初探數(shù)的認(rèn)識(shí)之心中有“數(shù)”

章國(guó)菲

摘 要 如何認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)？分?jǐn)?shù)本身是數(shù)而不是運(yùn)算。分?jǐn)?shù)的本質(zhì)在于真分?jǐn)?shù)，即分?jǐn)?shù)的分子小于分母。這樣的分?jǐn)?shù)有兩個(gè)現(xiàn)實(shí)背景：一個(gè)是表達(dá)整體與等分的關(guān)系，一個(gè)是表達(dá)數(shù)量之間整數(shù)的比例關(guān)系。我們把后者稱為整數(shù)比例關(guān)系。用分?jǐn)?shù)來(lái)表示量的多少與關(guān)系的緊密水平之間混淆，即量與分率的混淆一直困擾小學(xué)數(shù)學(xué)教師們。如何解決這個(gè)問(wèn)題呢？我們分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)就是分?jǐn)?shù)體系的種子課，把這節(jié)課上好，把量與率分開(kāi)認(rèn)識(shí)，這個(gè)問(wèn)題就自然而然迎刃而解了。

關(guān)鍵詞 分?jǐn)?shù);概念教學(xué);數(shù)與代數(shù)

中圖分類號(hào)：G622????????????????????????????????????????????????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號(hào)：1002-7661（2018）21-0224-01

數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容一直是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的重要組成部分，沒(méi)有人會(huì)懷疑它的重要性和基礎(chǔ)性。隨著信息技術(shù)的高速發(fā)展，計(jì)算器和計(jì)算機(jī)的廣泛使用引發(fā)人們思考這樣的問(wèn)題：一方面，是否有必要讓學(xué)生花很多的時(shí)間來(lái)做有關(guān)數(shù)的重復(fù)、繁瑣的練習(xí);另一方面，數(shù)量方法的應(yīng)用日益廣泛，這就需要我們認(rèn)真思考數(shù)與代數(shù)的核心內(nèi)容及其教育價(jià)值，在此基礎(chǔ)上確定合理的教學(xué)策略。關(guān)于小學(xué)數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，大致分為：數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的運(yùn)算、式與方程、正反比例、常見(jiàn)的量和探索規(guī)律。而我們今天主要就是探討數(shù)的認(rèn)識(shí)這一模塊。請(qǐng)老師們回想，我們小學(xué)階段只要認(rèn)識(shí)哪些數(shù)？整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)、正負(fù)數(shù)。再具體點(diǎn)，如何認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)？分?jǐn)?shù)本身是數(shù)而不是運(yùn)算。分?jǐn)?shù)的本質(zhì)在于真分?jǐn)?shù)，即分?jǐn)?shù)的分子小于分母。這樣的分?jǐn)?shù)有兩個(gè)現(xiàn)實(shí)背景：一個(gè)是表達(dá)整體與等分的關(guān)系，一個(gè)是表達(dá)數(shù)量之間整數(shù)的比例關(guān)系。我們把后者稱為整數(shù)比例關(guān)系。用分?jǐn)?shù)來(lái)表示量的多少與關(guān)系的緊密水平之間混淆，即量與分率的混淆一直困擾小學(xué)數(shù)學(xué)教師們。在俞正強(qiáng)特級(jí)教師名師工作室的團(tuán)隊(duì)活動(dòng)中，我們對(duì)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”進(jìn)行了研究和探討。從教材使用之初的分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)到學(xué)生產(chǎn)生問(wèn)題進(jìn)行了探討，如何解決這個(gè)問(wèn)題呢？我們發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)就是分?jǐn)?shù)體系的種子課，把這節(jié)課上好，把量與率分開(kāi)認(rèn)識(shí)，這個(gè)問(wèn)題就自然而然迎刃而解了。

一、北師大教材編排分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)

關(guān)于分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)教學(xué)，北師大教材分為兩個(gè)學(xué)段：即三年級(jí)下冊(cè)第六單元分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)，從分物體出發(fā)，引出物體的二分之一是怎么來(lái)的，最初就開(kāi)始探討研究整體與等分之間的關(guān)系;之后是五年級(jí)上冊(cè)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，這里才開(kāi)始出現(xiàn)量與率的區(qū)分。我們從整體上看，這樣的編排特點(diǎn)是交叉編排，螺旋上升。再細(xì)看分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)與分?jǐn)?shù)再認(rèn)識(shí)兩節(jié)課的編排內(nèi)容，但細(xì)究編排內(nèi)容會(huì)發(fā)現(xiàn)，在認(rèn)識(shí)之初我們學(xué)習(xí)的是分?jǐn)?shù)表示數(shù)量才對(duì)。這中間的斷點(diǎn)，是可以讓老師們?nèi)ニ伎疾⒄{(diào)整教學(xué)方式的。

