Smarandache函數(shù)的一些推廣

白海榮, 廖群英

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

1 引言及主要結(jié)果

早在1993年,Smarandache定義了正整數(shù)n的Smarandache函數(shù)

S(n)=min{m:m∈N,n|m!}.

為了方便,本文記

以及

(1)

定理1.11) 對(duì)任意正整數(shù)α,設(shè)

以及γ=max{δ∈T:δ<α},則

2) 對(duì)任意正整數(shù)α,若γ<α≤β,則

對(duì)于任意正整數(shù)α,由α的p進(jìn)制表達(dá)式可計(jì)算出β=min{δ:α≤δ∈T},再根據(jù)定理1.1即可得到S(pα),即如下定理.

定理1.2設(shè)正整數(shù)α的p進(jìn)制表達(dá)式中最高次項(xiàng)為bpr,且

則:

1)

由定理1.2,根據(jù)α的p進(jìn)制表達(dá)式中最高次項(xiàng)可計(jì)算出β=min{δ:α≤δ∈T}的首項(xiàng).又因?yàn)棣碌拇胃唔?xiàng)即為β1的最高項(xiàng).又由定理1.2可知,根據(jù)α1的p進(jìn)制表達(dá)式中的最高次項(xiàng)可計(jì)算出β1的首項(xiàng).注意到β的T表達(dá)式的項(xiàng)數(shù)有限,因此至多進(jìn)行kn步后即得β在T中的表達(dá)式,進(jìn)而計(jì)算出S(pα).另外當(dāng)α=β時(shí),α∈T;否則,即α<β時(shí),有α?T.

另一方面,文獻(xiàn)[1]有如下命題.

命題1.3[1]對(duì)任意素?cái)?shù)p以及正整數(shù)α,均有

(p-1)α+1≤S(pα)≤
(p-1)[α+logpα+1]+1.

根據(jù)定理1.1與1.2,可以改進(jìn)上述上界,即得到最優(yōu)上界,并給出此界達(dá)到的充分必要條件,即如下推論.

推論1.4對(duì)任意素?cái)?shù)p以及正整數(shù)α,均有

(p-1)α+1≤S(pα)≤
(p-1)[α+logpα+1].

進(jìn)而

S(pα)=(p-1)[α+logpα+1]?α=pn-n.

2 一些引理

為證明本文的主要結(jié)果,需要如下幾個(gè)引理.

引理2.1映射f:pN→T,

為嚴(yán)格單調(diào)遞增的雙射,其中1≤k1<…

證明顯然f為滿射,只需證明f嚴(yán)格單調(diào)遞增.事實(shí)上,設(shè)

因?yàn)閜在α!中的指數(shù)為

又p在((m+1)p)!中的指數(shù)比在(mp)!中指數(shù)至少多1,故f嚴(yán)格單調(diào)遞增.

這就完成了引理2.1的證明.

證明由題設(shè)知

這就完成了引理2.2的證明.

的p進(jìn)制表達(dá)式首項(xiàng)為cpt(0≤t,1≤c≤p-1),則類似可得(kn-1,an-1).依次可計(jì)算出(kr,ar)(r=1,…,n-2),即得到β在T中的具體表達(dá)式.再根據(jù)定理1.2即可計(jì)算出S(pα).

矛盾.

注意到1≤an≤p-1.故若an≤p-2,則

此與β≥pr的假設(shè)矛盾,故an=p-1.

與假設(shè)條件矛盾.

若an≥b+1,則

(b+1)pr>β,

矛盾.

若an≤b-2,則

矛盾.

與假設(shè)矛盾.

(IV) 若2≤b≤p-1且

則必有an=b.否則,由an=b-1可得

與假設(shè)矛盾.

這就完成了引理2.3的證明.

3 主要結(jié)果的證明

故根據(jù)S(n)的定義可知

當(dāng)γ<α<β時(shí),由S(n)的定義可知S(pα)關(guān)于α是不減函數(shù),從而S(pγ)≤S(pα)≤S(pβ).又γ=max{δ∈T:δ<β},根據(jù)情況1)及函數(shù)f嚴(yán)格單調(diào)遞增雙射的性質(zhì),可知S(pβ)-S(pγ)=p.又因?yàn)閜|S(pα),所以對(duì)任意y∈{x∈Z+:S(pγ)

這就完成了定理1.1的證明.

再由引理2.3可得

即總有tr

又因

這就完成了定理1.2的證明.

