義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的數(shù)學(xué)思想

董利軍

摘 要：新修訂的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把傳統(tǒng)的“雙基”擴充為“四基”，即在基礎(chǔ)知識和基本技能的基礎(chǔ)上增加了“基本的數(shù)學(xué)思想”和“基本的數(shù)學(xué)體驗”。把“數(shù)學(xué)思想”作為一個獨立的教學(xué)目標(biāo)明確提了出來，表明了“數(shù)學(xué)思想”在一個人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)中所占的重要地位?；A(chǔ)教育中常見的數(shù)學(xué)思想包括數(shù)形結(jié)合的思想、類比的思想、方程的思想、分類討論的思想、化歸的思想、整體的思想和函數(shù)的思想。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 數(shù)學(xué)思想

新修訂的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出“課程內(nèi)容要反映社會的需要、數(shù)學(xué)的特點，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成和蘊含的數(shù)學(xué)思想方法”[1]。對教師的教學(xué)也提出了新的要求，指出“教師的教學(xué)應(yīng)該使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”[2]。這兩句話無論從教學(xué)內(nèi)容的設(shè)置上還是教學(xué)過程的實施上都強調(diào)了基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)思想培養(yǎng)的重要性。新課程標(biāo)準(zhǔn)把傳統(tǒng)的“雙基”擴充為“四基”，即在基礎(chǔ)知識和基本技能的基礎(chǔ)上增加了“基本的數(shù)學(xué)思想”和“基本的數(shù)學(xué)體驗”?；A(chǔ)教育強調(diào)“數(shù)學(xué)思想”教學(xué)的意義是什么呢？日本數(shù)學(xué)家米山國藏的一段話能給我們一些啟迪，他說“作為知識的數(shù)學(xué)出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘刻在頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想、研究方法和著眼點等，這些隨時隨地發(fā)生作用，使人終身受益”[3]?？梢姡瑪?shù)學(xué)思想是一種使人終生受益的世界觀和方法論。是指導(dǎo)我們探究和解決數(shù)學(xué)問題的思維方式和辦法。在基礎(chǔ)教育過程中蘊含哪些常見的數(shù)學(xué)思想呢，本文做了一下簡單的梳理。

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合。作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，這種情形是“以數(shù)解形”；或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，這種情形是“以形助數(shù)”。

例如用圖形的面積來驗證平方差公式的正確性：

a2-b2 =（a+b）（a-b），

可以用下面圖形的面積變形來表示。

；這是典型的“以形助數(shù)”的例子。

數(shù)形結(jié)合的思想可以說是貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。利用線段圖分析數(shù)量關(guān)系、數(shù)軸、統(tǒng)計圖、圖形計算等等都是“數(shù)”與“形”的結(jié)合。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”。足見數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性。

二、類比思想

類比是在借鑒的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的創(chuàng)造性的思維過程。他研究的是兩個對象在某些方面相同或相似，從而推測出他們在其他方面也可能存在的相同或相似之處。這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知一種常用的方法。

例如學(xué)習(xí)分式基本性質(zhì)和計算時，可以類比小學(xué)階段學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和計算法則來進行分式的基本性質(zhì)和計算法則學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)二次根式的運算可以類比整式運算的計算法則進行。還有，我們經(jīng)常會遇到一題多變的問題，通常也是運用類比的方法逐步來解決。

三、方程的思想

在解決數(shù)學(xué)問題時，有一種從未知轉(zhuǎn)化為已知的手段就是通過設(shè)元，設(shè)未知數(shù)。然后尋找已知與未知之間的等量關(guān)系，構(gòu)造方程或方程組，然后求解方程完成未知向已知的轉(zhuǎn)化，這種解決問題的思想稱為方程思想。

例如：一艘輪船在靜水中的最大航速為30 km/h，它沿江以最大航速順流航行90 km所用時間，與以最大航速逆流航行60 km所用時間相等，江水的流速為多少？

分析：這是一個實際問題，這類實際問題如果用算術(shù)方法解決數(shù)量關(guān)系非常復(fù)雜，很難解決。如果利用方程的思想，將江水的流速設(shè)為v km/h. 依據(jù)輪船沿江以最大航速順流航行90 km所用時間，與以最大航速逆流航行60 km所用時間相等為等量關(guān)系建立方程，數(shù)量關(guān)系就變得簡單明晰多了。

即，依題意得，解得， v=6 ， 問題得以解決。

方程的思想，即是用方程解決問題的應(yīng)用，也是對方程概念本質(zhì)的認(rèn)識，是通過分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，構(gòu)建方程或方程組，建立方程模型的思維過程 。教學(xué)過程中要培養(yǎng)學(xué)生善用方程和方程組觀點來觀察處理問題。

