基于全局優(yōu)裝法的共軸光學系統裝調研究

劉子建 易廣威

摘 要：以共軸光學系統中圓柱形零件圓環(huán)形裝配平面為研究對象，研究了裝調中多零件對接時基準軸的角偏誤差傳遞與補償原理.首先分析了共軸光學系統的實際裝調方法和典型定中心基準軸傳遞路徑.然后基于誤差測量和最小二乘法，確定擬合圓環(huán)形裝配平面方程.運用幾何變換理論得到精確描述單個零件底面和頂面的角偏誤差的變換矩陣，以及兩零件裝配時結合面上兩坐標系間的變換矩陣，建立了多零件裝配時始末法線角偏誤差與相對裝入角度的顯式函數關系.針對不同類型的定中心基準軸傳遞路徑，采用不同的遺傳算法方案實現了對始末法線角的優(yōu)化，提出了求解相對裝入角度允許誤差的方法.最后提出了一種基于全局優(yōu)裝法的共軸光學系統裝調方法，并以某共軸光學系統為例，驗證了本文方法的可行性與實用性.

關鍵詞：共軸光學系統；全局優(yōu)化；光學裝調；定中心基準軸；遺傳算法

中圖分類號：TN206 文獻標志碼：A

Abstract：Taking the ring assembly plane of cylinder part of coaxial optical system as the research object， the principle of tilt error transfer and compensation of fiducial axis in the case of multiple parts assembling was studied. Firstly， optical alignment of coaxial optical system and typical centering fiducial axis transfer paths were analyzed. And then error measurement and Least Square Method were conducted to fit the ring assembly plane of cylinder part and to get the coefficients of leastsquares plane equation. By the theory of 3D geometry transformation， the transformation matrices precisely describing the tilt error of bottom face and top face in a single part， the transformation matrices of two coordinate systems of assembly joint surface in the case of two parts assembling and the function relationship between the angle between two Normal Lines of Initial Bottom Surface and End Top Surface （ANLIBSETS） and the Relative Load Angle （RLA） in the case of multiple parts assembling were established. Aiming at different types of centering fiducial axis transfer paths and applying different genetic algorithm plans， the optimization of ANLIBSETS was achieved. The method of solving the error of RLA was proposed. Finally， an optical alignment method of coaxial optical system based on global optimization alignment method was proposed. The feasibility and practicability of this method are verified by an example of a coaxial optical system.

Key words：coaxial optical systems；global optimization；optical alignment；centering fiducial axis；genetic algorithm

隨著先進光學檢測和計算機輔助裝調（CAAComputer Aided Alignment）等技術的發(fā)展，國內外學者對共軸光學系統裝調技術的研究不斷深入.廖志波等[1]利用CAA技術，通過設置補償環(huán)節(jié)對一次裝調后透射式共軸光學系統的初級像差進行調整.郭夏銳等[2-3]通過分析透射式共軸光學系統各光學元件光軸一致性誤差對光學系統像差的影響，提出一種基于像差分析和仿真預估指導光軸一致性裝調的方法.Rimmer M P[4]提出一種利用阻尼最小二乘法進行測量，并比較射線跟蹤波前之間的差異，通過測量系統波前均方根來確定對透鏡系統定心裝調的方法.栗孟娟等[5]將光學設計和裝調設計相結合，對裝調公差進行再分配和補償.

以上研究直接關注共軸光學系統的光軸一致性誤差對系統像差的影響，進而求解光學系統失調量，以此指導系統的裝調.通過系統像差，理論上可獲得各光學元件光軸與基準軸偏角的調整量，然而，由于共軸光學系統的成像對透鏡的傾斜誤差極為敏感，目前的裝調工藝還難以實現對各光學元件軸偏角進行精準裝調，尤其對于實際應用中的多個光學元件均含有加工誤差的復雜系統，難以保證通過裝調可以獲得性能最佳的光學系統.

鑒于任何光學系統中參與裝配的零件均含有加工誤差，如共軸光學系統的透鏡、鏡組部件、鏡筒、鏡框和壓圈等，零件通過彼此的裝配平面相互貼合形成結合面以實現裝配，結合面可以傳遞和補償誤差[6]，因而結合面誤差是決定光學系統裝調精度的內在因素.本文從共軸光學系統零件的裝配平面入手，提出圓環(huán)形裝配平面的擬合方法；通過研究各結合面誤差的傳遞原理，建立共軸光學系統裝配誤差優(yōu)化補償的目標函數；針對不同裝配方法和裝配條件，提出對應的遺傳算法，得到符合共軸光學系統裝調精度要求的誤差補償優(yōu)化解，最后總結出一種精確量化的共軸光學系統全局優(yōu)化裝調方法.應用本文提出的精確量化裝調方法，不僅可以大幅提高共軸光學系統裝調的效率，理論上也可以獲得最佳成像質量的共軸光學系統.

