月地低能返回軌道最優(yōu)控制策略研究

劉 玥，付凱林，荊武興，錢霙婧

（1.航天東方紅衛(wèi)星有限公司，北京100094；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱150001；3.北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京100022）

1 引言

從月球返回是我國探月工程“繞、落、回”三步走中的第三步，從月球返回地球的轉(zhuǎn)移軌道對飛船燃料需求很大，特別是未來對月球的開發(fā)中，需要將大量月球資源送回地球使用，傳統(tǒng)的雙曲拼接轉(zhuǎn)移軌道需要飛船在環(huán)月軌道施加超過880 m／s的速度增量，大載荷貨運任務(wù)往返代價很高［1?2］。 月地低能返回軌道是一種適用于無人、大載荷貨運任務(wù)的月地返回軌道，研究表明：飛船可從環(huán)月駐泊軌道出發(fā)，以最低約603 m／s的切向速度增量，經(jīng)地月L2平動點附近逃離月球影響球范圍，進(jìn)而轉(zhuǎn)移至地日平動點Halo軌道附近的區(qū)域，最終返回地球，整個返回過程耗時約100天，可節(jié)約約 25%的速度脈沖［3?4］。 由于其節(jié)能特性，月地低能返回軌道允許飛船攜帶更多物資載荷返回地球，在未來的月球開發(fā)任務(wù)中將扮演重要角色。

然而，月地低能返回軌道對飛船軌道控制精度要求苛刻。以傳統(tǒng)的月球返回軌道為例，初始的位置和速度誤差在終端可被放大數(shù)千倍，且在月地低能返回軌道中，這種效應(yīng)更為明顯［5］。因此，若保證飛船再入點軌道精度，則入軌點的控制精度需求將過于嚴(yán)苛以至于工程上難以實現(xiàn)。對此情況，若飛船入軌點出現(xiàn)偏差，則必須引入軌道控制以消除入軌偏差帶來的影響。傳統(tǒng)的地月系統(tǒng)轉(zhuǎn)移任務(wù)由于軌道尺度較小，動力學(xué)環(huán)境也較為簡單，因此飛船軌道控制的時機(jī)通常選擇在轉(zhuǎn)移初期執(zhí)行，以避免軌道誤差隨轉(zhuǎn)移時間積累［6］。但是月地低能返回軌道由于飛船需要途經(jīng)地日和地月系統(tǒng)平動點附近的引力混沌區(qū)，動力學(xué)環(huán)境極其復(fù)雜，因此修正脈沖的誤差也可能對再入點參數(shù)造成較大影響。在此情況下，需要重新規(guī)劃精確控制再入點參數(shù)的軌道控制策略，既保證終端參數(shù)的精度，又兼顧節(jié)省燃料消耗的目的。對于此類弱穩(wěn)定軌道的控制問題，有學(xué)者作了相關(guān)的研究。例如，Parker和Marchand分別對傳統(tǒng)地月轉(zhuǎn)移軌道的敏感性和軌控燃料消耗特性進(jìn)行了研究［7?8］，而 Renk 和 Folta 則針對弱穩(wěn)定軌道設(shè)計了軌道保持控制策略［9?10］，以上研究均是月地低能返回軌道控制策略設(shè)計的重要參考。

此外，在月地低能返回任務(wù)中，飛船定軌精度與地月距離密切相關(guān)且定軌的誤差也直接影響著軌道修正的精度。例如，月球逃逸階段，激光測距定軌技術(shù)可為飛船提供米級精度的軌道確定數(shù)據(jù)［11］；而飛船地日轉(zhuǎn)移階段，由于地月距離過大，只能依靠甚長基線干涉測量定軌（VLBI），在地日平動點附近，其精度只能在22 km左右［12］。因此，軌道確定的誤差將對軌道控制脈沖的計算產(chǎn)生較大影響，軌道控制策略需要進(jìn)一步深入研究和設(shè)計。

本文為解決低能返回軌道入軌控制精度要求苛刻、工程實現(xiàn)性較差的問題，通過分析計算軌道初始飛行狀態(tài)誤差的傳播特性與軌道對控制脈沖的敏感度，設(shè)計節(jié)約燃料的軌道偏差修正策略，并對所設(shè)計的修正策略進(jìn)行帶有控制和測量誤差的仿真打靶，以驗證控制策略的有效性。

2 動力學(xué)與軌道分析

2.1 動力學(xué)模型

由于地球、太陽、月球的引力對于飛船返回過程均有明顯影響，特別是貨運飛船逃逸月球階段，飛船軌道受日月引力與月球橢圓運動影響極為劇烈。因此，有必要引入橢圓四體動力學(xué)模型，以準(zhǔn)確反映飛船在日地月系統(tǒng)中的運動。

