平面向量數(shù)量積教學(xué)的三重境界

江蘇省南通市天星湖中學(xué) 吳淑群

數(shù)量積是中學(xué)數(shù)學(xué)向量章節(jié)中的最后一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，也是最重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。從向量教學(xué)來(lái)看，讓學(xué)生最為困擾的是：如何理解向量數(shù)量積以及向量數(shù)量積的多層次運(yùn)用。筆者以為可以設(shè)計(jì)三重層次來(lái)進(jìn)行教學(xué)，加深學(xué)生對(duì)于數(shù)量積的認(rèn)識(shí)。

境界一：概念的理解和基本量運(yùn)算

眾所周知，數(shù)量積屬于向量中比較難以理解的概念之一，一般教學(xué)都是以學(xué)生已有的知識(shí)——物理中的“功”作為引入，讓學(xué)生體會(huì)。這一概念的教學(xué)若不是從學(xué)生已有的知識(shí)體系入手，是有些困難的，因此，在這里的教學(xué)向?qū)W生滲透兩個(gè)理解：第一是的類比推導(dǎo)，大大加快了數(shù)量積的概念理解；第二是注重?cái)?shù)量積本質(zhì)的思考，即從向量維度回到了數(shù)量維度，這是數(shù)量積最大的本質(zhì)特性。有了概念的思考，自然就是理解概念中這些基本量的運(yùn)算。給出問(wèn)題設(shè)計(jì)：

分析：數(shù)量積可以用來(lái)進(jìn)行幾何垂直的證明，這是其重要特性之一，結(jié)合前面平面向量基本定理的知識(shí)，熟練使用數(shù)量積垂直特性解決問(wèn)題。

分析：向量數(shù)量積的運(yùn)算可以從自由向量角度進(jìn)行，也可以從坐標(biāo)向量的角度進(jìn)行，對(duì)于向量而言，坐標(biāo)化更體現(xiàn)了向量的代數(shù)化特征，因此受到學(xué)生的喜歡，在這里的運(yùn)算中，理解為什么這么算是關(guān)鍵。

境界二：性質(zhì)的理解和思考

掌握了向量的數(shù)量積基本運(yùn)算，我們進(jìn)一步思考更為關(guān)鍵的向量數(shù)量積幾何性質(zhì)。應(yīng)該認(rèn)為，數(shù)量積所具備的性質(zhì)與以往的代數(shù)運(yùn)算是大不相同的，這里是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。什么原因呢？通俗一點(diǎn)說(shuō)，就是因?yàn)橐酝拇鷶?shù)乘法是一維的，而向量是二維的，在更高維度中的運(yùn)算如何結(jié)合方向？必定不同于一維的代數(shù)乘法運(yùn)算，所以很多性質(zhì)的理解需要重新思考。

分析：因?yàn)楦拍畹膶W(xué)習(xí)，產(chǎn)生了在這一概念要求下的性質(zhì)，比如上述性質(zhì)是初學(xué)者易錯(cuò)的。性質(zhì)（3），學(xué)生慣有的思維告訴他正確，但是數(shù)量積并非是一維的代數(shù)乘法運(yùn)算，因此這種方式顯然是不正確的，何為 ？思考概念的本質(zhì)，指的是向量 和 各自在向量 方向上的投影相同，因此，這種概念本質(zhì)的拓展加深了學(xué)生對(duì)數(shù)量積性質(zhì)的理解。再比如（5），乘法交換律顯然適用于一維代數(shù)乘法運(yùn)算，但是在向量數(shù)量積中卻行不通，為什么呢？因?yàn)閿?shù)量積是數(shù)量， 和 其實(shí)就是 和 （這里x和y是實(shí)數(shù)），在并不清楚向量 和 的前提下，怎么可能相等？這種理解對(duì)于學(xué)生而言是提升其不同運(yùn)算法則的重要認(rèn)知。

解析：（1）錯(cuò)；（2）對(duì)；（3）錯(cuò)；（4）錯(cuò)；（5）錯(cuò)；（6）對(duì)。

境界三：極化恒等式的掌握和運(yùn)用

分析：本題可以從向量中線性質(zhì)入手，較為容易，但是利用極化恒等式，學(xué)生可以直接思考問(wèn)題的本質(zhì)，揭示了數(shù)量積與和差之間的關(guān)系，其解決問(wèn)題的過(guò)程自然更加簡(jiǎn)便。

數(shù)量積教學(xué)是向量教學(xué)的難點(diǎn)，筆者建議對(duì)學(xué)生需要逐步進(jìn)行、螺旋上升，在基本量熟練運(yùn)用的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步理解其幾何性質(zhì)、投影等相關(guān)認(rèn)知，進(jìn)而思考極化恒等式，這對(duì)于學(xué)生理解向量、運(yùn)用向量有更好的作用。

[1]方厚石．向量教學(xué)詮釋思維品質(zhì)[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2014（1）．

[2]鮑建生等．向量教學(xué)研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2015（1）．

[3]柴賢亭．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)中的問(wèn)題設(shè)計(jì)[J]．教學(xué)與管理，2013（10）．