有

由 αn→0，rmn→0（n→0）知，∈N+當 n＞n0時，1-2αnrmn＞0，于是當 n＞n0時，有

其中 σn=2αn（rmn-1）M2+2dn→0（n→∞）.

設 δ=inf｛‖xn+1-x*‖：n＞0｝，則 δ＞0，下證 δ=0

假設δ＞0，則‖xn+1-x*‖＞δ，Аn＞0，從φ的嚴格增加性質可得

于是由(2.5)式，有

又由 σn→0（n→∞），所以 n＞n0，使得 σn＜φ（δ），n＞N，于是從(2.6)，可得

即 αnφ（δ）＜‖xn-x*‖2-‖xn+1-x*‖2，＞N.對此式求和得

此與(Ⅲ)相矛盾，故必有 δ=0，即 δ=inf｛‖xn+1-x*‖：n＞0｝=0.因此

事實上，由(2.7)知i=1時，結論成立，對于i=2時，假設‖xnj+2-x*‖＞ε，則由φ的嚴格增加性可得‖xnj+2-x*‖＞φ（ε）＞0，從而由(2.5)和(2.7)有

此與假設‖xnj+1-x*‖＞ε相矛盾，故必有‖xnj+2-x*‖＜ε，由數學歸納法，可證得(2.8)式對一切i＞0成立，由ε＞0的任意性，有至此定理得證.

定理2設D是賦范空間X的一個非空凸子集，T:D→D是漸進一致φ-偽壓縮的一致L-Lipschitz映象，則

(1)若q∈D是T的任一不動點，則q=x*，從而T至多只有一個不動點；

(2)若T（D）是X中的有界集，且Аx0∈D,Mann迭代序列｛xn｝定義如下：

其中｛αn｝是[0，1]中的實數列，｛mn｝是任意正整數序列，且滿足以下條件：

則｛xn｝強收斂于T的不動點x*，特別地，若q∈D是T的不動點，則

證明：在定理1中，令 βn=0（n＞0），即得定理2.

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