楔形空間中圓弧形沉積對平面P波的散射解析解1

楊 宇 朱秀云 楊智博 李 亮

（環(huán)境保護部核與輻射安全中心，北京 100082）

引言

局部不規(guī)則或不均勻場地對地震波的放大作用是近年來頗為引人關(guān)注的研究課題之一。破壞性地震的震害調(diào)查結(jié)果讓人們認(rèn)識到了這一問題的存在，強震記錄的分析證實了場地條件對地震動的影響。我國從20世紀(jì)60年代開始關(guān)注此類問題的研究（周錫元，1965；胡聿賢等，1980）。1970年通海地震發(fā)生在云南通海、建水、峨山3個縣交界的山區(qū)，位于局部孤立突出地形上的小山村和平地上同類地基的村莊相比，震害一般均較重。1974年云南永善-大關(guān)地震中，坐落于弧突山梁之上的蘆永灣六隊受地震破壞比較嚴(yán)重，且震害因所處位置地形不同差異明顯：弧突形勢最明顯的端部破壞最重，烈度高達(dá)Ⅸ度；弧突形勢不明顯的鞍部破壞較輕，烈度僅為Ⅶ度。1976年唐山地震中也有類似的例子，如位于遷西縣景忠山頂部的廟宇式建筑大多嚴(yán)重破壞和倒塌，可評為Ⅸ度；位于山腳周圍的7個村莊的烈度普遍為Ⅵ度，在高差約300m的山頂與山底，烈度可相差3度之多。在2008年汶川地震中，位于自貢西山公園山脊地形上的強震動觀測臺陣記錄到的數(shù)據(jù)也證明了山脊地形山頂對地震波的放大效應(yīng)要遠(yuǎn)大于山腳（楊宇等，2011）。

局部地形對地震動影響問題的理論分析方法可以分為解析法（Trifunac，1971；Wong等，1974；Todorovska等，1991；Yuan等，1995；梁建文等，2000，2001）和數(shù)值法（Boore等，1971；Dravinski，1983；杜修力等，1992；Sánchez-Sesma等，1993；廖振鵬，2002）。解析法主要有波函數(shù)展開法、分離變量法、正交函數(shù)法、傅立葉變換和維納-霍普夫（Wiener-Hopf）方法等；數(shù)值法包括有限元法、有限差分法、邊界元法、有限元-邊界元、有限元-有限差分、離散波速法-有限元-有限差分等混合方法。原則上講，數(shù)值法可解決各種復(fù)雜場地的動力響應(yīng)問題。但是，解析法在問題本質(zhì)的分析方面有著數(shù)值法無可替代的作用，而且解析法還可用來檢驗數(shù)值方法的精度。

我國重慶、青島、大連等地有大量建筑座落在山坡、山頂或者近海高岸上，宏觀上，此類地形一般可簡化為楔形或階梯場地。已有的解析法研究一般基于半空間假定，楔形空間同半空間相比有著本質(zhì)的區(qū)別，在問題的處理上也更復(fù)雜。目前，對于楔形空間的研究成果較少，且均針對SH波入射，如MacDonald（1902）利用貝塞爾（Bessel）函數(shù)的展開給出了楔形地形在全空間中解的表達(dá)式；Sánchez-Sesma（1985）利用MacDonald給出的公式研究了SH波在楔形空間中的衍射；Lee等（1996a，1996b）研究了平面SH波在頂點處有圓弧形峽谷的楔形地形中的衍射以及平面SH波在頂點處有圓弧形沉積的楔形地形中的衍射；Dermendjian等（2003a，2003b）采用矩量法研究了楔形空間中任意形狀凹陷地形和剛性基礎(chǔ)對SH波的散射；史文譜等（2006，2007）則采用復(fù)變函數(shù)法分別求解了楔形空間中（直角情況）固定圓形夾雜和圓孔對SH波的散射；劉中憲等（2010a，2010b）研究了楔形空間中圓弧形沉積對平面SH波的散射解析解以及楔形空間中圓弧形凹陷對平面SH波的散射解析解。

綜上所述，目前的研究成果主要針對SH波的散射問題。對于P、SV這樣的矢量波，由于它們在邊界上會出現(xiàn)波形轉(zhuǎn)換，嚴(yán)格滿足楔形空間邊界條件的散射波函數(shù)難以精確構(gòu)造，問題比SH波要復(fù)雜的多，因此研究成果較少（楊宇，2005）。本文采用2個大圓弧面分別模擬楔形空間的2個表面，使得滿足邊界條件的散射波函數(shù)易于構(gòu)造且邊界條件易于處理，給出了楔形空間中圓弧形沉積對平面P波的散射解析解，以期填補解析解庫的空白。

