從容地品嘗“數(shù)學(xué)的味道”

朱宇

所謂“數(shù)學(xué)味”，即“數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的總和所構(gòu)成的數(shù)學(xué)內(nèi)涵”。由此可知，小學(xué)數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該著眼數(shù)學(xué)內(nèi)涵，促成兒童與數(shù)學(xué)的真實(shí)相遇，彰顯兒童數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征和本真價(jià)值，這是一個(gè)真實(shí)而深刻的、自然的、漸進(jìn)的過(guò)程。然而，當(dāng)下的許多數(shù)學(xué)課堂盲從“高效”，快節(jié)奏，高密度，大容量，急匆匆地趕著學(xué)生一路奔跑，自始至終是一種“慢不下來(lái)”的節(jié)奏。殊不知，“慢不下來(lái)”對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的傷害是致命的：缺少潛移默化的融入和厚積薄發(fā)的積淀，數(shù)學(xué)思考淺薄，方法經(jīng)驗(yàn)缺失，數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)模糊，兒童主體特征弱化，背離了課堂教學(xué)關(guān)注每一個(gè)、發(fā)展每一個(gè)的教育追求。

由此，筆者提出，讓數(shù)學(xué)課堂“慢”下來(lái)，營(yíng)造一種既有“味道”，又有“營(yíng)養(yǎng)”，與兒童特征與數(shù)學(xué)本質(zhì)相契合的學(xué)習(xí)形態(tài)。

一、 精選內(nèi)容，著力認(rèn)知建構(gòu)

許多教師都認(rèn)為：自己多講一些，讓學(xué)生多練一些是有責(zé)任心的表現(xiàn)。所以，不管是課前準(zhǔn)備，還是教后反思，教師通常會(huì)這樣想：還有哪些內(nèi)容要教給學(xué)生？是不是遺漏了某些習(xí)題？卻很少有人反思：這些內(nèi)容是否非教不可？這些習(xí)題是否不練不行？所謂思維決定出路，在這樣的指導(dǎo)思想下，有限的課時(shí)與龐雜的內(nèi)容之間的矛盾日益凸顯，教師只有靠加班加點(diǎn)來(lái)完成教學(xué)任務(wù)，師生不堪重負(fù)。

著名數(shù)學(xué)教育家張?zhí)煨⑾壬?jīng)舉過(guò)這樣的例子：100以內(nèi)兩位數(shù)加一位數(shù)的進(jìn)位加法，一共有369道題，對(duì)進(jìn)位加法本身來(lái)說(shuō)，這些題的訓(xùn)練價(jià)值是等同的，似乎都在講練范圍之內(nèi)。但是，如果放眼整個(gè)知識(shí)系統(tǒng)，從學(xué)生后繼學(xué)習(xí)的角度考量，例如，對(duì)多位數(shù)乘法計(jì)算來(lái)說(shuō)，這369道題當(dāng)中起到重要作用的只有60道，只占總題量的16%。所以，訓(xùn)練的時(shí)候，如果對(duì)每次的訓(xùn)練題進(jìn)行甄別，剔除掉對(duì)后繼學(xué)習(xí)作用不大甚至是毫無(wú)作用的題目，就能把有限的時(shí)間用在關(guān)鍵處，學(xué)生和教師的負(fù)擔(dān)就都減下來(lái)了。

同樣，在“數(shù)的認(rèn)識(shí)”復(fù)習(xí)課上，教師采用還“數(shù)”于“形”的方法，引導(dǎo)學(xué)生采取直觀語(yǔ)言等多種表征手段直接指向?qū)Α靶?shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)”這三種數(shù)本質(zhì)意義的深度理解，完善對(duì)數(shù)的結(jié)構(gòu)的認(rèn)知。首先，出示一條標(biāo)有數(shù)據(jù)的帶箭頭的直線，請(qǐng)學(xué)生在適當(dāng)位置標(biāo)注出[13]、0.3和80%，由此引導(dǎo)學(xué)生聚焦“把1平均分” 的問(wèn)題，感悟三者的相同點(diǎn)。接下來(lái)，教師提出問(wèn)題：對(duì)于這三個(gè)數(shù)，你能在數(shù)軸上用其他分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)表示嗎？學(xué)生在嘗試表示的過(guò)程中，感悟到了三者在平均分的“份數(shù)”上的細(xì)微差別：對(duì)80%而言，只有一種寫法，其原因是“1”被平均分的份數(shù)只能是100。而小數(shù)和分?jǐn)?shù)，則有無(wú)數(shù)種寫法，當(dāng)把“1”平均分成的份數(shù)是10、100、1000……的時(shí)候，可以得到位數(shù)不同的小數(shù)。與分?jǐn)?shù)[14]相等的分?jǐn)?shù)也有無(wú)數(shù)個(gè)，因?yàn)槠骄殖傻姆輸?shù)不同，分?jǐn)?shù)單位也不同。學(xué)生的深切感悟和自主歸納，讓三者的聯(lián)系和區(qū)別不言自明，數(shù)的認(rèn)知建構(gòu)自然而深刻。

