費(fèi)馬大定理和卡塔蘭猜想

費(fèi)馬大定理和卡塔蘭猜想

段貴軍

（吉林省白石山林業(yè)局黃松甸林場(chǎng)監(jiān)督站，吉林 蛟河 132503）

摘 要：根據(jù)數(shù)學(xué)公式xn-yn建立數(shù)列群，然后根據(jù)變差數(shù)列xn-yn中的因子分布與冪變化規(guī)律理論來求解費(fèi)馬大定理和卡塔蘭猜想。

關(guān)鍵詞：費(fèi)馬大定理 卡塔蘭猜想 數(shù)列群 變差數(shù)列 等差數(shù)列 公差數(shù)列 xn數(shù)和xn-yn數(shù)分布與冪變化規(guī)律

中圖分類號(hào)：O156.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-9082（2018）01-0-02

背景：①費(fèi)馬大定理：當(dāng)n≥3時(shí)， xn+yn=zn中x、y、z必有一個(gè)是非整數(shù)解。費(fèi)馬大定理是法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬于1637年提出。②除32-23=1外，再?zèng)]有兩個(gè)連續(xù)整數(shù)可表示為其它正整數(shù)的方冪，此為卡塔蘭猜想（1842年）。

一、簡(jiǎn)介xn±yn分解因式數(shù)學(xué)公式

1、xn-yn的分解因式通用公式：xn-yn=（x-y）（xn-1+ xn-2y +xn-3y2+……+xyn-2 +yn-1），n為整數(shù)。舉例如下：

根據(jù)以上數(shù)列群數(shù)表，可以歸納如下：

①當(dāng)n=1時(shí)，數(shù)列群有3層。即自然數(shù)數(shù)列、X1數(shù)數(shù)列和公差數(shù)列，最小公差為1。當(dāng)x=y+1時(shí)，x1數(shù)數(shù)列和自然數(shù)數(shù)列完全相同，公差數(shù)列為1、2、3……所以，當(dāng)x和y是整數(shù)時(shí)，z必然是整數(shù)。②當(dāng)n=2時(shí)，數(shù)列群有4層。即自然數(shù)數(shù)列、x2數(shù)數(shù)列、x2-y2等差數(shù)列和公差數(shù)列。當(dāng)x=y+1時(shí)，x2-y2數(shù)列是自然數(shù)奇數(shù)集合，所有奇數(shù)的平方數(shù)皆在里面，最小公差是1×2=2，所以，即x2-y2=z2成立。③當(dāng)n=3時(shí)，數(shù)列有5層。即自然數(shù)數(shù)列、x3數(shù)數(shù)列、x3-y3數(shù)形成的變差數(shù)列、等差數(shù)列和公差數(shù)列，最小公差是1×2×3=6。x=y+2時(shí)公差是6×2=12；x=y+3時(shí)公差是6×3=18……④當(dāng)n=4時(shí)，數(shù)列群有6層。和n=3時(shí)一樣，只是多了一個(gè)變差數(shù)列，最小公差是1×2×3×4=24。X =y+2時(shí)公差是48=24×2……⑤當(dāng)n=5時(shí)，數(shù)列群有7層。和n=3時(shí)一樣，有3個(gè)變差數(shù)列，最小公差是1×2×3×4×5=120。x=y+2時(shí)公差是240=120×2……

…………

數(shù)列群數(shù)表組成與結(jié)構(gòu)：最上面是自然數(shù)x數(shù)列和自然數(shù)的xn數(shù)列，這兩個(gè)數(shù)列都只有一個(gè)；往下是xn-yn數(shù)學(xué)關(guān)系形成的變差數(shù)列（n≥3），其層數(shù)為f=n-2，個(gè)數(shù)有無限個(gè)，即由x=y+t（t為1、2、3…）所決定，最后兩層是等差數(shù)列和公差數(shù)列，也都有無限個(gè)。數(shù)列群總層數(shù)有n+2層。最小公差是（1×2×3×4×5×……n）×1，x=y+2公差是（1×2×3×4×5×……n）×2……另外x、y、z要么是全是偶數(shù)，要么二奇一偶計(jì)兩種形式。公差數(shù)列和等差數(shù)列都可以形成zn數(shù)。