四、分類討論思想

任何一個數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用范圍，在我們所遇到的數(shù)學(xué)問題中，有些問題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣字母的取值不同也會影響問題的解決，由上述幾類問題可知，解決這種類型的問題時，要把所有研究的問題根據(jù)題目的特點和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學(xué)思想，稱之為分類討論思想。

例如：圓與圓有怎樣的位置關(guān)系？

分析：圓與圓有相離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含（包括同心圓）等多種位置關(guān)系，不同的位置關(guān)系時兩圓的圓心距l(xiāng)與兩圓半徑R和r有不同的數(shù)量關(guān)系，用分類的方法更容易厘清這些關(guān)系：

①外離l>R+r； ②外切l(wèi)=R+r； ③相交R-r

④內(nèi)切l(wèi)= R-r ； ⑤內(nèi)含 l

如果再配合圖表進行分類，條理就更清晰了。

分類討論的數(shù)學(xué)思想在日常教學(xué)中運用的比較廣泛。比如，常規(guī)判定三角形全等的方式有5種，在教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生分類進行學(xué)習(xí)；商場為了促銷采取不同的打折方式營銷，你選擇哪個商場消費更省錢這類問題也要分類討論；進行復(fù)習(xí)的時候，我們通常也會采用分類進行專題復(fù)習(xí)等等，都是分類的思想在教學(xué)中的典型運用。分類討論的思想能使復(fù)雜的問題條理化，將一些復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成若干簡單的小問題，便于對問題的理解和解決。

五、化歸思想

化歸思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種數(shù)學(xué)手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而達(dá)到解決的一種方法。通常是將復(fù)雜問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未知的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已知的問題等等?？傊瘹w在數(shù)學(xué)解題中幾乎無處不在，化歸的基本功能是：生疏化成熟悉，復(fù)雜化成簡單，抽象化成直觀，含糊化成明朗，未知化已知。它是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡稱。

例如：解方程： 。

分析：這是一個分式方程，學(xué)生在一開始接觸解分式方程時，還不知道如何著手進行解答，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)等式的基本性質(zhì)通過去分母的方法把分式方程轉(zhuǎn)化為含有括號的一元一次整式方程，再通過去括號法則將這個帶括號的一元一次方程轉(zhuǎn)化為不帶括號的一元一次方程，這樣逐級轉(zhuǎn)化，化未知為已知，完成了解方程的過程，也掌握了分式方程的解法。

即：去分母轉(zhuǎn)化為一元一次方程， ，去括號轉(zhuǎn)化為不帶括號的一元一次方程， 解得，

化歸的實質(zhì)就是以及事物之間相互聯(lián)系，相互制約的觀點出發(fā)，以運動變化發(fā)展的觀點看待問題，善于對所要解決的問題進行變換轉(zhuǎn)化，使問題得以解決。

六、整體思想

整體思想就是從問題的整體結(jié)構(gòu)出發(fā)，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和研究，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用“總體”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體的一部分，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進行有目的、有意識的整體處理。

例如，合并同類項（1）4（a+b）+2（a+b）-（a+b）；（2）3（x+y）2-7（x+y）+8（x+y）2+6（x+y），解題的時候不要打開括號，而是把（a+b）和（x+y）看作一個整體來合并就比較簡單了。

整體的思想通常在教學(xué)整理復(fù)習(xí)的時候運用的比較廣泛，例如每一章章后小結(jié)的知識結(jié)構(gòu)圖，就是在本章的整體知識結(jié)構(gòu)下來說明每個知識點在所處的地位、作用和各知識點之間的相互聯(lián)系的，便于學(xué)生在整體上把握知識體系。與知識結(jié)構(gòu)圖相類似的還有知識樹，也是從整體上梳理知識結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)了整體的數(shù)學(xué)思想。

七、函數(shù)的思想

函數(shù)的思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題的思維策略。具體來說，函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，刻畫了兩個變量之間的變化規(guī)律，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進行研究。它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題?；A(chǔ)教育階段常見的函數(shù)有一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)和三角函數(shù)。

綜上所述，所有的數(shù)學(xué)思想都是培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的策略。這些策略有的運用的比較廣泛，比如數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化的思想、分類的思想、類比的思想、方程的思想等，這些數(shù)學(xué)思想在一節(jié)課或一個學(xué)時的教學(xué)過程中反復(fù)多次運用或涉及。多數(shù)時候為解決一個問題會有幾種思想策略綜合運用的情況存在。有的策略運用的相對少些，比如整體的思想、函數(shù)的思想等。但不管這些數(shù)學(xué)思想在教育教學(xué)中運用的頻繁與否，都應(yīng)該潛移默化地植根于學(xué)生的思想中，成文他們思考問題和解決問題的一種行為方式，隨時隨地發(fā)生作用，使他們終身收益。

參考文獻(xiàn)

[1]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）.[M].北京師范大學(xué)出版社.2012年1月.

[2]趙希斌.魅力課堂：高效與有趣的教學(xué).[M].華東師范大學(xué)出版社.2013年6月.