一種特殊的非均勻水聲陣列稀疏重構(gòu)方法

嚴(yán)雨霞，王 彪

(1.江蘇科技大學(xué) 電子信息學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003；2.水聲對(duì)抗技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100094)

0 引 言

波達(dá)方向[1]（Direction Of Arrival，DOA）估計(jì)被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，如無(wú)線電通信、雷達(dá)、聲吶超分辨、導(dǎo)航、地震探測(cè)和醫(yī)學(xué)等。而水下目標(biāo)DOA估計(jì)[2]也有著極其重要的作用，如軍事偵察中通過(guò)被動(dòng)聲吶系統(tǒng)，利用跟蹤目標(biāo)的波達(dá)方向，捕獲諸如艦船和潛艇的輻射噪聲信息，從而獲得目標(biāo)信息。

目前，空間譜估計(jì)算法的研究大多數(shù)基于均勻線性陣列上進(jìn)行。最早提出的DOA估計(jì)算法是基于陣列的，即常規(guī)波束形成（Conventional Beamforming，CBF）法[3]，但其方位估計(jì)精度較低，且在一個(gè)波束寬度內(nèi)無(wú)法分辨不同的空間信號(hào)。子空間分解類算法中最具代表性的是多重信號(hào)分類（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法[4, 5]，由于陣列接收數(shù)據(jù)的信號(hào)子空間與噪聲子空間相互正交，從而能構(gòu)造空間譜函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了超分辨DOA估計(jì)。但是這類算法要實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)，需要利用空間平滑等方法，嚴(yán)重地?fù)p失了陣列孔徑，算法的估計(jì)精度極大地降低，持續(xù)采樣耗時(shí)也較長(zhǎng)。子空間擬合算法較典型的是極大似然[6-7]（Maximum Likelihood，ML）算法，這種算法不會(huì)損失陣列孔徑，由于這類算法本質(zhì)上是尋找非線性函數(shù)最優(yōu)解的過(guò)程，因而需要進(jìn)行多維搜索，導(dǎo)致巨大的運(yùn)算量及較長(zhǎng)的估計(jì)時(shí)間。

在上述傳統(tǒng)的基于均勻線陣的DOA估計(jì)方法中，要達(dá)到擴(kuò)展陣列孔徑、提高算法的空間測(cè)角分辨力的目的，只能增加陣元數(shù)，但是這會(huì)導(dǎo)致工程成本的急劇增加。此外，在實(shí)際環(huán)境中要實(shí)現(xiàn)每個(gè)相鄰陣元之間的間隔完全相等，具有一定的難度。而非均勻線陣[8–9]（Non-uniform Linear Array，NLA）能充分?jǐn)U展陣列孔徑，但其并不增加陣元數(shù)。在進(jìn)行水聲傳感器排布時(shí)，它的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)使得排布方式具有很大的靈活性。因此研究非均勻水聲陣列及其處理方法具有極大的實(shí)際意義。

壓縮感知[10-12]（Compressive Sensing，CS）理論是信息論和信號(hào)處理領(lǐng)域的一項(xiàng)新興技術(shù)。與傳統(tǒng)奈圭斯特采樣定理相比較，它的優(yōu)點(diǎn)在于只要信號(hào)是可壓縮的或在某個(gè)變換域是稀疏的，那么就可以用一個(gè)與變換基不相關(guān)的觀測(cè)矩陣將變換所得高維信號(hào)投影到一個(gè)低維空間上。再通過(guò)求解一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，然后以高概率從這些少量的投影中重構(gòu)出原始信號(hào)。這種方法的主要優(yōu)勢(shì)在于陣元分布形式、接收信號(hào)的相干性都不會(huì)對(duì)DOA估計(jì)性能造成影響，而且其有比較低的快拍數(shù)要求，從而較好地重構(gòu)信號(hào)。