關(guān)于數(shù)列概念簡(jiǎn)介：

數(shù)列群組：由有限個(gè)或者無限個(gè)數(shù)列群構(gòu)成。

數(shù)列群：由多個(gè)或者無限個(gè)具有相同數(shù)學(xué)關(guān)系的數(shù)列個(gè)體構(gòu)成。xn數(shù)列：x為自然數(shù)，n為冪形成的數(shù)列。

變差數(shù)列：xn-yn=k（n≥3）形成的k值自小到大排列的集合，并且各相鄰項(xiàng)差不相等，但具有內(nèi)在的數(shù)學(xué)規(guī)律性。因?yàn)槭沁f增的，所以也叫遞增變差數(shù)列。它有著自己的一些獨(dú)特性質(zhì)。

等差數(shù)列：公差相等的數(shù)列。

公差數(shù)列：由相同公差組成的數(shù)列，如表3中的6 6 6…

三、變差數(shù)列中的因子分布和冪變化與費(fèi)馬大定理

根據(jù)公式可知，x-y=t是公共因子，且x-y=t是x-y=1的t倍，所以，當(dāng)x-y=1時(shí)的變差數(shù)列是t≥2時(shí)變差數(shù)列的基礎(chǔ)，所以，本文以x=y+1時(shí)的變差數(shù)列為研究對(duì)象。

xn-yn=k數(shù)變化趨勢(shì)：當(dāng)n=1時(shí)，x1-y1=k數(shù)列直接為公差數(shù)列，當(dāng)n=2時(shí)，x2-y2=k數(shù)列直接為等差數(shù)列，當(dāng)n為1和2時(shí)數(shù)列均以勻速增大變化。當(dāng)n≥3時(shí)，xn-yn=k數(shù)列為遞增變差數(shù)列，其k值數(shù)列會(huì)快速膨大，當(dāng)n→∞時(shí)，這種變化趨勢(shì)越明顯。

xn-yn=k數(shù)因子組成：k=AB。A是公共因子，如x-y=3，此因子自始至終恒定不變。B是數(shù)列在增大變化過程中產(chǎn)生的變化因子，是變差數(shù)列形成膨大變化的原因。A可以是任意自然數(shù)，含所有zn數(shù)。

因子的周期循環(huán)公式：對(duì)于任意xn-yn，當(dāng)x變化到x+p時(shí)（p為整數(shù)）的變化量用（x+p）n-（y+p）n=（xn-yn）+fpgh來表示（f為常數(shù)，g為函數(shù)，h為公共因子x-y）。當(dāng)p=（xn-yn）r時(shí)（r是整數(shù)），（x+p）n-（y+p）n=（xn-yn）（1+frgh）， xn-yn代表循環(huán)周期。如x3-y3=k其計(jì)算公式是：設(shè)x=y+1，當(dāng)x變化到x+p時(shí)，則列式（x+p）3-（y+p）3= （x3-y3）+3p（x+y+p）×1，當(dāng)（x3-y3）×q=3p（x+y+p）時(shí) （q為整數(shù)），即q=3p（x+y+p）÷（x3-y3），一方面p÷（x3-y3）=1時(shí)為一個(gè)完整因子分布周期，另一方面（x+y+p）÷（x3-y3）也可以整除，并且其中的p小于x3-y3時(shí)為周期內(nèi)分布。如當(dāng)x=2和y=1時(shí)，p÷（x3-y3）=1時(shí)，p=7；而（x+y+p）÷（x3-y3）=（3+p）÷7=1時(shí)，p=4，因?yàn)?<7，所以，因子7每經(jīng)過7項(xiàng)重復(fù)出現(xiàn)兩次，即第4項(xiàng)和第7項(xiàng)，并且無限周期循環(huán)分布下去。如表3中的7，產(chǎn)生后，每向右7項(xiàng)就出現(xiàn)兩次，91=7×13和217=7×31，以后無限循環(huán)下去。91也和7一樣，產(chǎn)生后，每向右91項(xiàng)就出現(xiàn)兩次，以后無限循環(huán)下去。91中的因子13也是一樣，產(chǎn)生后，每向右13項(xiàng)就出現(xiàn)兩次等等。n與周期分布次數(shù)：當(dāng)n=2時(shí)，每周期分布1次；當(dāng)n=3時(shí)，每周期分布2次；當(dāng)n=4時(shí)，每周期分布3次……每周期分布次數(shù)為n-1次（根據(jù)公式計(jì)算得知，有些因子沒有內(nèi)循環(huán)分布，是由素?cái)?shù)的節(jié)奏特性決定的，如x4-y4中的3每周期只分布1次，這些不影響推斷）。根據(jù)公式可知，變化因子與公共因子永遠(yuǎn)不可能相等（只有三數(shù)現(xiàn)象中公共因子與變化因子才存在直接聯(lián)系，這個(gè)問題在后面講），只能各自獨(dú)立存在。另外，所有因子值≥該因子值最初出現(xiàn)時(shí)的項(xiàng)數(shù)。