二、調(diào)整后，作為“量”的分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)

教學(xué)流程：

【環(huán)節(jié)一】用分?jǐn)?shù)來(lái)表示餅的個(gè)數(shù)

問(wèn)題1：師：半個(gè)、小半個(gè)、小小半個(gè)用哪個(gè)數(shù)來(lái)表示？以餅為例，這半個(gè)餅是怎么得到的？

生：把一個(gè)餅平均分成兩塊，每塊是半個(gè)。

問(wèn)題2：用數(shù)學(xué)的方法來(lái)記錄半個(gè)是怎么得到的。

文字記錄：把一個(gè)餅平均分成兩塊，每塊是半個(gè)。

師：先平均分成2塊，從中拿出一塊就是? 塊。

討論：用文字記錄和數(shù)學(xué)記錄，哪種更方便？

體會(huì)分?jǐn)?shù)本質(zhì)上就是用整數(shù)來(lái)記錄得到半個(gè)的過(guò)程，是一種比文字記錄更便捷的數(shù)學(xué)記錄。

問(wèn)題3：小半個(gè)是怎么來(lái)的？

生1：把半個(gè)再切去一小塊就是小半個(gè)。

生2：把一個(gè)餅平均分成三塊，一塊就表示三分之一塊。

師：誰(shuí)能用數(shù)學(xué)方法來(lái)記錄小半塊是怎么來(lái)的？

生：塊。

【環(huán)節(jié)二】用分?jǐn)?shù)表示分的結(jié)果有什么規(guī)律？

問(wèn)題：用分?jǐn)?shù)表示餅的大小的關(guān)鍵是什么？在寫(xiě)的時(shí)候要注意什么順序？

結(jié)論：關(guān)鍵在于知道餅是怎么得到的，具體而言，包括四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。

1.是平均分，用分?jǐn)?shù)線表示。

2.一共分成多少份，用數(shù)字來(lái)表示，寫(xiě)在分?jǐn)?shù)線下面，叫分母。

3.拿到多少份，用數(shù)字來(lái)表示，寫(xiě)在分?jǐn)?shù)線上面，叫分子。

4.得到一個(gè)分?jǐn)?shù)，讀作幾分之幾。

分?jǐn)?shù)的書(shū)寫(xiě)數(shù)序過(guò)程并不單單是一種數(shù)學(xué)規(guī)定，而是蘊(yùn)含等分的過(guò)程和結(jié)果的。要先等分成幾份才能拿出其中的幾份，因此要先有等分產(chǎn)生分母，再有分子。

在這節(jié)課中，分?jǐn)?shù)一直作為量的表示而存在，沒(méi)有出現(xiàn)率的表示，這樣做的目的是讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)量的表示，對(duì)學(xué)生初學(xué)分?jǐn)?shù)其實(shí)是降低了難度的。到了五年級(jí)的分?jǐn)?shù)再認(rèn)識(shí)，我們通過(guò)整體一的不同再來(lái)感知分?jǐn)?shù)作為率的存在，就能更好的幫助學(xué)生去認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。

分?jǐn)?shù)的擴(kuò)充一般有兩種需要而產(chǎn)生：一是分東西的過(guò)程，整體中的“部分”無(wú)法用自然數(shù)來(lái)表示。

二是計(jì)算過(guò)程中，2除以3，自然數(shù)無(wú)法表示出計(jì)算的得數(shù)。

分?jǐn)?shù)有兩個(gè)含義：一是表示部分與整體的關(guān)系，是一個(gè)比率。? 表示的是把一個(gè)單位平均分成3份，取其中的一份。這一份的大小取決于被分的單位的大小。這時(shí)候具有無(wú)綱量性，它只是一個(gè)比率。

二是表示一個(gè)具體的量，如 米等。

課標(biāo)中指出，分?jǐn)?shù)大多數(shù)情況是表示一個(gè)比率，實(shí)際教學(xué)應(yīng)當(dāng)成為重點(diǎn)。這樣正確認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)才是分?jǐn)?shù)問(wèn)題得以解決的根本所在。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[Z].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.