二、 主動(dòng)延遲，豐盈探索歷程

在數(shù)學(xué)課堂上，我們經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生圍繞一個(gè)共同的任務(wù)，在強(qiáng)烈的問(wèn)題動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)下，進(jìn)行自主探索和互動(dòng)協(xié)作的學(xué)習(xí)，促成學(xué)生認(rèn)識(shí)過(guò)程的變化與實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)的自我提升。但是，很多時(shí)候，出于對(duì)結(jié)果的過(guò)度追求，學(xué)生不自覺(jué)地形成了這樣一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣——遇到一個(gè)問(wèn)題時(shí)，首先想到的是怎么算，關(guān)注問(wèn)題的解決而非問(wèn)題的表征；得到一個(gè)結(jié)論后，立即要付諸運(yùn)用，關(guān)注結(jié)論的效能而非認(rèn)知系統(tǒng)的擴(kuò)張。

例如，一位教師在教學(xué)“圓錐的體積”時(shí)，把學(xué)生分成若干小組，讓各小組通過(guò)等底等高的圓柱和圓錐、不等底等高的圓柱和圓錐容積關(guān)系的實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)圓錐體積公式與圓柱體積公式之間的關(guān)系，并通過(guò)大量的練習(xí)刻意強(qiáng)化對(duì)體積公式中“[13]”的理解。教師的設(shè)計(jì)看似煞費(fèi)苦心，課后質(zhì)量反饋效果卻很不理想。究其原因，學(xué)生探求體積公式的活動(dòng)僅僅是活動(dòng)方案的簡(jiǎn)單實(shí)施，他們僅充當(dāng)了“操作工”而已，對(duì)公式的理解和認(rèn)識(shí)缺乏深切體驗(yàn)。

后來(lái)，我們改進(jìn)了教學(xué)實(shí)施方案。教師先通過(guò)發(fā)散性的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化的方法自由地想出求圓錐體積的方法。他們自然想到選擇“圓柱”“長(zhǎng)方體”等立體圖形作為研究工具，既激發(fā)了實(shí)驗(yàn)操作的興趣，還懂得要這樣操作的原因。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，學(xué)生自由選擇材料，在匯報(bào)交流時(shí)，就有了不同實(shí)驗(yàn)方法的交流互補(bǔ)，還有對(duì)不同實(shí)驗(yàn)結(jié)果的爭(zhēng)辯與質(zhì)疑，由此激起了學(xué)生的自覺(jué)反思，激發(fā)了下一輪實(shí)驗(yàn)探究活動(dòng)的內(nèi)在動(dòng)機(jī)。改進(jìn)后的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)之所以取得成效，正是由于教師延遲體積公式的運(yùn)用時(shí)機(jī)，放手讓各小組自行設(shè)計(jì)方案驗(yàn)證猜想、探求公式，同伴交流激疑、反思，爭(zhēng)辯、完善體積公式，學(xué)生實(shí)實(shí)在在地建構(gòu)起了包括圓柱、圓錐在內(nèi)的立體圖形體積的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

再如，在乘法口訣的教學(xué)中，存在著一種認(rèn)識(shí)上的誤區(qū)：學(xué)習(xí)乘法口訣就是為了計(jì)算方便，這種片面的理解直接導(dǎo)致了“乘法口訣單元”學(xué)生學(xué)習(xí)行為的單調(diào)與機(jī)械重復(fù)，所有的乘法口訣教學(xué)流程如出一轍：相同加數(shù)連加—改編乘法算式—編口訣—背口訣—用口訣。我們必須知道，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維水平的發(fā)展應(yīng)該是一個(gè)螺旋式上升的軌跡。乘法口訣的學(xué)習(xí)，更需要對(duì)教材進(jìn)行智慧加工，力求在理解、運(yùn)用中關(guān)注學(xué)生觀察、比較、推理等多種能力的培養(yǎng)，深化對(duì)乘法基本意義的理解。例如，在“7的乘法口訣”教學(xué)中，我們可以暫時(shí)擱置口訣的簡(jiǎn)單運(yùn)用，呈現(xiàn)一幅7×6的點(diǎn)子圖，借助“數(shù)形結(jié)合”的力量，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)不同的分割方法，對(duì)7×5+7和6×6+6做出準(zhǔn)確解釋，學(xué)生對(duì)“幾個(gè)幾”的來(lái)龍去脈獲得了新的理解。由此看出，乘法口訣的學(xué)習(xí)，我們不能只關(guān)注口訣的外形，更不能盲目追求口訣記憶的速度，而應(yīng)該重視對(duì)隱藏在口訣背后的乘法意義的拓展，帶著學(xué)生真實(shí)經(jīng)歷，深度思考。