推論1.4的證明(I) 先證明一些簡(jiǎn)單性質(zhì).

(B) 根據(jù)定理1.1情況2)可得

(C) 注意到n≤kn≤[logpα+1].當(dāng)n>1,ai=p-1且ki=ki-1+1(i=2,3,…,n)時(shí),有

此時(shí)由定理1.2情況1)可知[logpα]=r=kn,即有n≤kn=r<[logpα+1].當(dāng)n>1,ai=p-1,且存在i使得ki>ki-1+1(2≤i≤n)時(shí),顯然有n≤kn-1≤r<[logpα+1],即當(dāng)n>1,ai=p-1時(shí),總有n<[logpα+1].

(III) 現(xiàn)在討論上界.若α=β∈T,根據(jù)(I)的(B)和(C),有

S(pα)=(p-1)pt=(p-1)α+p-1≤
(p-1)α+(p-1)×[logpα+1],

且若等號(hào)成立,則[logpα+1]=1,即t=1且α=p-1.否則,即γ<α<β時(shí),α?T.此時(shí)由(I)的(A)知

故若等號(hào)成立,則ai=p-1且ki=ki-1+1(i=2,3,…,n).

當(dāng)n>1時(shí),有

所以根據(jù)(I)中(C)易知

故若等號(hào)成立,則必有n=1,此時(shí)

不妨設(shè)α=pt-k,2≤k≤t,則S(pα)=S(pβ)=(p-1)pt且

S(pα)≤(p-1)×[α+logpα+1]=
(p-1)[pt-k+t-1+1],

要取到等號(hào)必須k=t,即α=pt-t.

這就完成了推論1.4的證明.

4 推廣

定義4.1設(shè)數(shù)論函數(shù)f(n)是單調(diào)不減函數(shù),則稱

Sf(n)=min{m:m∈N,n|f(m!)},
Sf(n)=min{m:m∈N,n|f(m)!},
S′(n)=min{m:m∈N,n|(2m)!!}

分別為n的I、II、III型廣義Smarandache函數(shù).

定理4.21) 設(shè)r為正整數(shù),f(x)=xr,則對(duì)于任意正整數(shù)α,當(dāng)q×r<α≤(q+1)×r時(shí),有Sf(pα)=S(pq+1).

2) 設(shè)r為正整數(shù),f(x)=rx,對(duì)于任意正整數(shù)α,若pu‖r時(shí),則Sf(pα)=S(pα-u).

3) 對(duì)任意正整數(shù)α,則Sf(pα)=min{m:S(pα)≤f(m)}.

4) 對(duì)任意奇素?cái)?shù)p,都有S′(pα)=S(pα).進(jìn)而,當(dāng)p=2時(shí),設(shè)β=min{δ:α≤δ∈T′},γ=max{δ:α>δ∈T′},其中T′={β:2β‖S′(2β)!},則

許多推廣形式的廣義Smarandache函數(shù)的計(jì)算均可歸結(jié)為相應(yīng)正整數(shù)的Smarandache函數(shù)的計(jì)算.也可以用構(gòu)造T′的方法得到計(jì)算公式,特別地,如果由T′={α|pα‖Sf(pα)!},T′={α|pα‖Sf(pα)!}或者T′={α|pα‖S′(pα)!},構(gòu)造的T是一樣的,則其計(jì)算公式也是一致的.

定理4.2的證明1)～3) 由定義顯然.

4) 當(dāng)p為奇素?cái)?shù)時(shí),結(jié)論顯然.現(xiàn)設(shè)p=2,若β=min{δ:α≤δ∈∈T′},其中T′={β:2β‖S′(2β)!},則容易證明映射f:N→T′,

本文實(shí)際在建立pZ+到T的雙射f,然后求得其逆映射,即Smarandache函數(shù)在T上的限制S|T,并進(jìn)一步得到Smarandache函數(shù)S.由本文定理可得S(pα)關(guān)于α是非減的滿射而非單射,映射S(pα)|T為嚴(yán)格單調(diào)遞增的雙射且與f互為反函數(shù).

5 應(yīng)用

例5.1計(jì)算S(5α),其中α=3 592.

一方面,α=3 592的5進(jìn)制表達(dá)式最高次項(xiàng)為55,令

例5.2計(jì)算S(5α),其中α=3 589.

一方面α=3 589的5進(jìn)制表達(dá)式最高次項(xiàng)為55,令

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