因子冪變化：因子冪也和自然數(shù)一樣，在因子周期循環(huán)過程中冪緩慢增加，每次只能增加1，區(qū)間跨度越來越大，增加過程越來越緩慢。當(dāng)（x+p）n-（y+p）n=（xn-yn）（1+frgh）代表因子周期循環(huán)，其中公共因子獨(dú)立存在冪不變化。當(dāng)（x+p）n-（y+p）n=（xn-yn）（1+frgh）=（xn-yn）mt時(shí)（t和m都是整數(shù)），t=（xn-yn）（1+frgh）÷（xn-yn）m=（1+frgh）÷（xn-yn）m-1，若t是整數(shù)（m≥2），此式則代表因子在周期循環(huán)過程中冪的增加過程。根據(jù)公式可知，因子冪的增加都是有規(guī)律的，在自然數(shù)數(shù)列上就能反映出來，并且和xn-yn自身有著直接關(guān)系，具體舉例說明。如23-13=71，當(dāng)72產(chǎn)生時(shí)是在233-223=1519=72×31，由2到23，跨度21=7×3，當(dāng)7，3產(chǎn)生時(shí)是在1213-1203=43561=73×127，由23到121，跨度98=72×2……因子增大變化越來越落后于數(shù)列膨大的變化。最初產(chǎn)生的因子冪是1，特殊情況時(shí)可以是2，如x2+y2形成的z2數(shù)。根據(jù)以上分析，可以確定，數(shù)列越向右變化，經(jīng)過循環(huán)次數(shù)越多，則xn-yn=k數(shù)的因子越來越多，由于項(xiàng)數(shù)不斷增多，新產(chǎn)生的奇質(zhì)數(shù)因子越來越大，循環(huán)次數(shù)越多且值小的的因子的冪增加相比要快些。用式子表示為xn-yn=k=A×B，B→abc……如此可以證明，xn-yn=k向右不可能形成k=zn數(shù)，同理，向左也不可能形成zn數(shù)，是因?yàn)檫@種數(shù)都是從左向右形成的。即整個(gè)變差數(shù)列中不能形成（xn-yn）1、（xn-yn）2、（xn-yn）3 ……（xn-yn）n系列數(shù)。表明任何情況xn-yn數(shù)列中不可能存在zn數(shù)（n≥3），這是由因子分布與冪變化規(guī)律所決定的。之所以會(huì)這樣，根據(jù)因子分布公式原理可以看出，當(dāng)n≥3時(shí)，xn數(shù)與xn-yn數(shù)的步調(diào)節(jié)奏永遠(yuǎn)不可能同步。這都是由于所有素?cái)?shù)因子的節(jié)奏步伐各不相同所致。當(dāng)x-y一定，隨著x→∞，xn-yn=k數(shù)→∞，不存在有恒定整數(shù)z的z n數(shù)與k相等，尤其是因子冪緩慢增加情況下。也就是任何因子自產(chǎn)生之后向右周期循環(huán)出現(xiàn)，而其自身增加量越來越小于新生變化因子增大變化量，由此將永遠(yuǎn)不間斷產(chǎn)生新的更大的因子，即使是因子每循環(huán)一周冪增加1也不能滿足這種增大變化。如果在不同項(xiàng)上有兩個(gè)因子k1、k2，以其最初交匯值k1×k2整體為始點(diǎn)，向右周期循環(huán)變化，過程都是一樣的，當(dāng)因子個(gè)數(shù)有n個(gè)也是如此，只是周期值大，不管因子值有多大，只要是向右，其增大變化都會(huì)越來越小于新生變化因子的增大變化，也就不能形成（k1×k2 ×k3×……kn）n系列數(shù)。

