小學(xué)生數(shù)學(xué)問題理解的過程及教學(xué)啟示

駱玉鳳 于波

[摘要] “問題解決”一直是數(shù)學(xué)教育關(guān)注與研究的重點(diǎn)，而學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解是問題解決的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)問題理解是學(xué)習(xí)者以問題信息的輸入和編碼為基礎(chǔ)，根據(jù)已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)內(nèi)部表征的過程。在信息加工理論的視角下，結(jié)合波利亞問題解決過程，構(gòu)建小學(xué)生數(shù)學(xué)問題理解的認(rèn)知過程：問題輸入、選擇性知覺、問題編碼、問題表征等，并獲得有關(guān)數(shù)學(xué)問題理解教學(xué)的啟示。

[關(guān)鍵詞]問題理解；小學(xué)數(shù)學(xué)；認(rèn)知過程；問題解決教學(xué)

[中圖分類號(hào)]G642.4[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]1005-4634（2018）01-0120-05

0引言

自上世紀(jì)80年代初，美國數(shù)學(xué)教師委員會(huì)提出“問題解決”應(yīng)作為數(shù)學(xué)教育的核心開始。“問題解決”不僅成為數(shù)學(xué)教育研究的重要內(nèi)容，而且還是數(shù)學(xué)教育的主要內(nèi)容與目標(biāo)。在我國，“問題解決”作為義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的目標(biāo)之一，貫穿在數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)過程中。

在實(shí)際的數(shù)學(xué)“問題解決”教學(xué)中，教師以解題策略與方法為重點(diǎn)，忽視了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解，導(dǎo)致學(xué)生常常因沒有理解，而不能真正解決問題，最終導(dǎo)致學(xué)生無法從數(shù)學(xué)問題解決中獲得思維的鍛煉、知識(shí)的鞏固、能力的提高。學(xué)生缺少對(duì)問題的理解表現(xiàn)在如下幾個(gè)方面：（1）解決問題方法呆板，無法對(duì)數(shù)學(xué)問題形成正確且完整的表征。（2）學(xué)生的知識(shí)的遷移能力較弱，不能實(shí)現(xiàn)有效地舉一反三，雖然做了許多練習(xí)題，但只是簡單的公式套用。問題解決的教學(xué)導(dǎo)致學(xué)生常常以將問題中的數(shù)字套進(jìn)公式為原則，有時(shí)使學(xué)生知其然而不知所以然。這種現(xiàn)象就讓研究者不得不思考：學(xué)生是如何理解數(shù)學(xué)問題？教師應(yīng)如何幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題？

1問題理解

數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展圍繞著問題。關(guān)于問題解決的定義眾說紛紜，常與解決問題、解題、應(yīng)用題相聯(lián)系。問題解決又稱為解決問題，是在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的一系列有目標(biāo)指向的認(rèn)知操作過程，問題解決的過程是學(xué)生主動(dòng)認(rèn)知、積極參與的過程。

波利亞在《怎樣解題》一書中提到解題的第一環(huán)節(jié)就是“必須理解題目”，對(duì)自己所不理解的問題做出回答是不明智的，需要思考問題中的“未知量是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？條件有可能滿足嗎？條件是否足以確定未知量？或者它不夠充分？或者多余或者矛盾？”[1]。理解問題作為解決問題的第一步顯得尤為關(guān)鍵。

由于對(duì)“理解”的認(rèn)識(shí)與重視程度不同，所以存在著不同的觀點(diǎn)。如行為主義強(qiáng)調(diào)刺激與反應(yīng)之間的聯(lián)結(jié)，大多不重視對(duì)理解的研究；認(rèn)知主義強(qiáng)調(diào)個(gè)體的內(nèi)部認(rèn)知，重視理解性學(xué)習(xí)，認(rèn)為“理解”就其實(shí)質(zhì)而言，是將任務(wù)轉(zhuǎn)換為內(nèi)部心理表征的過程，也就是在短時(shí)記憶中形成問題表征[2]。而問題表征的過程是意義賦予的過程，把新的問題內(nèi)容與主體已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來，注重主體的思維過程。根據(jù)認(rèn)知主義對(duì)“理解”的概述，筆者將數(shù)學(xué)問題理解定義為學(xué)習(xí)者以問題信息（言語、符號(hào)、情景等）的輸入和編碼為基礎(chǔ)，根據(jù)已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)內(nèi)部表征的過程。