三、 有意“糾纏”，促進(jìn)思維發(fā)展

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)是教師和學(xué)生共同進(jìn)行的一種富有挑戰(zhàn)性的互動(dòng)過(guò)程，這個(gè)過(guò)程注定不會(huì)一帆風(fēng)順。雖然一些課堂看似順暢，但是透過(guò)議論紛紛、發(fā)言如潮的課堂表象，我們不難發(fā)現(xiàn)，這種表面的熱鬧掩蓋了諸多學(xué)生思維品質(zhì)的淺薄、少數(shù)學(xué)生的一知半解、個(gè)別學(xué)生的茫然無(wú)助。

當(dāng)學(xué)生第一次面對(duì)一個(gè)具有質(zhì)變意義的知識(shí)時(shí)，難免會(huì)出現(xiàn)“跑偏”“岔題”的現(xiàn)象。如果這個(gè)知識(shí)是有待完善的或是需要糾偏的，教師就應(yīng)該組織全體學(xué)生自由爭(zhēng)論，展開思辨，在思維質(zhì)變處架設(shè)起從此岸到彼岸的橋梁。

就拿“用字母表示數(shù)”的學(xué)習(xí)為例，其關(guān)鍵意義在于未知數(shù)跟已知數(shù)一樣參與運(yùn)算。這個(gè)成人很容易理解的問(wèn)題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)卻很難接受，他們很難認(rèn)同可以用一個(gè)含有字母的式子表示運(yùn)算結(jié)果。對(duì)此，我們?cè)诮虒W(xué)中沒(méi)有做輕描淡寫的處理，而是在此環(huán)節(jié)主動(dòng)出擊，主動(dòng)“糾纏”。首先，動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)同學(xué)們乘車秋游的情境，引導(dǎo)學(xué)生用一個(gè)含有字母的式子表示剩下的路程，結(jié)合線段圖感受這種表示方法的合理性。隨后通過(guò)動(dòng)態(tài)演示，感受總路程不變，已行的路程變化，剩下的路程也隨著變化的過(guò)程。如此處理，以“剩下的路程=總路程-已行路程”這一數(shù)量關(guān)系式為依托，引導(dǎo)學(xué)生穿行在逐層深入的體驗(yàn)活動(dòng)中，獲得了對(duì)用字母表示數(shù)的過(guò)程與方法、意義與價(jià)值的體驗(yàn)，使代數(shù)思想牢牢扎根在學(xué)生心中。

在組合圖形的面積教學(xué)中，筆者有意隱去圖形中的分割線，并對(duì)圖中一些數(shù)據(jù)做刪減處理，改條件具備的“成品”為條件不完全的“半成品”，按照“無(wú)輔助線，有數(shù)據(jù)”→“無(wú)輔助線，有部分?jǐn)?shù)據(jù)”→“既無(wú)輔助線，也無(wú)數(shù)據(jù)”的順序，有意讓學(xué)生在此“糾纏”，借此增加思維含量，聚焦數(shù)學(xué)思考，讓篩選、優(yōu)化、轉(zhuǎn)化等策略成為學(xué)生的自發(fā)需要，觀察、分析、類比、想象、推理等思維方法得到運(yùn)用，思維品質(zhì)在解決問(wèn)題的過(guò)程中得到扎扎實(shí)實(shí)的提高，從而感悟組合圖形面積計(jì)算之“道”。從某種意義上說(shuō)，課堂探究活動(dòng)因?yàn)椤凹m纏”而厚實(shí)了許多，對(duì)某個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)不依不饒的“糾纏”，其價(jià)值已經(jīng)超越了知識(shí)本身。

需要說(shuō)明的是，慢課堂并不是一種單調(diào)的重復(fù)，也不是思維的停滯，更多時(shí)候，我們都設(shè)計(jì)有思維含量的活動(dòng)，引導(dǎo)兒童主動(dòng)介入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，讓思維“健康而緩慢地生長(zhǎng)”。例如，長(zhǎng)方形和正方形周長(zhǎng)的練習(xí)課，整節(jié)課筆者只設(shè)計(jì)了一道“用24米的籬笆圍一個(gè)面積盡可能大的長(zhǎng)方形苗圃”的問(wèn)題，對(duì)此作“慢處理”。開放的情境，靈活的策略，從四面都不靠墻，到一面靠墻，把周長(zhǎng)和面積綜合起來(lái)，學(xué)生直面面積與周長(zhǎng)交織的現(xiàn)實(shí)情境，經(jīng)歷了辨析、比較、區(qū)別、溝通、聯(lián)系，并揭示蘊(yùn)含在其中的規(guī)律。

筆者一直認(rèn)為，課堂是一個(gè)過(guò)程，也是一種享受，越從容越有味道，所以不必太匆忙?！奥?，是為了給“想”提供時(shí)間和空間。我們應(yīng)該把課堂慢下來(lái)，耐心等待學(xué)生的舉一反三，觸類旁通，與他們一起品嘗數(shù)學(xué)的味道，享受成長(zhǎng)的快樂(lè)。

（作者單位：江蘇省高郵市天山小學(xué)）

□責(zé)任編輯 周瑜芽

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