1 定中心基準軸傳遞

在共軸光學系統裝調中，以某一基準軸為參照進行的減小透鏡光軸偏差的操作稱為定中心.每一步裝調都考慮基準軸誤差的影響，稱為定中心基準軸傳遞， 其含義是各裝調的基準軸誤差在定中心操作中均處于某一規(guī)定的精度范圍內，其中保證初始零件和末端零件基準軸的同軸程度尤為重要.如果定中心基準軸傳遞狀態(tài)被破壞，將嚴重影響光學系統分辨力、畸變和對比度等性能[7].

1.1 光學系統的裝調方法

光學系統的裝調方法主要有如下三種：

1）隨機裝調法，一種完全依賴于人工經驗的裝調方法，效率低，難以達到高精度.

2）逐步優(yōu)裝法，即通過調節(jié)每個裝調工序裝入零件的裝入角度，使得本工序結束后當前光軸角偏誤差最小或光學系統成像質量最優(yōu).

3）全局優(yōu)裝法，建立誤差傳遞模型，通過優(yōu)化算法確定每個工序裝入零件后的合理光軸角偏誤差，保證裝調獲得的最終光學系統成像質量總體最優(yōu)（或滿足要求）.

隨機裝調法需要反復試裝多次還難以獲得理想成像質量.逐步優(yōu)裝法可使每一工序完成后獲得相對最優(yōu)的成像效果，而系統的最終成像質量未必是最優(yōu)，裝調效率也難以提高.全局優(yōu)裝法著眼全局，保證光學系統最終的成像質量最優(yōu).然而，如果不充分考慮結合面誤差因素，將導致現有的全局優(yōu)裝法原理上可行，實際裝調可操作性不強[8].針對這一問題，本文提出一種考慮每個工序裝入零件的結合面誤差，通過建立誤差補償優(yōu)化算法，直接利用零部件加工誤差補償光學系統角偏誤差的光學系統全局優(yōu)裝方法，以期在保證總體成像質量最佳的前提下，提高光學系統裝調的效率和可操作性.

1.2 共軸光學系統裝調的定中心基準軸傳遞路徑

光學系統裝調過程的控制可以概括為：首先得到待控制的目標值與裝調變量的關系，然后通過一定的優(yōu)化方法，得到使目標值滿足要求的一組變量值.在共軸光學系統裝調中，此問題的變量即為系統中若干組裝配對接零件間的相對裝入角度，待控制的目標值即為光學系統成像質量.現有技術可通過裝調使得各透鏡光軸相對其定中心基準軸的角偏誤差極小，據此可假設如果保證了定中心基準軸傳遞的準確性，則光學系統的最終成像質量將最優(yōu).

基于鏡組部件結構的兩種共軸光學系統典型實例[9]如圖1和圖2所示.現分析鏡組部件之間的裝配關系，可以得出3種定中心基準軸傳遞路徑.

1）第一類傳遞路徑.如圖1所示的鏡組部件1～5均為兩兩直接接觸，裝調時兩鏡組部件可以繞基準軸線的任意角度（稱為裝入角度）裝入和固定，傳遞路徑由初始鏡組部件到末端鏡組部件，如由鏡組部件1到鏡組部件5.

2）第二類傳遞路徑.如圖2所示，各鏡組部件的端面與對應鏡筒內臺階的圓環(huán)形平面結合，鏡組間互不接觸.此時，定中心基準軸傳遞路徑由初始鏡筒傳遞到末端鏡筒，如由鏡筒38到鏡筒16.由于兩鏡筒之間通常采用螺栓連接，鏡筒的裝入角度可取值范圍受到螺栓數量及布置方式的限制.

3）第三類傳遞路徑.如圖2所示，從一個鏡筒中的鏡組部件傳遞到另一個鏡筒中的鏡組部件.鏡組部件可采用任意裝入角度與鏡筒裝配，兩鏡筒裝配時鏡筒裝入角度可取值范圍受連接方式限制.

以上三種傳遞路徑的基準軸傳遞本質上均屬于圓柱形零件的定中心對接問題.共軸光學系統的機械誤差來源主要包括零件加工誤差和裝配過程誤差兩方面[10].這些誤差綜合表現為零件基準軸間的傾斜和平移誤差[11].受到徑向平移誤差的影響，基準軸間的平移誤差需要通過調整工裝來控制.而鏡筒、鏡框的加工誤差和裝配過程誤差將直接導致基準軸間的角偏誤差，因此本文主要研究角偏誤差.