數(shù)學(xué)問題解決不能簡單地理解為數(shù)學(xué)法則的運(yùn)用，它是學(xué)生思維過程的體現(xiàn)。小學(xué)生思維方式具有極大的可塑性，數(shù)學(xué)教學(xué)要把握好此特點(diǎn)。數(shù)學(xué)問題的解決首先要理解問題，否則很難順利有效地解決問題。理解問題是提高數(shù)學(xué)教學(xué)效果的必經(jīng)之路，是避免使用題海戰(zhàn)術(shù)的法寶，特別是當(dāng)教授對(duì)象為正處于思維初級(jí)階段的小學(xué)生時(shí)?；仡檾?shù)學(xué)問題解決的研究文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)問題解決的研究多集中在問題解決的策略、能力與表現(xiàn)分析上，而忽視了對(duì)問題理解的思考。

2問題理解的認(rèn)知過程

要對(duì)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的內(nèi)部與外部條件進(jìn)行系統(tǒng)的分析，必須從學(xué)生學(xué)習(xí)行為的過程出發(fā)。阿特金森（Atkinson）與謝夫林（Shiffrin）提出將學(xué)習(xí)設(shè)想為由知覺與記憶之間的一系列階段構(gòu)成的信息加工的基礎(chǔ)，并形成了階段信息加工模型[3]，如圖1所示。在這個(gè)信息加工模型中，感覺接受器把來自環(huán)境的信息傳輸?shù)街袠猩窠?jīng)系統(tǒng)。信息在感覺登記器暫時(shí)登記，然后轉(zhuǎn)換成可識(shí)別的模式，進(jìn)入短時(shí)記憶，在這一階段出現(xiàn)的信息轉(zhuǎn)換被稱為選擇性知覺，在短時(shí)記憶中的信息經(jīng)過編碼以一定的方式表征。

這個(gè)信息加工學(xué)習(xí)論的學(xué)習(xí)與記憶模型，得到了當(dāng)代研究者的廣泛認(rèn)可，并且它融合了當(dāng)代學(xué)習(xí)理論的主要觀點(diǎn)。感覺接收器到感覺登記器是一個(gè)信息的輸入過程，當(dāng)信息輸入后，主體會(huì)選擇性地知覺信息，經(jīng)過“過濾”的信息進(jìn)入短時(shí)記憶進(jìn)行編碼存儲(chǔ)。通過對(duì)學(xué)習(xí)模型的分析以及認(rèn)知主義對(duì)“理解”的概述，筆者認(rèn)為小學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題理解的認(rèn)知過程要經(jīng)過以下過程：問題輸入→選擇性知覺→問題編碼→問題表征等，具體如圖2所示。

2.1問題輸入

問題輸入是指問題解決者必須通過感受接收器（視覺、聽覺等）接受刺激，將所感知的信息傳入腦部神經(jīng)系統(tǒng)，同時(shí)意識(shí)到自己正在面臨的問題。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生需要運(yùn)用多種感官接收問題傳達(dá)的信息，包括“已知數(shù)據(jù)”“未知量”“條件”。問題呈現(xiàn)的方式和情景影響學(xué)生對(duì)問題的注意。在問題輸入環(huán)節(jié)，問題的刺激程度和學(xué)生的注意力都會(huì)影響下面步驟的進(jìn)展情況。其中，學(xué)習(xí)者的注意力是進(jìn)一步信息加工的前提條件。

2.2選擇性知覺

選擇性知覺就像一個(gè)過濾器，是問題解決者根據(jù)自己的已有經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知風(fēng)格和解決問題的需要等方面，有目的地把刺激信息作為知覺的對(duì)象進(jìn)行信息加工的過程。選擇性知覺決定了認(rèn)知主體將什么作為主要部分，將剩余的作為主體的背景，從而使知覺的對(duì)象能夠得到清晰的反映，而背景只能得到比較模糊的反映。選擇性知覺決定著問題中的哪些信息、多少信息會(huì)進(jìn)入學(xué)習(xí)者的短時(shí)記憶中進(jìn)行編碼。波利亞強(qiáng)調(diào)，學(xué)生在理解問題時(shí)，應(yīng)該將“已知數(shù)據(jù)”“未知量”“條件”以及它們之間的關(guān)系作為關(guān)注的主體，同時(shí)還應(yīng)該考慮條件是否充分或者多余的情況。