1 模型與求解

圖1所示模型為一楔形空間，斜面與水平面夾角為θ0，在其頂點周圍鑲嵌圓弧形沉積河谷，圓弧沉積的圓心在楔形的頂點O，圓弧沉積半徑為a。沉積介質(zhì)和楔形空間介質(zhì)均為彈性、均勻和各向同性，它們的材料性質(zhì)由μv、μs和ρv、ρs、λv、λs確定，μ為介質(zhì)的剪切模量，ρ為介質(zhì)的密度，λ為拉梅常數(shù)，下標(biāo)v代表沉積介質(zhì)，s代表楔形空間。一圓頻率為ω的平面P波以角度θα入射，在直角坐標(biāo)系Oxy中可以用勢函數(shù)表示：

圖1 模型和波散射示意圖Fig.1 Illustration of the model and scattering of waves

為簡化書寫，在下面的分析中將時間因子exp(－iωt)略去，則式（1）可表示為：

入射P波在界面Ⅰ、Ⅱ反射后的反射波既有P波也有SV波，在界面Ⅰ的反射P波和SV波勢函數(shù)可分別表示為：

其中，θβ為SV波在界面Ⅰ的反射角，θα和θβ滿足

入射P波在界面Ⅱ的反射P波和SV波勢函數(shù)可分別表示為：

為方便分析，將入射P波和2個界面上的反射P波表達(dá)式（2）、（3）、（7）轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系（r，θ）下的形式，合并后再進(jìn)一步展成傅立葉-貝塞爾（Fourier-Bessel）級數(shù)形式：

其中，

將2個界面上的反射SV波表達(dá)式（4）、（8）轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系（r，θ）下的形式，合并再進(jìn)一步展成Fourier-Bessel級數(shù)形式：

其中，

當(dāng)n＝0時，εn＝1；而當(dāng)n≥1時，εn＝2（下同）。

為了便于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，本文采用2個半徑非常大的圓?。▓D1）來模擬楔形空間表面。用圓心在O1、半徑為d的大圓弧模擬界面I，圓心在O2、半徑為d的大圓弧模擬界面Ⅱ，2個大圓弧的交點為O。

下面首先分析楔形空間中的散射波，楔形空間中存在著因沉積介質(zhì)與楔形空間交界面而產(chǎn)生的散射P波φs3(r,θ)和SV波ψs3(r,θ)，因楔形地形及大圓弧近似假定而產(chǎn)生的散射P波φs1(r1,θ1)、φs2(r2,θ2)和SV波ψs1(r1,θ1)、ψs2(r2,θ2)，它們的Fourier-Bessel形式分別表示為：

其次，沉積介質(zhì)中存在著因沉積介質(zhì)與楔形空間交界面而產(chǎn)生的散射P波和SV波ψv3(r,θ)，因楔形地形及大圓弧近似假定而產(chǎn)生的散射P波φv1(r1,θ1)、φv2(r2,θ2)和SV波ψv1(r1,θ1)、ψv2(r2,θ2)，它們的Fourier-Bessel形式分別表示為：

其中，kvα＝ω/αv、kvβ＝ω/βv分別表示P波和SV波在沉積介質(zhì)中的波數(shù)。

因此，楔形空間中存在的所有P波和SV波的波勢函數(shù)可表示為：

沉積介質(zhì)中存在的所有P波和SV波的波勢函數(shù)可表示為：

利用邊界條件求解表達(dá)式（27）—（30）中的系數(shù)。問題的邊界條件為楔形空間和沉積表面零應(yīng)力邊界條件及沉積與楔形空間交界面連續(xù)條件。

零應(yīng)力邊界條件有：

界面連續(xù)條件分為位移連續(xù)條件和應(yīng)力連續(xù)條件，其方程為：

本文引入大圓弧模擬楔形空間表面，因此結(jié)果為近似解析解，邊界條件公式（31）、（32）可轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)下的形式：

在平面P波入射情況下，平面應(yīng)變問題的位移和應(yīng)力表達(dá)式分別為：

由于上述波函數(shù)分別在不同坐標(biāo)系給出，在引入邊界條件前，需要采用Graf加法公式進(jìn)行坐標(biāo)變換，由于篇幅有限，坐標(biāo)變換步驟從略。將楔形空間和沉積介質(zhì)中的波函數(shù)表達(dá)式代入邊界條件，求解方程組可得到所有波函數(shù)表達(dá)式的待定系數(shù)，將求得的待定系數(shù)代入位移表達(dá)式即可得到地表位移：

