在“問題解決”過程中培育學生數(shù)學素養(yǎng)

王芳

摘 要：培育學生數(shù)學學科素養(yǎng)是數(shù)學教學的應有之義。以“問題解決”為腳手架，可以將學生的學科素養(yǎng)培植真正而有效地落實。學生的問題意識在問題解決過程中能夠得以激發(fā)，學生的符號意識在問題解決過程中得以培育，學生的思維能力在問題解決過程中得以發(fā)展，學生的實踐創(chuàng)造在問題解決過程中得以實現(xiàn)。

關鍵詞：問題解決；數(shù)學素養(yǎng)；培育

當下，培育學生的“核心素養(yǎng)”受到普遍的關注。何為數(shù)學學科“核心素養(yǎng)”？仁者見仁，智者見智。有研究者認為，從《數(shù)學課程標準》中的十大核心詞出發(fā)，可以有效培植學生的核心素養(yǎng)。這里，筆者無意于核心素養(yǎng)的討論，筆者更為關注的是數(shù)學學科素養(yǎng)如何真正落實到數(shù)學教學之中去。對于學生數(shù)學學科素養(yǎng)而言，筆者認為，重要的是培育學生的問題意識、符號意識、思維能力和實踐創(chuàng)造的能力和品格。在現(xiàn)實的教與學中，上述諸方面內容是交織在一起的。為此，我們以“問題解決”為載體，將學生數(shù)學學科素養(yǎng)納入問題解決的整體框架之下，引領學生理解數(shù)學知識，掌握數(shù)學技能，形成數(shù)學思考，積累數(shù)學活動經驗。抓住學生數(shù)學問題解決，也就抓住了學生數(shù)學學習的“牛鼻子”，牽一發(fā)而動全身。

一、問題意識，在問題解決過程中得以激發(fā)

問題是數(shù)學的心臟，問題更是數(shù)學教學的動力引擎。著名物理學家愛因斯坦曾說，“提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因為解決問題也許僅僅是一個教學上或實驗上的技能而已。而提出新的問題、新的可能性，從新的角度去看舊的問題，需要有創(chuàng)造性的想象力，而且標志著科學的真正進步”。學生能夠自主地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題是數(shù)學學科素養(yǎng)形成的重要標識，好的數(shù)學問題能夠開啟學生的數(shù)學理解。從某種意義上講，對某一問題深刻地“問”已經是對某一問題的“答”或者已經蘊含著對某一問題的“答”了。

例如，教學蘇教版六年級下冊的《解決問題的策略——假設》，筆者向學生呈現(xiàn)了經典的“雞兔同籠”問題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？面對這樣的問題結構，學生展開了熱烈的討論，從數(shù)學的角度提出了一系列問題，這些問題是學生數(shù)學深度思考的結果。例如“雉兔為什么關在同一個籠子里？”“三十五頭是誰的頭？”“九十四足是誰的足？”“數(shù)學問題解決允許一個一個地嘗試嗎？”“如果關的全都是兔子，頭的個數(shù)、腳的個數(shù)分別是多少呢？”“如果雉兔同樣多或者只相差一個，腳的個數(shù)會怎樣呢？”等，這些問題，有的是對數(shù)學知識本源、功能的主動發(fā)問，有的觸及數(shù)學知識的本質，還有的有利于學生建構數(shù)學模型，形成解決問題的策略。學生通過對數(shù)學問題情境要素的觀察、分析，深入挖掘隱藏于其中的數(shù)學關系，大膽猜想，對所提問題進行具體分析，進而解決問題，并在這個過程中自然地生發(fā)出新的問題。

對于學生數(shù)學問題意識和提出問題的能力的培育，可以借鑒國外學者布朗與沃爾特的方法——“否定假設法”（what-if-not），即如果不是這樣，它還可能會怎樣呢？教學中，要依據(jù)數(shù)學知識的特質和學生認知的特質，發(fā)散學生的思維，“逼迫”學生從多個方向、多個視角展開探索。如此，問題就不是靜態(tài)的、固定的，而是動態(tài)的、不斷生成的。

