基于Gompertz模型的相滲關(guān)系表征研究

劉西雷，王玉環(huán)，王可君，陳明銘，吳光煥

（中國(guó)石化勝利油田分公司勘探開發(fā)研究院，山東東營(yíng) 257015）

相對(duì)滲透率曲線是研究油層多相滲流的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)之一，其應(yīng)用十分廣泛[1-7]。相滲關(guān)系表征主要描述油層各相流體相對(duì)滲透率與流體飽和度之間的關(guān)系[1-3]，是油水滲流規(guī)律研究工作中的一個(gè)重要內(nèi)容，尤其是在油藏工程、水驅(qū)油理論以及油藏?cái)?shù)值模擬計(jì)算等領(lǐng)域應(yīng)用十分廣泛[1-10]。目前，對(duì)于油水兩相儲(chǔ)層而言，其相滲關(guān)系表征主要是通過(guò)巖心樣品的室內(nèi)油水相對(duì)滲透率實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到，認(rèn)為油水相對(duì)滲透率之比與含水飽和度指數(shù)式呈線性關(guān)系[1-11]。但是，由于擬合模型的精度所限，以往的擬合方法在特低含水飽和度和特高含水飽和度時(shí)期相滲關(guān)系表征誤差較大，因而造成在這兩個(gè)階段油藏工程計(jì)算分析、數(shù)值模擬歷史擬合等方面出現(xiàn)較大誤差等問(wèn)題[11-16]。本文通過(guò)重新分析大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，以水濕巖石油水兩相滲流為例，提出了一種新的油水相滲與含水飽和度之間的函數(shù)表征關(guān)系，以期解決上述問(wèn)題，提高油藏工程計(jì)算和數(shù)值模擬的預(yù)測(cè)精度。

1 傳統(tǒng)油水相滲與含水飽和度關(guān)系

傳統(tǒng)油層物理學(xué)認(rèn)為，在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中，油水相對(duì)滲透率比值 kkrwro與含水飽和度 wS關(guān)系曲線如圖1所示，曲線中間主體段是直線，由于這一直線段正好是礦場(chǎng)實(shí)際中常用的范圍，于是認(rèn)為該直線段可以表示為：

式中：rok 為原油相對(duì)滲透率；rwk 為地層水相對(duì)滲透率； wS為含水飽和度；m，n為常數(shù)，由直線段的截距、斜率求出。

圖1 傳統(tǒng)相對(duì)滲透率之比與含水飽和度關(guān)系

這一直線關(guān)系在油田中-高含水階段具有很好的適應(yīng)性，但是當(dāng)含水飽和度處于特低值和特高值時(shí)，實(shí)際的油水相滲比與含水飽和度的半對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)系已明顯偏離直線，呈現(xiàn)出非線性關(guān)系特征，傳統(tǒng)的擬合計(jì)算公式已不再適用。

為了準(zhǔn)確描述這種非線性關(guān)系，需要建立油水相滲與含水飽和度新的函數(shù)表征關(guān)系式，使其更符合特低含水飽和度和特高含水飽和度時(shí)油藏實(shí)際生產(chǎn)狀況[7]。

2 基于Gompertz模型的相滲關(guān)系表征

2.1 Gompertz模型

Gompertz模型是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家和數(shù)學(xué)家Gompertz于1973年提出的一種S形生長(zhǎng)曲線模型。它適用性廣、覆蓋性強(qiáng)，在生物學(xué)、生態(tài)學(xué)、人口學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和工程學(xué)等方面應(yīng)用廣泛[17-18]。其兩參數(shù)Gompertz函數(shù)為：

式中：y為兩參數(shù)Gompertz函數(shù)；x為自變量；a，b為待定常數(shù)，a大于0。

該函數(shù)具有以下特征：當(dāng)x趨向于負(fù)無(wú)窮時(shí)，y亦趨向于0，當(dāng)x趨向于正無(wú)窮時(shí)，y則趨向于1，即：