橢圓四體動力學(xué)模型在地月旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中建立，Oc為坐標(biāo)系原點，位于地月質(zhì)心，X和Z軸分別指向月球質(zhì)心和地月角動量方向，Y軸與另外兩軸形成右手系，如圖1所示。在地月旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，飛船的動力學(xué)方程如式（1）［3］：

圖1 橢圓四體模型Fig．1 Elliptical four?body model

其中，ω為地月旋轉(zhuǎn)系的角速度矢量，rpe、rpm、rps為地球、月球和太陽到飛船的位置矢量，μe、μm、μs為地球、月球和太陽的引力常數(shù)， rs為太陽相對地月質(zhì)心的位置矢量。

2.2 月地低能返回軌道設(shè)計

橢圓四體模型下，月地低能返回軌道可以通過選擇合適的飛船初始飛行狀態(tài)來獲得。本文假設(shè)飛船初始軌道為一個100 km高的環(huán)月白道圓軌道［13］，對從環(huán)月軌道上任意時刻從不同月心經(jīng)度位置上出發(fā)，施加不同切向速度脈沖后飛行器的運行軌跡進(jìn)行遍歷搜索，尋找能夠返回地球的最省能量軌道方案。經(jīng)過搜索得到，在2020年1月5日，當(dāng)運行至月心經(jīng)度為224°時，對飛船施加623 m／s的切向脈沖，而后飛船經(jīng)地月L2平動點附近逃逸月球影響球進(jìn)入低能返回軌道，整個返回任務(wù)大約耗時129天，飛船與地球的最遠(yuǎn)距離約為1 325 200 km，再入點高度為130 km。返回軌道在地月旋轉(zhuǎn)系（Earth?Moon Rotating Frame， EMRF）和地日旋轉(zhuǎn)系（Earth?Sun Rotating Frame，ESRF）下的仿真圖如圖2和圖3所示。

圖2 地月旋轉(zhuǎn)系下的低能返回軌道Fig．2 Low energy moon return trajectory in EMRF

圖3 地日旋轉(zhuǎn)系下的低能返回軌道Fig．3 Low energy moon return trajectory in ESRF

利用此方式返回地球，可以節(jié)約大約23%的總速度脈沖［4］，但飛船入軌精度對再入點的影響需要進(jìn)一步分析。

3 月地低能返回軌道控制策略設(shè)計

3.1 初始狀態(tài)誤差傳播特性

由于導(dǎo)航和軌道控制偏差，飛船并不能精確進(jìn)入標(biāo)稱返回軌道，因此再入點參數(shù)會出現(xiàn)偏差，甚至不能滿足終端再入需求。

為定量描述入軌偏差對再入點高度的影響，本文引入了協(xié)方差分析法對其進(jìn)行分析。

定義 δX ＝ [δT0δx0δv0]為飛船入軌時刻、入軌位置和入軌速度偏差，δH為再入點高度的偏差，二者有式（2）所示關(guān)系：

其中， Γ ( tf，t0)為初始狀態(tài)到再入點軌道高度的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，因此，終端再入點軌道高度的協(xié)方差矩陣可以寫為式（3）所示形式：

其中， E[ δX· ( δ X)T]為初始飛行狀態(tài)的協(xié)方差，由上式即可計算初始軌道誤差到終端再入點參數(shù)的誤差傳播特性。本文中，初始飛行狀態(tài)的偏差可以寫為式（4）所示具有高斯分布特性的對角陣形式［14］。

由上式可以計算得到初始飛行狀態(tài)與終端再入點高度誤差協(xié)方差關(guān)系如圖4所示。

圖4 初始狀態(tài)誤差傳播特性Fig．4 The propagation properties of initial state er?rors

圖中可以看出，再入點高度的誤差協(xié)方差與初始狀態(tài)誤差協(xié)方差基本呈線性關(guān)系，且再入點高度對初始飛行狀態(tài)及其敏感，若保證再入點高度誤差在2 km以內(nèi)，則入軌時刻、位置和速度的誤差不能超過2 s、60 m和8 cm／s。這樣的入軌精度，以現(xiàn)有嫦娥2號高精度變軌技術(shù)水平，相對精度為0.1%，對600 m／s以上的變軌速度增量而言，仍可能造成超過0.6 m／s的速度增量誤差，仍不能滿足終端再入條件［15］。因此必須引入軌道控制以消除再入點高度偏差。

