基于誤差耦合補(bǔ)償?shù)?K型行星齒輪傳動(dòng)誤差研究?

王朝兵，彭玲陽，劉樂平，張 龍，涂文兵，易 元

前言

國內(nèi)外對行星齒輪傳動(dòng)精度的研究主要集中在幾何精度和靜態(tài)精度的研究。文獻(xiàn)[1]～文獻(xiàn)[3]中從重合度、齒面接觸、齒廓修形和側(cè)隙等角度討論了齒輪系統(tǒng)傳動(dòng)誤差的改善辦法。文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]中分別研究了人字齒輪齒廓和弧齒錐齒輪并提出齒廓修行系數(shù)計(jì)算方法和齒面接觸分析算法分別對修行參數(shù)和安裝誤差敏感度進(jìn)行優(yōu)化并驗(yàn)證了它的可行性。文獻(xiàn)[6]中通過齒輪接觸分析在考慮各安裝誤差的情況下分析各個(gè)安裝誤差對嚙合性能的影響。文獻(xiàn)[7]中建立滾齒機(jī)熱誤差模型通過優(yōu)選溫度變量進(jìn)行熱誤差補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)用以提高齒輪加工精度等。文獻(xiàn)[8]中通過搭建誤差檢測平臺(tái)和使用齒輪測量機(jī)對誤差進(jìn)行修正最終得出單齒傳動(dòng)誤差可近似由理論設(shè)計(jì)曲線和齒距嚙合偏差仿真曲線組成。文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]中通過建立行星齒輪系統(tǒng)的傳動(dòng)誤差模型，運(yùn)用耦合補(bǔ)償方法從幾何角度來提高系統(tǒng)傳動(dòng)精度。文獻(xiàn)[11]中通過幾何尺寸的微分模型推導(dǎo)出濾波減速器偏心誤差計(jì)算式用以求解傳動(dòng)誤差的變化曲線并驗(yàn)證該計(jì)算方法的正確性。文獻(xiàn)[12]中通過建立誤差齒面方程提出機(jī)床調(diào)整參數(shù)誤差對齒面法向誤差的影響系數(shù)概念以此判斷機(jī)床調(diào)整參數(shù)誤差對齒面誤差的影響程度。

齒輪系統(tǒng)傳動(dòng)誤差可以從很多方面進(jìn)行探討研究，但影響行星齒輪傳動(dòng)誤差最主要的還是行星齒輪的偏心類誤差[13]。文獻(xiàn)[14]中以齒面點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所得諧波運(yùn)動(dòng)軌跡建立齒輪傳動(dòng)誤差的單面嚙合測量模型，提出一種分析傳動(dòng)誤差曲線的時(shí)標(biāo)域方法求出誤差曲線的各類頻率特征和偏差值并驗(yàn)證該方法的可靠性。為減少行星齒輪傳動(dòng)誤差的計(jì)算量及其研究成本同時(shí)有效地提高行星齒輪的傳動(dòng)精度，本文中通過數(shù)值計(jì)算的方法主要針對偏心類誤差進(jìn)行誤差的耦合運(yùn)算，用以探討行星齒輪的傳動(dòng)特性。

1 3K型行星齒輪傳動(dòng)誤差模型

以典型3K型漸開線直齒圓柱行星齒輪減速機(jī)構(gòu)為實(shí)例，其3K型行星齒輪機(jī)構(gòu)幾何模型如圖1所示。

圖1 幾何模型圖

根據(jù)2KH-V型擺線針輪回轉(zhuǎn)傳動(dòng)誤差解析方法[3]，將3K型行星齒輪各構(gòu)件偏心類誤差轉(zhuǎn)換為嚙合線當(dāng)量嚙合誤差，其結(jié)果如表1所示。