2.3問題編碼

問題編碼是指對(duì)工作記憶中的問題信息進(jìn)行加工并以一定形式儲(chǔ)存的過程，其實(shí)質(zhì)是對(duì)問題信息賦予意義的過程。問題解決者的已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、記憶力等因素影響問題的編碼，因此將當(dāng)前問題與已有知識(shí)之間建立連接能夠幫助問題解決者理清問題信息之間的關(guān)系，進(jìn)而促進(jìn)問題解決者對(duì)信息的有意義加工，比如已知數(shù)據(jù)與未知量、未知量與條件的關(guān)系等，同時(shí)也有益于選擇適當(dāng)?shù)姆绞絻?chǔ)存。

2.4問題表征

問題的內(nèi)部表征是通過問題解決者對(duì)問題進(jìn)行選擇性知覺后，對(duì)進(jìn)入工作記憶存儲(chǔ)的信息以一定的方式形成問題空間的過程，也是把外部的物理刺激轉(zhuǎn)變?yōu)閮?nèi)部心里符號(hào)的過程。“問題表征既是一種過程，即對(duì)問題的理解和內(nèi)化；也是問題理解的一種結(jié)果，即問題在頭腦中的呈現(xiàn)方式。問題表征質(zhì)量的高低將會(huì)直接影響到問題的解決?！盵4]問題內(nèi)部表征的形式有兩種：語言表征和表象表征，特別說明的是，在工作記憶中的問題信息是當(dāng)前激活的對(duì)象，問題表征是將理解了的問題包含的信息，以語言信息與圖像信息的形式存在。在教學(xué)中通常體現(xiàn)在學(xué)生借助語言或圖像復(fù)述問題，以了解學(xué)生理解問題的情況。

整個(gè)認(rèn)知過程需要學(xué)生執(zhí)行控制和預(yù)期的參與，執(zhí)行控制是指學(xué)生已有的知識(shí)對(duì)現(xiàn)在學(xué)習(xí)過程的影響，預(yù)期是指學(xué)生的動(dòng)機(jī)系統(tǒng)對(duì)學(xué)習(xí)過程的影響。整個(gè)學(xué)習(xí)過程都是在“執(zhí)行控制”和“預(yù)期”兩個(gè)結(jié)構(gòu)的作用下進(jìn)行，體現(xiàn)了學(xué)生的主體性與主觀能動(dòng)性。

3“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算”問題理解的過程分析

筆者以北京師范大學(xué)版小學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第二單元“分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算”的例題一為例，對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解過程進(jìn)行分析。“分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算（一）”所要達(dá)到的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生在解決有關(guān)分?jǐn)?shù)乘除混合運(yùn)算的具體問題的過程中，會(huì)用畫圖的方式直觀呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系；結(jié)合具體情境體會(huì)分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的順序與整數(shù)混合運(yùn)算一樣，會(huì)正確計(jì)算分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算；能解決有關(guān)分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的簡單實(shí)際問題。需要解決的數(shù)學(xué)問題，例題如圖3所示。

由圖3所示，這個(gè)數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)的是將數(shù)學(xué)問題寓于一定的現(xiàn)實(shí)情境，學(xué)生需要從情境中選擇問題信息，將問題信息與已知的認(rèn)知建立聯(lián)系。根據(jù)學(xué)生問題理解的認(rèn)知過程分析如下。

第一步，問題輸入，問題的呈現(xiàn)方式影響學(xué)生的輸入方式，學(xué)生通過視覺接受圖文所帶來的刺激意識(shí)到一個(gè)問題的存在，“航模小組多少人？”，除此以外，整個(gè)圖文所傳達(dá)的信息都是學(xué)生可能接收到的，包括“我們氣象小組12人”等，這時(shí)候?qū)W生對(duì)問題的態(tài)度與注意程度也影響問題輸入。