3.2 軌道控制策略設(shè)計

考慮到月地低能返回軌道動力學(xué)環(huán)境的復(fù)雜性和導(dǎo)航控制系統(tǒng)所能提供的入軌精度無法滿足低能返回軌道終端再入點條件，有必要設(shè)計一種盡可能節(jié)省修正燃料消耗的軌道修正策略。本文采取與協(xié)方差分析法類似的手段，研究軌道上不同位置的隨機(jī)控制量到終端再入點高度的誤差傳播特性，以建立軌道對修正的敏感度模型。因此，可將再入點高度與修正脈沖的關(guān)系式表示為式（5）：

其中，Γm為修正點飛行狀態(tài)到終端再入點高度的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，δv＝σv為具有高斯分布特性的修正速度脈沖，λ為加權(quán)系數(shù)，用于反映導(dǎo)航誤差對軌道修正的影響。由式（5）可以得到圖5所示返回軌道對在其不同位置施加修正的敏感程度，用再入點高度與修正脈沖大小的協(xié)方差之比表示。

圖5 再入高度敏感性Fig．5 Sensitivity of reentry altitude

圖5 存在兩個峰值，分別位于飛船到達(dá)地月L2平動點附近和到達(dá)遠(yuǎn)地點的時刻。在這兩個位置上，返回軌道再入點高度對修正脈沖最為敏感，可以利用最小的修正量實現(xiàn)再入點高度偏差的消除，從而節(jié)約了修正所需的燃料。這種敏感性帶來的缺陷是軌道同樣對修正誤差較為敏感，若修正量存在偏差，則此偏差仍然會對再入點高度造成較大影響，為解決此問題，需要加入額外的一次補(bǔ)充修正以消除前兩次修正遺留的軌道偏差。綜上，可以設(shè)計優(yōu)化的軌道修正策略如下：

修正點A：當(dāng)飛船到達(dá)地月L2點時進(jìn)行修正

修正點B：當(dāng)飛船到達(dá)遠(yuǎn)地點時進(jìn)行修正

修正點C：當(dāng)飛船再次到達(dá)地月系統(tǒng)之內(nèi)（星地距離再次小于380 000 km時）進(jìn)行補(bǔ)充修正。

在各修正點，根據(jù)測量到的飛船飛行狀態(tài)，按照式（6）～（7）所示牛頓迭代法計算修正脈沖。

4 仿真驗證分析

為驗證本文提出的軌道修正策略的有效性，采用蒙特卡洛打靶法對返回軌道進(jìn)行仿真，分析對具有隨機(jī)初始偏差的低能返回軌道進(jìn)行三脈沖修正后再入點高度的控制結(jié)果，使用2.2節(jié)中算例的軌道作為打靶仿真的標(biāo)準(zhǔn)軌道，表1為仿真使用的低能返回軌道初始參數(shù)。

表1 低能返回軌道初始參數(shù)Table 1 Initial parameters of the low energy Moon re?turn trajectory

利用此初值生成標(biāo)稱軌道，將表2中給出的入軌和控制誤差源，代入標(biāo)稱軌道中進(jìn)行修正策略仿真計算，驗證修正策略的有效性。

表2 月球低能返回軌道誤差源Table 2 Error resource for low energy moon return trajectory

按照以上入軌誤差數(shù)據(jù)，所形成的軌道不可能滿足再入點高度約束條件，必須實施軌道修正。本文使用蒙特卡洛打靶法進(jìn)行1000次打靶計算，修正策略使用前一節(jié)提出的三點修正策略，計算結(jié)果的散布情況如圖6～9所示。

圖6 再入高度采樣Fig．6 Sampling of reentry altitude

圖7 第一次脈沖大小采樣Fig．7 Sampling of the first pulse

圖6 中低能返回軌道再入點高度基本控制在130±2 km以內(nèi)，說明本文提出的三脈沖修正策略可以有效消除再入點高度偏差，可滿足低能返回軌道終端約束條件。

圖8 第二次脈沖大小采樣Fig．8 Sampling of the second pulse

圖9 第三次脈沖大小采樣Fig．9 Sampling of the third pulse

從圖7～9中可以看出，三次修正脈沖的大小平均值保持在12 m／s、5 m／s和1.5 m／s以內(nèi)，而總修正脈沖保持在20 m／s以內(nèi)，僅占整個任務(wù)所需變軌脈沖大小的約3.2%。可以得出結(jié)論：本文提出的三脈沖修正策略可有效精確控制月地低能返回軌道終端參數(shù)。

圖10和圖11所示為修正軌道仿真結(jié)果，分別在地月旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下和地日旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下繪制，可以明顯看出三次修正脈沖的施加位置，分別位于月球L2平動點附近、飛行器遠(yuǎn)地點以及月球軌道邊界處。