其傳動(dòng)誤差數(shù)學(xué)模型為

表1 偏心誤差及其嚙合線當(dāng)量誤差

式中:θ為轉(zhuǎn)角；Δθ為轉(zhuǎn)角誤差；rb為基圓半徑；i為傳動(dòng)比。

2 行星齒輪傳動(dòng)誤差的數(shù)值分析

由表1可見，行星齒輪各構(gòu)件偏心誤差的當(dāng)量嚙合誤差的一般表達(dá)式[15]為

式中:Ai，ωi為正值；φi∈[0，2π]。

式(2)存在以下3種形式。

(1)角頻率為0

ei＝Aisin(φi)，當(dāng) φi等于 0 或 π 時(shí)，ei＝0，即該誤差分量對系統(tǒng)傳動(dòng)誤差的影響為0。

(2)角頻率相等

設(shè) i個(gè)(i＝1，2，…，n)誤差分量的耦合誤差的振幅為 Bi、初相為 ξi，即對于 1 個(gè)誤差分量，e1＝A1sin(ωt+φ1)，B1＝A1，ξ1＝φ1。

對于2個(gè)誤差分量的耦合誤差:

運(yùn)用歸納法可得對于n個(gè)誤差分量的耦合誤差為

(3)角頻率不相等

角頻率不同的誤差分量耦合誤差的幅值目前暫無有效方法直接進(jìn)行解析運(yùn)算，為盡可能降低行星齒輪傳動(dòng)誤差耦合補(bǔ)償后的數(shù)值，對于角頻率不同的誤差分量 e1＝A1sin(ω1t+φ1)，e2＝A2sin(ω2t+φ2)，令兩者的耦合當(dāng)量嚙合誤差為 e1，2＝e1+e2＝A1sin(ω1t+φ1)+A2sin(ω2t+φ2)，并假定 A1，A2，ω1，ω2，φ1為定值。將e2的初相值φ2的最小循環(huán)周期T＝2π等間距分成 n 等份，即 φ2i＝i×T/n，i＝1，2，…，n。 依次對 i進(jìn)行取值，當(dāng) i＝1時(shí)，將 φ21＝1×T/n代入 e1，2中，使用數(shù)值計(jì)算的方法得 e1，2對應(yīng)的峰值和初相角為A11，2，φ12；同理，當(dāng) i＝2 時(shí)，將 φ21＝2×T/n 代入 e1，2中，得 e1，2對應(yīng)的峰值和初相角 A21，2，φ22；以此類推，當(dāng) i＝n 時(shí)，將 φ21＝T 代入 e1，2中，得 e1，2對應(yīng)的峰值和初相角分別為An1，2，φn2；最后對比分析出當(dāng) i取不同正整數(shù)時(shí)，其對應(yīng)峰值 A1，2中最小的峰值A(chǔ)1，2(min)及最小峰值所對應(yīng)的初相角 φ2(min)，此初相角φ2(min)為所求數(shù)值分析最佳耦合補(bǔ)償初相角，能有效降低耦合補(bǔ)償相應(yīng)峰值，從而更有效地提高系統(tǒng)傳動(dòng)精度。

實(shí)例計(jì)算:e1，2＝8sin(30t+φ1)+15sin(50t+φ2)，根據(jù)上述方法，當(dāng)i＝1時(shí)，對e1，2進(jìn)行數(shù)值分析得其函數(shù)幅值，如圖2所示。

圖2 函數(shù)幅值變化圖

由圖2可知，e1，2所對應(yīng)的最大幅值為 A11，2＝22.950 0，對應(yīng)初相角φ12＝π/50。依次類推，得出當(dāng)i取不同正整數(shù)時(shí)對應(yīng)的峰值和初相角，將其所得數(shù)值制成表格，如表2所示。

表2 幅值與初相角的對應(yīng)關(guān)系

3 實(shí)例3K行星齒輪當(dāng)量嚙合誤差分析

3K型漸開線直齒圓柱行星齒輪減速機(jī)構(gòu)，其基本參數(shù)如表3所示。

表3 行星齒輪基本參數(shù)

將表3中各參數(shù)代入行星齒輪傳動(dòng)誤差模型式(1)中并整理得

令式(5)中方括號里每相依次為e1到e13，則e4+e8+e13＝16×cos(π/9)×sinγpi+9.862×sin(γpi2-π/9)，當(dāng) γpi＝π，γpi2＝π/9，此 3 個(gè)分量 e4，e8，e13傳動(dòng)誤差的耦合補(bǔ)償之和為 0，e(7ωs/8)＝ 13sin(7×ωst/8+βs+π/9)，e(21ωs/200)＝ -25.887sin(21×ωst/200-βI2+π/9)，e(ωs/8)＝ -0.699sin(1×ωst/8-βI+π/9)，e(11ωs/24)＝ -8.778sin(11×ωst/24-βpi+π/2)，此時(shí) γs＝βI-2π/9，γc＝βI+8π/9，γI2＝βI，βpi2 ＝βpi-7π/18，βs，βI2，βI，βpi取任意值。