當(dāng)r≤a時（沉積介質(zhì)）：

當(dāng)r＞a時（楔形空間）：

至此，完成了問題求解的理論推導(dǎo)，得到的公式（41）、（42）為楔形空間和圓弧形沉積中各個位置的位移。

2 結(jié)果分析

圖2—6給出了不同地形角度（即斜面與水平面夾角分別為0°、60°和90°）的楔形空間在介質(zhì)參數(shù)分別為剪切波速比βv：βs＝200：400、密度比ρv：ρs＝1.8：1.8以及入射角0°、30°、60°和90°情況下，水平x和垂直y方向的位移幅值。圖中橫坐標(biāo)為地面位置坐標(biāo)x與沉積河谷半徑a之間的比值。在結(jié)果分析中引入無量綱頻率η，其定義為沉積谷地寬度與入射波波長（λ＝βsT）之間的比值，即圖2—6分別為參數(shù)η等于0.5、1、2、5和10的結(jié)果。

影響地表位移的因素包括地形角度（θ0）、入射波的頻率（η）以及入射角（θα）。由圖可以看出，當(dāng)給定地形角度和入射頻率，變化入射角度時，當(dāng)入射波以地形的對角線角度入射時，得到的位移曲線是正對稱的，地形為180°，波垂直入射得到了正對稱地表位移曲線（圖2中的實線和圖5（a））。另外，還能得到一些反對稱的曲線，當(dāng)?shù)匦螢?0°時，水平入射的x方向位移曲線與垂直入射的y方向位移曲線、水平入射的y方向位移曲線與垂直入射的x方向位移曲線是反對稱的（圖6（a）、（d））；30°入射的x方向位移曲線與60°入射的y方向位移曲線、30°入射的y方向位移曲線與60°入射的x方向位移曲線也都是反對稱的（圖6（b）、（c））。從地形對稱軸方向入射，沿地表方向及垂直于地表方向的位移也應(yīng)該是對稱的，這也可以作為驗證計算結(jié)果是否正確的1個標(biāo)準(zhǔn)。

當(dāng)給定地形角度和入射角度，變化入射頻率時（圖2—5），隨著入射頻率增大，位移幅值曲線的波動也相應(yīng)地變得復(fù)雜。尤其圖5、6對應(yīng)的入射頻率是高頻η＝5.0和η＝10.0，可從圖中看到曲線的波動非常大。

圖2 沉積附近地表位移幅值（θ0＝0°）Fig.2 Surface displacement amplitude around the alluvial valley (θ0＝0°)

從圖2—6的結(jié)果看，位移幅值的放大隨著入射角度、地形角度和入射頻率的不同而發(fā)生變化。雖然最大值并不一定發(fā)生在楔形地形頂點處，但是幾乎都發(fā)生在x/a＝［－1，1］區(qū)間，這一區(qū)段地表點的位移幅值放大也都大于其它位置地表點，這也從理論上論證了發(fā)生在山脊附近的地震，其頂部的震害破壞比較大。

圖3 沉積附近地表位移幅值（θ0＝60°）Fig.3 Surface displacement amplitude around the alluvial valley (θ0＝60°)

圖4 沉積附近地表位移幅值（θ0＝90°）Fig.4 Surface displacement amplitude around the alluvial valley (θ0＝90°)

圖5 沉積附近地表位移幅值（θ0＝0°，η＝5.0）Fig.5 Surface displacement amplitude around the alluvial valley (θ0＝0°, η＝5.0)

圖6 沉積附近地表位移幅值（θ0＝90°，η＝10.0）Fig.6 Surface displacement amplitude around the alluvial valley (θ0＝90°, η＝10.0)

3 結(jié)論

本文利用大圓弧假定和傅立葉-貝塞爾（Fourier-Bessel）級數(shù)波函數(shù)展開法，給出頂點有1層圓弧形沉積的楔形場地對平面P波散射問題的解析解。分析了地形角度、入射波的頻率和入射角度等因素對地表位移放大作用的影響，得出以下結(jié)論：

（1）含圓弧形沉積的楔形空間對彈性波的散射同半空間情況有根本的不同，需同時考慮地形和地質(zhì)不均勻性對地震動的復(fù)合影響；楔形夾角、波入射角度、無量綱頻率以及沉積內(nèi)、外介質(zhì)特性是影響地表位移幅值的主要因素。

（2）當(dāng)入射波的波長比圓弧沉積半徑小很多（即η值較大）時，地表位移看上去更復(fù)雜，變化更劇烈，空間分布也更不均勻。

（3）由于楔形地形本身就有不同的角度，對于不同入射角度的P波來說，地表位移最大值出現(xiàn)的地點是不同的，但幾乎都出現(xiàn)在x/a＝［－1，1］區(qū)域內(nèi)的楔形頂點附近，說明含圓弧沉積的楔形地形頂點附近對地震波的放大作用比較大。