對于一條確定的傳遞路徑，指定路徑開始的第一個裝配件的底面為初始零件端，另一端為頂面，類似地也可定義參與裝配的所有零件的底面和頂面.設鏡筒38先行裝配，角偏誤差示意圖如圖3所示，圖中以點畫線注明了各鏡筒基準軸，以細實線注明了底面和頂面上的法線.

一般地，各零件裝配平面上的法線與基準軸具有一定角偏誤差.但在高精度共軸光學系統中，為保證裝配精度，會對初始零件底面和末端零件頂面進行精磨修正，使得這些面上通過軸心點的法線與零件的基準軸盡可能重合.據此，在本文研究中假設傳遞路徑中初始基準軸和末端基準軸的夾角等同于初始零件底面法線與末端零件頂面法線間的夾角，簡稱為始末法線角.基于這一假設，借助于結合面控制始末法線角偏差滿足一定精度要求，達到定中心基準軸準確傳遞的目的.

2 圓環(huán)形裝配平面的最小二乘法模擬

鏡組部件和鏡筒為圓柱（筒）形零件，研究其加工誤差導致的角偏誤差的傳遞，重點要討論裝配平面表面誤差及由其引起的法線角偏誤差.

2.1 零件表面誤差的描述方法

零件的真實截面輪廓形狀較為復雜，按照波距劃分，大于10 mm的為形狀誤差；處于1～10 mm之間的為表面波紋度；小于1 mm的為表面粗糙度.如圖4所示.

在零件表面有規(guī)律的取若干點進行擬合可得到零件表面的擬合面，由擬合面的平面方程參數可反映真實面相對理想面的位置誤差，如圖5所示.目前對結合面接觸模型的研究均以最小二乘面作為等效接觸面的基準面，如浙江大學的裘辿[12]即利用最小二乘擬合面計算實際零件表面相對于理想表面的夾角.而真實表面的粗糙度和波紋度，以及法向載荷主要影響的是面面貼合的真實定位距離[13].由于基于最小二乘法的平面擬合綜合考慮了三種表面誤差成分，故可用最小二乘擬合面替代裝配平面.

共軸光學系統的兩個零件進行裝配時，假設施加均勻的裝配連接力，則兩零件的擬合結合面理論上應與兩零件的擬合面平行，隨著裝配連接力大小的變化，兩零件的擬合面之間的距離誤差，即裝配過程誤差也會發(fā)生變化.本文暫不考慮裝配連接力的影響，假設裝配過程誤差為零，則兩零件表面的擬合面在裝配操作完成后重合形成結合面.

2.2 基于最小二乘法的圓環(huán)形平面擬合

鑒于鏡筒和鏡組部件的裝配結合面均為圓環(huán)形平面，采用高精度圓柱度儀測量垂直度誤差的原理，可在對零件調平調心（使零件基準軸與圓柱度儀主軸重合）后，測量圓環(huán)形平面上任意一點的坐標.根據國家標準[14]對圓環(huán)形平面測量布點的規(guī)定，在被測面上選取半徑差為r0的m個同心圓，每個圓上選取等距離的t個被測點，如圖6所示.

此時變量的可取值個數是一個有限大整數.采用二進制編碼只適用于連續(xù)變量和變量維數為2L的離散變量（用L位二進制表示）的情況，對任意變量維數的離散變量的二進制編碼，易出現編碼冗余和產生較多不可行解[19].必須采用整數編碼取代二進制編碼，才能對螺栓個數為任意值的情況進行優(yōu)化.

對第三類傳遞路徑，因其包含第二類傳遞路徑，假設先對若干個鏡筒進行裝配，對其中鏡筒零件組成的第二類傳遞路徑進行優(yōu)化后，求解得到鏡筒與鏡筒之間的相對裝入角度.然后將所有鏡筒視為一個部件，將此部件與始末兩個鏡組部件進行裝配，此時可根據對第一類傳遞路徑的優(yōu)化方法求得鏡組部件與鏡筒的相對裝入角度.

以第二類傳遞路徑的始末法線角優(yōu)化為例，其遺傳算法流程如圖10所示.

4.2 零件相對裝入角度誤差范圍求解

通過遺傳算法求得一組合適的零件相對裝入角度后，在實際裝配時，操作人員對零件相對裝入角度的控制是有限的.需確定一個合適的相對裝入角度誤差范圍，操作人員在裝入零件時，控制相對裝入角度在該誤差范圍內，能保證始末法線角滿足精度要求.該誤差范圍太大則會增加裝配成本，太小則無法保證始末法線角的精度.