同時(shí)，對(duì)式（2）兩邊取自然對(duì)數(shù)，可得：

由式（6）可以看出，兩參數(shù)Gompertz函數(shù)y的雙自然對(duì)數(shù)形式 - l n(- l n y )與x之間具有線性關(guān)系。

2.2 改進(jìn)的相滲關(guān)系表征方法

對(duì)巖心樣品相滲實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析時(shí)，為了避免不同區(qū)塊束縛水飽和度和殘余油飽和度數(shù)值不同的影響，需對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中的含水飽和度 Sw和含油飽和度Sο進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理[19-20]，即：

式中： S w c為束縛水飽和度； S or為殘余油飽和度；Swn為標(biāo)準(zhǔn)化后的含水飽和度；Son為標(biāo)準(zhǔn)化后的含油飽和度。

通過(guò)對(duì)大量的巖心樣品相滲實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析，發(fā)現(xiàn)將兩參數(shù)Gompertz函數(shù)中x替換為原油相對(duì)滲透率與地層水相對(duì)滲透率的比值的自然對(duì)數(shù)ln(krokrw)，y替換為標(biāo)準(zhǔn)化后的含油飽和度 Son，其雙重自然對(duì)數(shù)形式 - ln(-ln S on)與ln(krokrw)之間存在明顯的線性關(guān)系（圖 2）。以此為基礎(chǔ)，基于Gompertz模型提出了新的相滲關(guān)系表征函數(shù)，其表達(dá)式為：

該相滲關(guān)系表征函數(shù)具有以下特點(diǎn)：當(dāng) krokrw趨向于0時(shí)， ln (krokrw)趨向于負(fù)無(wú)窮， Son亦趨向于0；當(dāng)kro/krw趨向于正無(wú)窮時(shí)， ln (krokrw)趨向于正無(wú)窮， Son則趨向于1，即：

式（10）和式（11）符合相滲關(guān)系表征函數(shù)的極限條件，可通過(guò)該模型對(duì)相滲關(guān)系進(jìn)行表征。

圖2 基于Gompertz模型的含水飽和度與相對(duì)滲透率之比的關(guān)系

由圖2可見，不同區(qū)塊的水、油相對(duì)滲透率比值的自然對(duì)數(shù) ln (krokrw)與標(biāo)準(zhǔn)化后的含水飽和度Son的雙重自然對(duì)數(shù)表達(dá)式 - l n(- l n S on )具有良好的線性關(guān)系。

對(duì)于孤島油田中二中Ng3油層：

對(duì)于樂(lè)安油田草109塊Es3油層：

對(duì)于孤東油田九區(qū)Ng5油層：

其相關(guān)系數(shù)R2為均大于0.990 0，相關(guān)性良好，說(shuō)明了兩參數(shù)Gompertz函數(shù)能較好地表征相對(duì)滲透率與含水飽和度之間的關(guān)系。通過(guò)改進(jìn)的基于Gompertz模型的相滲關(guān)系新的表征方法，不僅在特高含水飽和度階段具有很好的適應(yīng)性，而且在特低含水飽和度階段仍具有相當(dāng)高的預(yù)測(cè)精度，更符合油藏實(shí)際生產(chǎn)狀況。

3 改進(jìn)的水相分流率曲線公式

由上文可知，基于Gompertz模型的油、水相對(duì)滲透率比值 ( krokrw)與標(biāo)準(zhǔn)化后的含水飽和度 Son之間的關(guān)系式可以通過(guò)式（18）解出，其表達(dá)式為：