二、符號意識，在問題解決過程中得以培育

數(shù)學是一種語言，學習數(shù)學就是掌握一種語言、一種符號規(guī)則系統(tǒng)。對數(shù)學問題的確證與表征就是學生主動運用數(shù)學符號，將文本語言轉譯成數(shù)學語言的過程。在解決問題的教學中，教師要引導學生進行語言符號之間的互譯。在這個過程中，一方面，要引導學生善于捕捉問題中的數(shù)學信息，從數(shù)學的視角深刻理解問題的數(shù)學本質內涵；另一方面，要引導學生善于賦予數(shù)學符號以現(xiàn)實意義。只有當學生能夠在文字語言、圖形（圖像）語言、符號語言之間來回穿行，學生的符號化能力才能有效形成。

符號意識的形成有賴于學生對數(shù)、數(shù)量關系、數(shù)學圖形、數(shù)學模型的敏感度。例如教學《用字母表示數(shù)》，筆者運用這樣一首兒歌導入新課：一只青蛙一張嘴，兩只眼睛四條腿，撲通撲通跳下水……于是乎，學生情不自禁地展開模仿。但他們發(fā)現(xiàn)，無論怎樣模仿都說不完，怎么辦呢？怎樣解決這樣的問題呢？一種尋求普適性、概括性、通用性的符號化表達訴求在學生的內心醞釀著。為了解決這樣的問題，學生“煞費腦筋”，主動地創(chuàng)造符號。他們有的用“a只青蛙b張嘴，c只眼睛d條腿，撲通撲通跳下水……”表示，有的用“a只青蛙a張嘴，b只眼睛c條腿……”表示，……顯然，學生對青蛙的數(shù)量與嘴巴、眼睛、腿等的數(shù)量之間的關系還沒有形成深刻的認識。但在運用個性化符號表示數(shù)量關系的過程中，學生已初步感受并體驗到用字母符號表示數(shù)量之間關系的優(yōu)越性、便捷性、普適性。學生自覺地運用、創(chuàng)造數(shù)學符號，是萌發(fā)、生長符號思想的前提和條件。在教學中，教師要呵護學生的童言童語，關注學生的個性語言，喚醒學生的符號表象，讓學生逐步用符號抽象數(shù)量之間的關系。如此，學生才能自由地行走在文字語言與符號語言之間。

三、推理能力，在問題解決過程中得以發(fā)展

數(shù)學是一門思維科學，數(shù)學思維是最嚴謹?shù)摹⒆钣行虻?，其體現(xiàn)之一就是推理過程的嚴密。運用問題解決，能夠激活學生的數(shù)學思維。所謂“數(shù)學思維”，是指學生能夠用“數(shù)學的眼光”看問題，用“數(shù)學的大腦”思考問題，用“數(shù)學的方法”解決問題。毫無疑問，學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的整個過程是艱辛的，但它卻錘煉了學生的數(shù)學思維，尤其是推理能力。只有立足于推理能力的培養(yǎng)，才能讓學生更好地理解、感悟數(shù)學教學內容的意義、方法。

例如，教學《長方形的認識》，鑒于學生已經在一年級初步認識了長方形，筆者在教學中沒有遵循一般的亦步亦趨的教學思路，而是給學生提供了一些實驗素材，如釘子板與橡皮筋、幾組長短不同的小棒、剪刀和各種形狀的紙片等，讓學生“制作一個長方形”。這樣的任務不再是封閉的，而是開放性的。學生在完成任務、解決問題的過程中自然地需要運用到數(shù)學推理。例如，利用小棒圍長方形的學生，在圍的過程中主動思考這樣的問題：一組等長的小棒應該放在哪里？（深度思考了長方形對邊相等）在此基礎上又可以進一步推理：怎樣讓小棒圍成長方形而不是圍成普通的平行四邊形？（深度思考了長方形的四個角都是直角）又如，用釘子板圍長方形的學生，在圍的過程中自然產生了這樣的問題：怎樣讓不小心圍成的直角梯形用最少的步驟改圍成長方形？（深度思考了長方形和直角梯形之間的區(qū)別）怎樣檢驗用圓折成的長方形？（深度思考了長方形特征的作用）正是在問題解決的過程中，學生的思維步步發(fā)展，一環(huán)扣一環(huán)，表現(xiàn)出很強的推理特征，從而對數(shù)學知識有了本質化的認識。