4.3 共軸光學系統裝調方法

基于全局優(yōu)化法的共軸光學系統裝調方法主要步驟如下：

1） 根據第2節(jié)和第4節(jié)所述方法，測得各鏡組部件、各鏡筒裝配平面點數據；根據第1節(jié)所述的實例確定傳遞路徑類型.

2） 由式（6）求得傳遞路徑中各零件底面擬合平面系數ak，bk，頂面擬合平面方程的系數a′k，b′k；標記yk軸和y′k軸.根據傳遞路徑類型確定可能的相對裝入角度，利用式（19）建立始末法線角與相對裝入角度的顯式函數關系.

3） 根據傳遞路徑的類型，確定遺傳算法參數，包括種群規(guī)模M、交叉概率Pe、變異概率Pm和最大遺傳代數G等，代入本文編寫的遺傳算法MATLAB優(yōu)化程序.

4） 運行遺傳算法優(yōu)化程序，得到一組合適的相對裝入角度變量值θ，根據圖11調用本文編寫的MATLAB程序求得相對裝入角度誤差范圍±Δθ.

5） 根據所標記的yk軸和y′k軸，按照θ并考慮±Δθ依次裝入鏡組部件和鏡筒.

在極高精度共軸光學系統中，考慮像差影響因素，可將上述方法與CAA技術相結合，一方面驗證本文方法的準確性，另一方面根據像差結果進行微量調整，獲得更佳的成像質量.

5 實例分析

針對某共軸光學系統，零件個數n=8的情況，假定各裝配平面的公差要求均一致，位置公差TP=0.04，形狀公差，Ts=0.02；零件直徑d=100；認定目標函數值小于10-5即滿足精度要求.作為仿真實例，可根據理想平面SDT（Small displacement torsor）分量的變動范圍不等式[6]對裝配平面的點進行模擬.運行本文編寫的MATLAB程序可模擬得到一個零件的底面和頂面點坐標并計算得到擬合平面系數.表1為求出的一組數據（令初始零件底面和末端零件頂面擬合平面系數均為0）.

5.1 第一類傳遞路徑的始末法線角優(yōu)化

對于第一類傳遞路徑，根據類似圖10的遺傳算法優(yōu)化流程，采用MATLAB軟件編寫程序.設定種群規(guī)模M=20、交叉概率Pe=0.7、變異概率Pm=0.05和最大遺傳代數G=50.若在一個與圖1所示類型的光學系統中，包含8個鏡組部件，兩相鄰鏡組部件通過端面接觸定位，需確定由第1個鏡組部件到第8個鏡組部件的始末法線角.現給出5組運行結果的最優(yōu)目標函數值和變量解，優(yōu)化結果（保留四位小數）如表2所示，其中第4組運行結果的目標函數值隨遺傳代數的變化如圖12所示.

經過多次運算，發(fā)現其均易收斂，φn最小可達到2.1073×10-8，遠小于1″（1″用弧度制表示約為4.8×10-6），趨近于0.

每次遺傳算法程序的運行在使得最終始末法線角接近于0的情況下，得到的相對裝入角度變量數據各不相同，各對應變量間相差較大，這說明在共軸光學系統中，以各零件相對裝入角度為變量、以始末法線角為目標值的目標函數是多元多峰函數.

在此求取5組運行結果對應的各組相鄰零件基準軸夾角的均方根進行比較，可在控制始末法線角的基礎上保證兩零件間的基準軸夾角不至過大.此均方根值計算公式如下

式中，φk.（k+1）為兩相鄰零件基準軸夾角，根據第3節(jié)末的分析可求得.

以上5組運行結果，第5組的φrms最小，取第5組運行結果對應的變量解作為指導光學系統裝調的依據.根據4.2節(jié)中相對裝入角度誤差范圍求解流程編寫MATLAB程序，運行結果顯示，在本例中，各相對裝入角度變量在±1°范圍內變動，目標函數值仍滿足精度要求.

5.2 第二類傳遞路徑的始末法線角優(yōu)化

設8個鏡筒裝配，相鄰兩鏡筒間通過6個螺栓連接，仍以表2中零件誤差數據為例，假設Δk+1，Δk′均為0.種群規(guī)模M=200、交叉概率Pe=0.7、變異概率Pm=0.05和計算代數G=200.多次運行根據圖10的遺傳算法優(yōu)化流程編寫的MATLAB程序，取其五組優(yōu)化結果如表3.