第二步，選擇性知覺，其作用體現(xiàn)在學(xué)生將問題的哪些部分當(dāng)作認(rèn)知的主體。如果學(xué)生將圖畫看成是主體，那么文字就是背景，其接收的信息就是來自圖片情景，由圖3呈現(xiàn)的航模小組的人數(shù)為3，得出答案。反之，如果其將文字作為知覺的主要對(duì)象，圖片就是文字的背景，而在文字表達(dá)中，也存在選擇性知覺，學(xué)生傾向于將他所熟悉的作為主體。在例題中，學(xué)生需要知覺的文字對(duì)象有“氣象小組”“攝影小組”“航模小組”“12”“1/3”“3/4”等。

第三步，問題編碼，學(xué)生對(duì)工作記憶中有關(guān)的問題信息進(jìn)行加工并以一定形式儲(chǔ)存。將選擇性知覺的信息通過與已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)之間建立聯(lián)系進(jìn)行加工，等待提取、組織與處理。這個(gè)數(shù)學(xué)問題的編碼需要學(xué)習(xí)者理清問題信息之間的關(guān)系，已知數(shù)據(jù)與未知量、未知量與條件的關(guān)系等，如未知量是要得到航模小組多少人？航模小組與攝影小組之間、攝影小組與氣象小組之間的關(guān)系。因此，需要例題當(dāng)中的關(guān)鍵信息，比如氣象小組12人、攝影小組是氣象小組的1/3、航模小組是攝影小組的3/4，存儲(chǔ)在工作記憶中。

第四步，問題表征，表征是學(xué)生對(duì)于進(jìn)入工作記憶中的信息的組織方式，一般有言語表征與表象表征。由于該數(shù)學(xué)問題的條件與目標(biāo)之間有較為復(fù)雜的關(guān)系，又加之此階段的學(xué)生處在具體到抽象思維的過渡階段，因此問題的表征主要引導(dǎo)學(xué)生畫關(guān)系圖，通過抽象直觀的表象進(jìn)行表征，最終理解數(shù)學(xué)問題，具體如圖4所示。

預(yù)期和執(zhí)行控制也參與到小學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解過程中。在例題中，如果學(xué)生認(rèn)為自己有能力、有信心解決該問題，那么將在問題的理解處在積極主動(dòng)的地位；反之，將會(huì)消極地排斥思考、理解問題。執(zhí)行控制主要體現(xiàn)在學(xué)生利用已有知識(shí)進(jìn)行問題理解。學(xué)生類似的經(jīng)驗(yàn)將利用遷移到該問題的解決當(dāng)中。如果學(xué)生解決過類似的問題，那么學(xué)生采用同樣的方法可能也能夠解決此題。從整個(gè)過程可以看出，教學(xué)的重點(diǎn)不僅僅為要求學(xué)生能解決這個(gè)數(shù)學(xué)問題，而是能夠通過問題解決過程的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的理解能力與思維能力。

4教學(xué)啟示

教學(xué)的目的在于激活和支持內(nèi)部學(xué)習(xí)過程。數(shù)學(xué)問題理解是依附于數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)進(jìn)行的。因此，教師要扮演好引導(dǎo)者和促進(jìn)者的角色，為學(xué)生的學(xué)習(xí)搭建平臺(tái)，優(yōu)化數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)設(shè)計(jì)。