現(xiàn)階段，壓縮感知DOA估計(jì)的研究大都以均勻線陣為基礎(chǔ)進(jìn)行。最早將稀疏性的思想與陣列DOA估計(jì)相結(jié)合的是Malioutov等[13]，所提出的陣列模型是陣元數(shù)目一定、陣元間隔相等的一個(gè)均勻線陣，然后通過(guò)對(duì)空間角度的離散化建立稀疏重構(gòu)模型；A.R.Kulaib等[14]提出均勻圓陣DOA估計(jì)的方法，將圓陣轉(zhuǎn)換為虛擬均勻線陣，由此得到的虛擬線陣進(jìn)行壓縮感知DOA估計(jì)的方法與普通的均勻線陣一樣，但是這種方法計(jì)算量明顯增加；此后又有學(xué)者提出利用方型陣來(lái)實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)，但是方型陣結(jié)構(gòu)復(fù)雜，需要硬件資源較多；Jian-Feng Gu等[15]提出由2個(gè)均勻線陣組成的L型陣列進(jìn)行二維DOA估計(jì)，其具有較高的估計(jì)精度，但計(jì)算復(fù)雜度較大。為了解決陣元數(shù)對(duì)陣列孔徑的限制這一問(wèn)題，眾多學(xué)者又提出了非均勻線陣的壓縮感知DOA估計(jì)方法。Piya pal等[16]提出一種基于累積量的非均勻線陣波達(dá)方向估計(jì)方法，但其計(jì)算量較大；文獻(xiàn)[17]提出一種快速求根的MUSIC方法，根據(jù)小角度范圍內(nèi)的導(dǎo)向矢量有著可以利用低階多項(xiàng)式很好近似的特性，該方法將非均勻線陣DOA估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為組低階實(shí)多項(xiàng)式求根問(wèn)題。雖然在工程應(yīng)用中適用，但還是存在高計(jì)算量的問(wèn)題。

為了提高DOA測(cè)向精度，均勻陣列需要增加陣元數(shù)目，從而擴(kuò)大陣列孔徑，但其增加了工程成本；傳統(tǒng)非均勻陣列DOA估計(jì)則存在高計(jì)算量的問(wèn)題。針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出了一種特殊的非均勻水聲陣列稀疏重構(gòu)方法，通過(guò)改進(jìn)非均勻陣列的形成方式，以2個(gè)均勻線性子陣組成一個(gè)非均勻線陣，再利用壓縮感知稀疏重構(gòu)的方法進(jìn)行方向波達(dá)角估計(jì)。在相同條件下，該方法可以利用更少的陣元識(shí)別更多的目標(biāo)；在低先驗(yàn)知識(shí)、低信噪比條件下，能夠提高水聲陣列的測(cè)向精度。

1 陣列信號(hào)模型

圖1是2個(gè)位于同一水平線上的均勻子線陣，這2個(gè)子線陣互相穿插形成一個(gè)非均勻線陣[18–20]，如圖2所示。其中子陣1的陣元個(gè)數(shù)為N，陣元間距為Md0，這N個(gè)陣元的位置集合為；子陣2的陣元個(gè)數(shù)為2M–1，陣元間距為Nd0，這2M–1個(gè)陣元的位置集合為。因?yàn)檫@2個(gè)陣列在0位置共用一個(gè)陣元，所以得到的非均勻線陣為2M+N–1個(gè)陣元。M和N是滿足互質(zhì)關(guān)系的2個(gè)整數(shù)，且M＜N。單位間隔d0為入射信號(hào)的半波長(zhǎng)。

圖1 均勻線性子陣列Fig.1 Uniform linear sub-array

圖2 非均勻線陣Fig.2 Non-uniform linear array

假設(shè)有K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)，分別以方位角入射到非均勻陣列，且滿足t時(shí)刻陣列接收的信號(hào)可以表示為

2 稀疏重構(gòu)模型

由壓縮感知理論和式（1）可得，稀疏表示的水聲目標(biāo)DOA估計(jì)問(wèn)題可以表示為：

式中：Φ為M×N的高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣；為陣列的稀疏表示。從式（2）可以看出，陣列輸出是一個(gè)M×1矢量，由于M＜N，所以比傳統(tǒng)陣列輸出的值要小的多，從而減少了陣列輸出的數(shù)據(jù)量。這也就降低了對(duì)陣列硬件的要求和減小了數(shù)據(jù)處理的計(jì)算量。