在一維條件下，忽略毛管壓力和重力的作用，根據(jù)達(dá)西定律可以得到水相分流率曲線表達(dá)式：

式中：wf為含水率；ομ為原油粘度，mPa·s；wμ為地層水黏度，mPa·s。

將式（18）代入式（19），可以得出基于Gompertz模型的分流量方程含水率 wf新的表達(dá)式：

已知ομ，wμ，A和B，利用式（20），即可求出含水率 wf，進(jìn)而提高其預(yù)測(cè)精度，指導(dǎo)油田開發(fā)實(shí)踐。

4 應(yīng)用效果分析

以上文提到的孤島油田中二中Ng3油層中30-檢18井和孤東油田九區(qū)Ng5油層孤東9-檢1井的巖心相對(duì)滲透率實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為例，應(yīng)用基于Gompertz模型推導(dǎo)的相滲分流量方程計(jì)算含水率 wf，與傳統(tǒng)油層物理學(xué)相滲分流量方程計(jì)算的含水率 wf做比較，二者計(jì)算結(jié)果與實(shí)際實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比分析如下。

4.1 孤島油田中二中Ng3油層

中30-檢18井取心目的層位為Ng3油層，其相滲實(shí)驗(yàn)原油黏度ομ=57.76 mPa·s，地層水黏度wμ=0.582 mPa·s。某樣品相滲實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如（表1）所示。

表1 中30-檢18井Ng3相對(duì)滲透率實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

根據(jù)表1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用Gompertz函數(shù)模型，通過(guò)線性擬合回歸，可得式（18）的待定系數(shù)a=0.332 6，b=-0.099 5，計(jì)算A=0.741 4，B=3.006 6，最終得到基于 Gompertz模型的相滲關(guān)系新的表征方法推導(dǎo)的相滲分流量方程為：

而依據(jù)傳統(tǒng)油層物理方法，可得出的相滲分流量方程為：

4.2 樂(lè)安油田草109塊Es3油層

草109井取心目的層位為Es3油層，相滲實(shí)驗(yàn)用原油黏度ομ=59.65 mPa·s，地層水黏度wμ=0.582 0 mPa·s。根據(jù)相滲實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用Gompertz函數(shù)模型，通過(guò)線性擬合回歸，可得到式（18）待定系數(shù)a=0.382 7，b=-0.120 8，可計(jì)算A=0.729 3，B=2.613 0，最終得到基于Gompertz模型的相滲關(guān)系新的表征方法推導(dǎo)的相滲分流量方程為：

而依據(jù)傳統(tǒng)油層物理方法，可得出的相滲分流量方程為：

將兩種方法計(jì)算的分流率曲線與實(shí)際實(shí)驗(yàn)結(jié)果（圖3，圖4）比較可以看出，基于Gompertz模型的相滲關(guān)系新的表征方法推導(dǎo)的相滲分流量方程較傳統(tǒng)油層物理學(xué)計(jì)算的分流量方程在特低-中含水飽和度范圍內(nèi)能大幅度提高產(chǎn)水率擬合精度。

圖3 中30-檢18井Ng3相滲含水率擬合結(jié)果對(duì)比

圖4 草109井Es3相滲含水率擬合結(jié)果對(duì)比

5 結(jié)論

（1）在特低含水期和特高含水期，實(shí)際的油、水相對(duì)滲透率之比與含水飽和度指數(shù)式函數(shù)關(guān)系已明顯偏離直線，呈現(xiàn)出非線性關(guān)系，傳統(tǒng)的擬合計(jì)算公式已不再適用。

（2）大量的巖心樣品相滲實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析表明，油水相對(duì)滲透率比值的自然對(duì)數(shù) ln (krokrw)與標(biāo)準(zhǔn)化后的含水飽和度 Son的雙重自然對(duì)數(shù)表達(dá)式- l n(- l n S on)之間具有良好的線性關(guān)系，兩者之間符合Gompertz函數(shù)關(guān)系。

（3）基于Gompertz模型的相滲關(guān)系新的表征方法推導(dǎo)的相滲分流量方程，與傳統(tǒng)油層物理學(xué)計(jì)算的分流量方程相比，能在特低-中含水期內(nèi)大幅度提高產(chǎn)水率擬合精度，進(jìn)而提高油藏開發(fā)動(dòng)態(tài)分析和油藏?cái)?shù)值模擬準(zhǔn)確性。

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