假設(shè)在xn-yn=k中有一個(gè)zn數(shù)存在，必將有z 、z2 、z4 ……zn系列數(shù)存在。又因xn- zn= yn，則也必有y 、z2 、z3 ……yn和x 、x2 、x3 ……xn系列數(shù)存在。如有zn數(shù)存在，zn數(shù)與xn-yn=k數(shù)步調(diào)節(jié)奏相同，這和連續(xù)奇數(shù)和自然數(shù)一樣，必然因連鎖關(guān)系形成x1n-y1n= xn、x2n-y2n= x1n、x3n-y3n= x2n……關(guān)系式，在xn-yn=k變差數(shù)列中會(huì)出現(xiàn)∞個(gè)這樣的zn系列數(shù)，使得絕大部分自然數(shù)都加入到zn系列數(shù)中，所以從這個(gè)方面也可以證明xn-yn數(shù)中不可能有zn數(shù)存在（n≥3）。

解釋特例，如xn-yn=z2數(shù)現(xiàn)象：如設(shè)x3-y3=k=A×B，x=y+1，因?yàn)锳=1，則（x+p）3-（y+p）3= c×d ，假設(shè) B=ab（b>a），當(dāng)c=b時(shí)，化簡(jiǎn)后得到d=[a×b+3p（2y+1+p）]÷b，當(dāng)a=7，b=13，y=5時(shí)，d=7+3p（11+p）÷13，由此可知，當(dāng)p=13和p=2為最小整除商。其中p=2時(shí)， x3-y3=z2=132，根據(jù)xn-yn=k因子分布及冪增加變化原理可知，這種數(shù)只能獨(dú)立存在，不可能有另外的13、133、134……13n系列數(shù)。再如123-103=728=23×7×13→163-143=1352=23×132，也是一樣的。

綜上所述，費(fèi)馬大定理成立。

四、卡塔蘭猜想

根據(jù)公式xn-1=k分解因式公式建立數(shù)列群數(shù)表7（x和n為整數(shù)）。

卡塔蘭變差數(shù)列數(shù)表中n≥3部分是由費(fèi)馬大定理變差數(shù)列數(shù)表中的無窮個(gè)首項(xiàng)組成的，如255= 44-1，63= 43-1等等。此外多了一個(gè)x2-1變差數(shù)列。

根據(jù)前面費(fèi)馬大定理證明，我們僅需證明兩個(gè)問題就可以了。

1. x2-1變差數(shù)列中可否有x2-1= ym數(shù)？由 x2-1=（x-1）（x+1）可知（其中x≥2）：x=2時(shí)，x2-1=1×3=3； x=3時(shí)，x2-1=2×4=8=23； x=4時(shí)， x2-1= 3×5；x=5時(shí)， x2-1=4×6；此后是5×7；6×8；7×9……兩個(gè)相差為2的數(shù)相乘時(shí)，只有x=3時(shí)，x2-1=2×4=8=23；再也不可能有第二個(gè)，是因x2-1中的1、2、3三數(shù)互換組合結(jié)構(gòu)形成的。1是最小單數(shù)奇數(shù)，2是最小偶數(shù)和最小素?cái)?shù)，3是最小奇質(zhì)數(shù)。它們的互換結(jié)構(gòu)原理是3-2=1，3+1=22，3-1=21，32-1=23等。其中只有1、2、3，沒有別的數(shù)。因此才有32-1=23結(jié)果，除此再也不可能找到這種結(jié)構(gòu)的數(shù)，是唯一特例。此后出現(xiàn)的x2-ym數(shù)皆大于1。

2. n≥3時(shí)xn-1=k變差數(shù)列中可否有ym數(shù)？xn-1變差數(shù)列因子循環(huán)周期公式：設(shè)xn-1=k，當(dāng)x增加了p時(shí)（p為整數(shù)），則（x+p）n-1n= （xn-1）+pt，其中當(dāng)p=（xn-1）時(shí)為k因子的一個(gè)完整分布周期，當(dāng)p

綜上所述，只有唯一的32-1=23，其它xn-ym 皆≥2，卡塔蘭猜想成立。

參考文獻(xiàn)

[1]《哥德巴赫與孿生素?cái)?shù)猜想》（《新農(nóng)村》2017年第一期）