為了保證估計(jì)的精度，需要多次采樣快拍，那么式（2）可以重寫(xiě)為

3 特殊的非均勻水聲陣列稀疏重構(gòu)方法

3.1 特殊的非均勻陣列分析

根據(jù)以上信號(hào)模型及假設(shè)條件，非均勻線陣的陣元間距可以大于信號(hào)半波長(zhǎng)，但當(dāng)陣元位置設(shè)置不良時(shí)將會(huì)導(dǎo)致柵瓣效應(yīng)，使DOA估計(jì)出現(xiàn)模糊。本文的非均勻陣列在進(jìn)行水聲信號(hào)DOA估計(jì)時(shí)，對(duì)水下空域目標(biāo)信號(hào)采樣，把陣列的輸出信號(hào)轉(zhuǎn)換成虛擬陣列接收矢量，選擇無(wú)冗余的虛擬接收信號(hào)。

其中：p，q由虛擬陣元位置信息經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算后得到。

根據(jù)實(shí)際應(yīng)用，對(duì)yr進(jìn)一步改進(jìn)，得

3.2 特殊的非均勻陣列稀疏重構(gòu)方法

將式（6）進(jìn)行矢量化得

其中，b表示水聲信號(hào)空域稀疏向量。

本文以壓縮感知理論為基礎(chǔ)，提出用稀疏重構(gòu)的方法求解式（7）。式（7）轉(zhuǎn)換為約束最小值問(wèn)題：

其中，ε為特殊規(guī)定的邊界值。定義則式（8）變換為

根據(jù)入射信號(hào)源具有的空域稀疏特性，本文按如下方法構(gòu)造B：將信號(hào)入射空域進(jìn)行離散采樣，可將整個(gè)水下觀測(cè)空域離散為Q個(gè)角度，如式（10）所示：

求解式（9）屬于凸優(yōu)化問(wèn)題，可以利用CVX工具箱解決。CVX可以使上述規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊的形式，使得上述復(fù)雜的規(guī)劃問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，從而可以利用凸優(yōu)化工具箱有效解決問(wèn)題。

根據(jù)重構(gòu)得到的信號(hào)矩陣b中，不為0元素所在向量的位置與水域空間方位角度的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以估計(jì)出每個(gè)信號(hào)的角度。

4 仿真結(jié)果與分析

在上述理論基礎(chǔ)上，信號(hào)為遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)時(shí)，利用Matlab仿真。

仿真1：設(shè)2個(gè)均勻子陣線陣1、線陣2的陣元數(shù)分別為3，5，則非均勻陣列的陣元位置集合為S=仿真得到實(shí)際陣列位置矢量v如圖3所示，從而得到虛擬陣元位置集合。

圖3 實(shí)際陣列位置矢量信息Fig.3 Vector information of actual array position

仿真2：設(shè)2個(gè)均勻子陣的陣元數(shù)分別為3和4，陣元總數(shù)為9，單位間隔d0為入射信號(hào)波長(zhǎng)的一半。水下空域2個(gè)非相干窄帶信號(hào)分別以和方向入射，信噪比為3 dB，快拍數(shù)N=1 000，圖4給出了本文算法的歸一化空間譜圖。從圖4可以看出：利用水聲信號(hào)源的空域稀疏性，得到稀疏解中大系數(shù)對(duì)應(yīng)的角度即為水聲信號(hào)源的波達(dá)方向角。

圖4 本文方法實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)Fig.4 Proposed method for DOA estimation

仿真3：為了方便分析Capons算法、平滑MUSIC算法以及本文算法的綜合性能，分別改變陣元數(shù)、信噪比、陣元最小間距，對(duì)3種方法進(jìn)行性能比較，結(jié)果如圖5所示。