數(shù)學問題解決活動不僅是一種心智活動，而且是一種嚴密的推理過程。學生在推理的過程中主動發(fā)現(xiàn)、猜想，主動進行驗證，形成客觀化的數(shù)學知識。因此，基于問題解決的推理可以說就是學生思維發(fā)展的沃土，學生的推理能力也因此在問題解決過程中得以充分培養(yǎng)。教學中，教師要拓寬學生思維的長度，延展學生思維的寬度，提升學生思維的高度，于是推理能力的培養(yǎng)就可以得到保證。

四、實踐創(chuàng)造，在問題解決過程中得以實現(xiàn)

學生的數(shù)學學習不僅僅是一種符號化能力，更是蘊含著思維的實踐創(chuàng)造。為了讓學生在解決問題過程中沖破思維的束縛，掙脫思維的習慣，解除思維的定式，更加富有成效地解決問題，教師應當引領學生不斷超越，不斷更新自我的知識理解，在動手操作、大膽嘗試中不斷形成創(chuàng)新意識和實踐能力。

例如教學《認識乘法》，筆者出示了一組“對比題”：擺兩行正方形，第一行擺4個，第二行擺5個，一共擺了多少個？擺兩行正方形，第一行擺4個，第二行也擺4個，一共擺了多少個？擺一百行正方形，每一行都擺4個，一共擺了多少個？對于第一道題，學生用加法列式；對于第二道題，學生也用加法列式，但已經覺察到兩道題的細微差異，即加數(shù)由不同變成了相同；對于第三道題，學生發(fā)現(xiàn)根本不可能用一般的加法進行運算。于是，一種尋求新運算的心理自然生成。這時，筆者順勢揭示了乘法的意義。接著，筆者讓學生用乘法標示第二道題、第三道題。令人驚訝的是，許多學生竟然創(chuàng)造性地用乘法表示第一道題，有學生表示為4×2+1，有學生表示為5×2-1，還有學生在操作中將兩行變成了三行，列式為3×3，并且用圖來說明、解釋……學生的數(shù)學創(chuàng)新潛能在問題解決中得以發(fā)掘。

基于創(chuàng)造的視角，我們發(fā)現(xiàn)，許多數(shù)學問題是可以從不同的角度、用不同的思路、采用不同的方法予以解決的。數(shù)學問題的創(chuàng)造性解決，可以讓學生在探索中學、在探索中玩、在探索中研。為此，教師要為學生營造數(shù)學創(chuàng)想的氛圍，打造數(shù)學創(chuàng)造的空間，對學生的數(shù)學創(chuàng)造實踐進行眾扶、眾籌，從而讓學生“敢于種植未開墾的土地”（陶行知語）。

學生數(shù)學學習的問題意識、符號意識、思維能力和實踐創(chuàng)造等諸種學科素養(yǎng)都可以“以問題解決的方式”展開。同樣，有效的問題解決也離不開學生的問題意識、符號意識、思維能力和實踐創(chuàng)造。從這個角度來看，數(shù)學問題解決能夠有效地促進學生數(shù)學素養(yǎng)乃至核心素養(yǎng)的目標實現(xiàn)。數(shù)學教學應該從學生的實際出發(fā)，根據(jù)不同的內容和學生的不同學情，讓學生在問題解決過程中將諸種學科素養(yǎng)的培育統(tǒng)一起來，讓學科素養(yǎng)乃至核心素養(yǎng)的培植落地生根。