5 結(jié)論

本文提出的三脈沖軌道修正策略按照低能返回軌道對修正脈沖的敏感性設(shè)計修正時機(jī)，并在考慮定軌誤差的前提下計算修正脈沖，可以有效地消除再入點高度偏差。

圖10 地月旋轉(zhuǎn)系下的軌道修正仿真結(jié)果Fig．10 Simulation result of orbit correction in EM?RF

圖11 地日旋轉(zhuǎn)系下的軌道修正仿真結(jié)果Fig．11 Simulation result of orbit correction in ESRF

（

）

［1］ Perino M A，F(xiàn)enoglio F，Pelle S，et al.Outlook of possible European contributions to future exploration scenarios and ar?chitectures［J］.Acta Astronautica， 2013（1）： 25?34.

［2］ Stansbery E K，Draper D S.The role of sample return and sample science in low cost missions［J］.Acta Astronautica，2014（1）： 453?459.

［ 3 ］ Ivashkin V V.On particle’s trajectories of Moon?to?Earth space flights with the gravitational escape from the lunar at?traction［J］.Doklady Physics.MAIK Nauka／Interperiodica，2004（9）： 539?542.

［4］ 荊武興，劉玥.橢圓三體問題下月球L2低能逃逸軌道設(shè)計［J］.航空學(xué)報， 2014， 35（6）： 1496?1504.Jing W，Liu Y.Designing of the optimal energy escaping orbit of Lunar probe from L2 point in elliptical three?body problem［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2014，35（6），1496?1504.（in Chinese）

［5］ Liu Y，Qian Y J，Ma L，et al.A comparison of accuracy and efficiency of three control strategy design methods for low en?ergy moon return mission［C］ ／／Chinese Control and Decision Conference （CCDC），May 25?27，2014，Changsha， China.

［6］ 周文艷，楊維廉.月球探測器轉(zhuǎn)移軌道的中途修正［J］.宇航學(xué)報， 2004， 25（1）：89?92.Zhou W Y， Yang W L.Mid?correction of trans?lunar trajecto?ry of lunar explorer［J］.Journal of Astronautics， 2004， 25（1）：89?92.（in Chinese）

［7］ Marchand B G，Scarritt S K，Pavlak T A，et al.A dynamical approach to precision entry in multi?body regimes： Dispersion manifolds［J］.Acta Astronautica， 2013（1）：107?120.

［8 ］ Parker J S， Anderson R L.Targeting low?energy transfers to low lunar orbit［J］.Acta Astronautica， 2013（1）：1?14.

［ 9 ］ Renk F， Landgraf M.Sun?Earth libration point transfer op?tions with intermediate HEO［J］.Acta Astronautica， 2012（1）： 1?19.

［10］ Folta D C， Pavlak T A， Haapala A F， et al.Earth?Moon li?bration point orbit station keeping： theory， modeling， and op?erations［J］.Acta Astronautica， 2014（1）： 421?433.

［11］ Vetrisano M，Branco J，Yarnoz D G， et al.Deflecting small asteroids using laser ablation： deep space navigation and as?teroid orbit control for light touch 2 mission［C］ ／／Guidance，Navigation， and Control and Co?located Conferences， August 19?22， 2013， Boston， MA：1?21.

［12］ Feng D Z，Guo H H，Wang X， et al.Autonomous orbit de?termination and its error analysis for deep space using X?ray pulsar［ J］.Aerospace Science and Technology， 2014， 32（1）： 35?41.

［13］ Li J， Gong S， Baoyin H.Generation of multisegment lunar free?return trajectories［ J］.Journal of Guidance， Control，and Dynamics， 2013， 36（3）： 765?775.

［14］ 鄭愛武，周建平，胡松杰.月地返回軌道控制誤差傳播及分離點位置精度分析［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2012，34（12）： 2529?2534.Zheng Aiwu， Zhou Jianping， Hu Songjie.Error propagation control of Moon?to?Earth return trajectory and position accura?cy evaluation of separation point［ J］.Systems Engineering and Electronics， 2012， 34（12）： 2529?2534.（in Chinese）

［15］ 黃江川，宗紅，李驥，等.嫦娥二號衛(wèi)星高可靠高精度變軌控制技術(shù)［J］.中國科學(xué)：技術(shù)科學(xué)，2013（7）：727?732.Huang Jiangchuan， Zong Hong， Li Ji， et al.Orbit control technology for Chang’ e?2 satellite with high reliability and high precision［J］.SCIENTIA SINICA Technologica， 2013（7）：727?732.（in Chinese）