圖5 不同參數(shù)條件下各種方法實(shí)現(xiàn)信號(hào)DOA估計(jì)比較結(jié)果Fig.5 The DOA estimation results of different method with different parameters

圖5（a）將本文方法與傳統(tǒng)的Capons算法和平滑MUSIC方法在條件下進(jìn)行估計(jì)性能比較，從仿真結(jié)果可以直觀看出，傳統(tǒng)的Capons算法估計(jì)誤差比較大，平滑MUSIC算法和本文算法均能有效估計(jì)出目標(biāo)角度，并且本文所提方法的DOA估計(jì)分辨能力更為精確；圖5（b）只是改變信噪比參數(shù)條件，從圖中可以看出，Capons算法不能有效地估計(jì)出目標(biāo)角度，平滑MUSIC算法估計(jì)性能下降，本文算法仍能有效估計(jì)出目標(biāo)角度，所以本文所提方法相對(duì)于其他傳統(tǒng)方法更適用于低信噪比的應(yīng)用場(chǎng)合。圖5（c）只是改變最小陣元間距參數(shù)條件，從圖中可以看出，最小陣元間距變小時(shí)，Ca-pons算法完全失效，平滑MUSIC算法和本文所提的方法能精確估計(jì)出目標(biāo)角度，但本文方法估計(jì)得更為精確；圖5（d）增加了陣元數(shù)，并且在低信噪比條件下，可以看出傳統(tǒng)的方法均不能估計(jì)出目標(biāo)角度，而陣元數(shù)目的改變對(duì)本文算法性能沒(méi)有太大影響。

仿真4：在最小陣元間距、信噪比一定時(shí)，仿真了陣元數(shù)量相同的情況下本文算法和平滑MUSIC方法可以估計(jì)的最多信源數(shù)，如圖6所示。從圖中可以看出隨著陣元數(shù)量的增加，相對(duì)于平滑MUSIC算法，本文算法可以估計(jì)的最多信源數(shù)更可觀。

圖6 可估計(jì)的最多信源數(shù)比較Fig.6 The estimated maximum number of source comparison

仿真5：由2個(gè)陣元數(shù)分別為3，5的均勻線性子陣組成的非均勻陣列，單位間隔d0為入射信號(hào)波長(zhǎng)的一半，快拍數(shù)N=500，圖7為在不同信噪比時(shí)的目標(biāo)角度均方根誤差。從圖中可以看出，低信噪比時(shí)，平滑MUSIC方法誤差較大，本文算法誤差較小，隨著信噪比的提高，2種算法的估計(jì)誤差均趨于平緩，但本文算法的估計(jì)誤差一直低于平滑MUSIC算法。另外，平滑MUSIC算法的目標(biāo)角度均方根誤差隨著信噪比的變化起伏較大，而本文提出的方法變化則比較平緩。

圖7 兩種估計(jì)方法均方根誤差比較Fig.7 The RMSE comparison of the two estimation methods

5 結(jié) 語(yǔ)

本文在傳統(tǒng)非均勻陣列研究基礎(chǔ)上，提出了一種水下空域環(huán)境中特殊的非均勻陣列DOA估計(jì)方法。該方法以2個(gè)均勻線陣形成接收陣列，且這2個(gè)子陣陣元數(shù)滿足互質(zhì)關(guān)系。對(duì)接收的水聲信號(hào)進(jìn)行分析處理，利用虛擬陣列接收的水聲信號(hào)進(jìn)行DOA估計(jì)。仿真結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的Capons算法和平滑MUSIC算法相比，該算法具有估計(jì)精度高、抗噪能力強(qiáng)的特點(diǎn)，且對(duì)陣列尺寸要求低，在陣元數(shù)目相同的情況下，該算法能測(cè)量更多的信號(hào)源，能夠降低估計(jì)的誤差，緩解了傳統(tǒng)方法在實(shí)際應(yīng)用中所出現(xiàn)的精度低或失效的問(wèn)題，為水下定位技術(shù)問(wèn)題提供了一種參考。

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