4.1順應(yīng)學(xué)生數(shù)學(xué)問題理解的認(rèn)知過程

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解要經(jīng)歷數(shù)學(xué)問題輸入、選擇性知覺、問題編碼以及問題表征等過程，教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、合作者與支持者，學(xué)生的學(xué)習(xí)需要教師教學(xué)的激活與支持。學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題的任何階段都有其關(guān)鍵，當(dāng)學(xué)生無法理解問題或者問題理解有困難時(shí)，教師需要明晰學(xué)生問題的理解過程，給學(xué)生提供理解的支持。首先，問題呈現(xiàn)的方式和情景影響問題輸入，問題呈現(xiàn)應(yīng)直觀、清晰且符合小學(xué)生的認(rèn)知水平。其次，選擇性知覺決定哪些信息成為加工的主體，教師可以根據(jù)學(xué)生對(duì)問題的語言描述與問題主要部分的提取判斷學(xué)生是否理解正確。波利亞指出在問題理解教學(xué)時(shí)，教師需要學(xué)生復(fù)述問題，學(xué)生應(yīng)該能夠流暢地闡述該題目；學(xué)生還應(yīng)該能指出題目的主要部分，即未知量、已知數(shù)據(jù)以及條件，因此教師千萬不能錯(cuò)過這樣一些問題——已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？學(xué)生應(yīng)該仔細(xì)地、重復(fù)地從各個(gè)方面來考慮問題的主要部分。當(dāng)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行編碼時(shí)，教師需要通過與學(xué)生交流，判斷學(xué)生不能順利編碼的原因：是理不清問題的條件與條件之間、條件與目標(biāo)之間的關(guān)系？還是由于信息量過大、關(guān)系復(fù)雜，難以將提取的信息儲(chǔ)存在工作記憶中？

4.2問題呈現(xiàn)要符合小學(xué)生的內(nèi)部表征

數(shù)學(xué)問題包由文字、圖表、符號(hào)等構(gòu)成，數(shù)學(xué)問題的理解其實(shí)也是對(duì)數(shù)學(xué)問題所呈現(xiàn)內(nèi)容的理解，即能處理和加工數(shù)學(xué)言語、圖表、符號(hào)傳達(dá)的信息。其中，言語信息的掌握是關(guān)鍵，有助于學(xué)生獲得外部表征，也是內(nèi)部表征所需的工具。問題呈現(xiàn)方式直接可以影響學(xué)生的問題理解和解決，問題呈現(xiàn)依賴于問題情境，當(dāng)問題情境能夠刺激頭腦已有的圖式時(shí)，學(xué)生對(duì)問題能夠做出快速積極的反應(yīng)。因此，恰當(dāng)?shù)难哉Z信息、問題情境的創(chuàng)設(shè)可以提高學(xué)生的問題解決能力。在教學(xué)中，教師可以通過創(chuàng)設(shè)與學(xué)生有聯(lián)系的情境，呈現(xiàn)學(xué)生能夠理解的語言等，幫助學(xué)生順利地進(jìn)行問題的內(nèi)部表征。

4.3激活學(xué)生有益經(jīng)驗(yàn)刺激編碼

學(xué)生已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、記憶力等因素影響問題的編碼，因此數(shù)學(xué)的教學(xué)要注意在當(dāng)前問題與已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)之間建立連接，以便能夠促進(jìn)信息的有意義加工與儲(chǔ)存。學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)主要源于日常的生活經(jīng)歷與已經(jīng)解決了的問題。經(jīng)驗(yàn)利于學(xué)習(xí)解決問題，既有可能幫助學(xué)生進(jìn)行問題理解，又有可能阻礙學(xué)生的理解，比如思維定勢，當(dāng)學(xué)生的思維陷入過去已經(jīng)獲得的無益經(jīng)驗(yàn)時(shí)將無法繼續(xù)正確地理解問題。因此，在教學(xué)中需要調(diào)動(dòng)學(xué)生有益的經(jīng)驗(yàn)，將問題與已知知識(shí)建立有意義的聯(lián)系并進(jìn)行加工，最后存儲(chǔ)在工作記憶中進(jìn)行有效編碼，等待提取、組織與處理。

小學(xué)生的數(shù)學(xué)問題理解值得廣大數(shù)學(xué)教師關(guān)注。理解問題的重要性不僅僅在于更好地解決數(shù)學(xué)問題，而且在于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣與問題理解的能力。教師在問題解決教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，知識(shí)的鞏固與運(yùn)用固然重要，學(xué)生的認(rèn)知水平與認(rèn)知過程也需要特別關(guān)注。學(xué)生的認(rèn)知是教學(xué)的起點(diǎn)，以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平為基礎(chǔ)是因材施教的體現(xiàn)。因此，對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)問題理解過程的探究能夠?yàn)榻虒W(xué)提供一定支持。

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