將不同角頻率的誤差分量 e(ωs/8)，e(7ωs/8)運(yùn)用第2 節(jié)中的方法進(jìn)行數(shù)值分析，令 ea＝ e(ωs/8)+e(7ωs/8)，ωs＝600，βI＝π/9，T＝2π，此時(shí) ea＝-0.699sin(75t)-13sin(525t+βs+π/9)，βs＝i×2π/100(i＝ 1，2，…，n，n＝100)。對比分析所有的峰值，得出當(dāng)i＝95時(shí)，有最小峰值 A95a(min)＝13.6311，則其對應(yīng)初相角 β95s＝95π/50為數(shù)值計(jì)算所求最佳誤差補(bǔ)償初相角。

同理， 在 ea的基礎(chǔ)上令 eb＝ e(ωs/8)+e(7ωs/8)+e(11ωs/24)，βs＝ 95π/50，此時(shí) eb＝ -0.699sin(75t)-13sin(525t+59π/450)-8.778sin(275t-βpi+π/2)，βpi＝i×2π/100(i＝1，2，…，n，n＝100)。 計(jì)算并對比分析所有的峰值，得出當(dāng)i＝8時(shí)，有最小峰值＝21.5847，則其對應(yīng)初相角β8pi＝8π/50為數(shù)值計(jì)算所求最佳誤差補(bǔ)償初相角。

同理，在 eb的基礎(chǔ)上，令 ec＝ e(ωs/8)+e(7ωs/8)+e(11ωs/24)+e(21ωs/200)，βpi＝ 8π/50，此時(shí) ec＝ -0.699sin(75t)-13sin(525t+59π/450)-8.778sin(275t-7π/10)-25.887sin(63t-βi2+π/9)，βI2＝i×2π/100(i＝1，2，3，…，n)。計(jì)算并對比分析所有的峰值，得出當(dāng)i＝94時(shí)，有最小峰值A(chǔ)9c4(min)＝46.0663，則其對應(yīng)初相角＝94π/50為數(shù)值計(jì)算所求最佳誤差補(bǔ)償初相角。

綜上所述，運(yùn)用數(shù)值計(jì)算方法得各誤差初相的數(shù)值關(guān)系，如表4所示。

表4 誤差初相數(shù)值關(guān)系

通過對比分析計(jì)算得誤差初相最佳耦合補(bǔ)償初相角，在相應(yīng)零部件裝配時(shí)，使用計(jì)算所得初相角進(jìn)行裝配，可先確定βI，再以βI為基準(zhǔn)對太陽輪、行星架、行星輪進(jìn)行誤差初相調(diào)試裝配，使3者的裝配偏心誤差初相與βI滿足表4中數(shù)值關(guān)系，此時(shí)得到的系統(tǒng)傳動(dòng)誤差為數(shù)值耦合補(bǔ)償誤差。

4 對比分析

4.1 數(shù)值分析與調(diào)試裝配法之間的對比分析

根據(jù)文獻(xiàn)[9]知 e(ωs/8)，e(7ωs/8)，e(11ωs/24)，e(21ωs/200)和 e6，10，15的 耦 合 誤 差 (即) 的 振 幅 B1～13≈48.364，即運(yùn)用調(diào)試裝配法可得行星齒輪傳動(dòng)誤差ΔθsI2＝212.19″。而在調(diào)試裝配法基礎(chǔ)上運(yùn)用數(shù)值計(jì)算的方法得行星齒輪傳動(dòng)誤差Δθsc＝202.23″，傳動(dòng)誤差降低9.96″，即傳動(dòng)精度提高4.7%。

4.2 隨機(jī)裝配傳動(dòng)誤差的對比分析

假設(shè)各構(gòu)件偏心誤差分量的初相隨機(jī)分配如表4所示，利用蒙特卡洛法對Δθsc進(jìn)行5萬次模擬計(jì)算，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖3所示。

圖3 隨機(jī)裝配傳動(dòng)誤差統(tǒng)計(jì)

圖 3 中，Δθsc最小值為 154″，最大值為 748″，數(shù)學(xué)期望為459.56″，標(biāo)準(zhǔn)差為86.46″。可見數(shù)值計(jì)算傳動(dòng)誤差Δθsc＝202.23″比隨機(jī)裝配系統(tǒng)的傳動(dòng)誤差小，降低257.33″，系統(tǒng)傳動(dòng)精度提高約56.0%，效果明顯。

4.3 精度等級之間的對比分析

若將太陽輪a、行星輪f、行星輪g、內(nèi)齒圈b、內(nèi)齒圈e和行星架H提高一個(gè)精度等級，其加工偏心誤差和裝配偏心誤差如表5所示。

表5 誤差基本參數(shù) μm

利用蒙特卡洛法在各誤差初相隨機(jī)分配情況下，對Δθsc進(jìn)行5萬次模擬計(jì)算，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖4所示。

圖4 隨機(jī)裝配傳動(dòng)誤差統(tǒng)計(jì)

由圖 4 可知，Δθsc最小值為 110″，最大值為508″，數(shù)學(xué)期望為 314.96″，標(biāo)準(zhǔn)差為 58.37″。 可見數(shù)值計(jì)算傳動(dòng)誤差比提高各構(gòu)件加工精度隨機(jī)裝配后得到的系統(tǒng)傳動(dòng)誤差小，降低112.73″，系統(tǒng)傳動(dòng)精度提高約35.79%。

5 結(jié)論

(1)運(yùn)用數(shù)值分析法將行星齒輪各偏心誤差轉(zhuǎn)換為嚙合線當(dāng)量嚙合誤差進(jìn)行數(shù)值分析計(jì)算，其行星齒輪傳動(dòng)誤差為202.23″，比用調(diào)試裝配法所得行星齒輪傳動(dòng)誤差的212.19″降低9.96″，傳動(dòng)精度提高4.7%，說明在調(diào)試裝配法基礎(chǔ)上運(yùn)用數(shù)值分析法這一方法是有效的。

(2)在各構(gòu)件偏心誤差分量初相隨機(jī)情況下，利用蒙特卡洛法對隨機(jī)裝配系統(tǒng)進(jìn)行傳動(dòng)誤差分析，數(shù)值期望為459.56″。與之相比，實(shí)例運(yùn)用數(shù)值計(jì)算所得傳動(dòng)誤差小257.33″，降低了近56.0%，可見運(yùn)用數(shù)值計(jì)算的方法可大幅減小系統(tǒng)傳動(dòng)誤差，提高系統(tǒng)傳動(dòng)精度。

(3)在提高各構(gòu)件一個(gè)加工精度等級的基礎(chǔ)上，利用蒙特卡洛法對隨機(jī)裝配系統(tǒng)進(jìn)行誤差分析，得行星齒輪傳動(dòng)誤差數(shù)值期望為314.96″，其行星齒輪傳動(dòng)誤差仍然比運(yùn)用數(shù)值計(jì)算所得行星齒輪傳動(dòng)誤差大112.73″，可見運(yùn)用數(shù)值分析的方法比提高各部件加工精度能更有效地減小行星齒輪傳動(dòng)誤差，且提高加工精度等級所對應(yīng)的加工成本更高。

(4)運(yùn)用數(shù)值分析的方法可計(jì)算相應(yīng)行星齒輪偏心類誤差轉(zhuǎn)換為嚙合線當(dāng)量嚙合誤差的各個(gè)初相值，使用數(shù)值分析所得初相角進(jìn)行行星齒輪的裝配和調(diào)試，可有效提高系統(tǒng)傳動(dòng)精度，減少系統(tǒng)傳動(dòng)誤差，且此數(shù)值計(jì)算方法比調(diào)試裝配法和提高行星齒輪各構(gòu)件加工精度更經(jīng)濟(jì)、更有效。

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