球軸承非線性動態(tài)剛度特性及其復(fù)雜共振行為研究*

董文凱 張智勇,? 芮筱亭 陳予恕 靳玉林

(1.南京理工大學(xué) 理學(xué)院,南京 210094) (2.南京理工大學(xué) 發(fā)射動力學(xué)研究所,南京 210094)(3.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院,哈爾濱 150001) (4.四川大學(xué) 空天科學(xué)與工程學(xué)院,成都 610065)

引言

滾動軸承作為旋轉(zhuǎn)機(jī)械中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)核心支承部件,在工業(yè)部門中廣泛應(yīng)用.隨著國民經(jīng)濟(jì)的增長以及國防事業(yè)的發(fā)展,旋轉(zhuǎn)機(jī)械正在向高速、重載和自動化方向發(fā)展,對軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性、安全性提出了更高的要求.滾動軸承內(nèi)圈一般與轉(zhuǎn)軸是過盈配合的,滾動體在自轉(zhuǎn)的同時隨著保持架在滾道繞轉(zhuǎn)軸公轉(zhuǎn).在各個滾動體公轉(zhuǎn)進(jìn)入和離開承載區(qū)域過程中,軸承的剛度是時變的,時變剛度誘發(fā)的振動通常稱為變?nèi)岫?varying compliance,VC)振動[1-3].滾動軸承的時變剛度特性是轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的不可避免的參激源,已經(jīng)有大量研究指出滾動軸承的VC振動具有復(fù)雜的滯后共振響應(yīng)特性[4-9].然而,迄今有關(guān)軸承非線性時變剛度特性對系統(tǒng)VC共振及其分岔行為影響的專門研究尚少.

針對滾動軸承VC振動問題,Sunnersj?[10]較早分析了考慮慣性力的線彈性圓柱滾子軸承模型,發(fā)現(xiàn)VC振動可以給系統(tǒng)帶來周期運(yùn)動和不規(guī)則的非周期運(yùn)動.Fukata等[1]進(jìn)一步研究了考慮赫茲接觸非線性的經(jīng)典兩自由度軸承模型,指出JIS6306球軸承VC振動在軸承共振頻率區(qū)間具有拍振(其中包括準(zhǔn)周期運(yùn)動行為)和類混沌(chaos-like)運(yùn)動行為,并且發(fā)現(xiàn)在一階臨界轉(zhuǎn)速附近系統(tǒng)存在VC亞諧振動.Rahnejat和Gohar[11]研究指出在考慮潤滑的情況下鋼球數(shù)量和徑向游隙對深溝球軸承VC振動的影響依然顯著.Mevel和Guyader[2,12]通過數(shù)值計算和實(shí)驗(yàn)討論了JIS6306球軸承VC振動通向混沌的道路,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在倍周期分岔和準(zhǔn)周期運(yùn)動進(jìn)入混沌的形式,其中倍周期分岔主要發(fā)生在一階臨界轉(zhuǎn)速范圍.Sankaravelu等[4]把打靶法與同倫延拓法相結(jié)合,發(fā)現(xiàn)滾動軸承VC振動響應(yīng)曲線具有滯后行為. Tiwari和Gupta[3,13]研究了平衡、不平衡剛性轉(zhuǎn)子-滾動軸承系統(tǒng)的VC振動,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)共振幅頻響應(yīng)區(qū)間具有突跳失穩(wěn)和陣發(fā)性混沌振動特征.白長青、許慶余等[14]研究了深溝球軸承VC振動的穩(wěn)定性,指出VC周期運(yùn)動幅頻響應(yīng)的不穩(wěn)定區(qū)間的個數(shù)隨軸承徑向間隙的增加而增多.崔立和王黎欽等[15]建立了一種擬動力學(xué)球軸承模型,發(fā)現(xiàn)軸承非線性可使支承剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的周期運(yùn)動發(fā)生突跳、倍化以及混沌振動等非線性行為.鄧四二等[16]理論和實(shí)驗(yàn)證實(shí)軸承間隙對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的支承剛度、運(yùn)行穩(wěn)定性有顯著影響.

傳統(tǒng)上,滾動軸承被稱為滾動接觸軸承[17,18],這是針對滾動體與滾道之間的接觸變形關(guān)系而言的,且二者接觸變形一般認(rèn)為滿足赫茲接觸理論假設(shè)：(1)材質(zhì)均質(zhì)；(2)接觸區(qū)域尺寸遠(yuǎn)小于接觸體尺寸；(3)不考慮接觸區(qū)摩擦,且作用力垂直于接觸面；(4)變形屬于彈性變形.接觸共振是指接觸非線性系統(tǒng)在線性等效共振頻率區(qū)間內(nèi)的共振特性,Nayak[20]比較早地采用諧波平衡法分析了單自由度赫茲接觸系統(tǒng)在簡諧激勵下的響應(yīng)特征,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在接觸主共振區(qū)間幅頻響應(yīng)曲線向左偏,即系統(tǒng)具有軟的動力學(xué)滯后共振行為.Rigaud和Perret-Liaudet[21]明確指出只有采用接觸非線性模型才可能準(zhǔn)確地預(yù)測系統(tǒng)的響應(yīng)特性.球軸承受載過程中,將在滾珠和滾動之間產(chǎn)生赫茲接觸變形[19].張智勇、陳予恕等[7,8]采用諧波平衡-頻時轉(zhuǎn)換(HB-AFT)方法結(jié)合Floquet理論研究了球軸承VC振動的赫茲接觸共振特性及其參數(shù)影響規(guī)律,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)具有軟的滯后主共振行為,并被隨后實(shí)驗(yàn)證實(shí)[9].

就滾動軸承-轉(zhuǎn)子動力學(xué)而言,學(xué)者們更加關(guān)注滾動軸承的支承特性和時變激勵特征對軸承及整個轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動特性和運(yùn)動穩(wěn)定性等方面的影響[19,22-24],有大量工作[25-27]對滾動軸承動態(tài)時變剛度的計算方法和影響因素進(jìn)行了研究.Harris[19]明確指出由于滾珠與滾動體之間的非線性受力-變形關(guān)系,軸承支承剛度具有時變特性且與轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速有關(guān),而研究球軸承動態(tài)剛度特性及其對VC振動的影響具有基礎(chǔ)理論意義.本文將以HB-AFT方法和數(shù)值積分方法為主要分析手段,對球軸承的非線性動態(tài)剛度特性及其復(fù)雜共振行為展開研究,擬探究系統(tǒng)動態(tài)剛度特性與主共振區(qū)間復(fù)雜運(yùn)動分岔行為的內(nèi)在關(guān)聯(lián).

1 模型

在研究考慮軸承徑向間隙、軸承時變剛度和赫茲接觸力等非線性因素的球軸承VC振動時,采用如圖1所示的2自由度深溝球軸承模型就可得較好的定性和定量的結(jié)果[3,8,12].

圖1 經(jīng)典兩自由度深溝球軸承模型及其徑向位移變形關(guān)系Fig.1 Classical 2-DOF deep groove ball bearings and its displacement-deformation relationship in radical direction

第i個滾動體的瞬時角位置為：

θi=2π(i-1)/Nb+Ωt

(1)

式中,Nb為滾動體個數(shù)；Ω為保持架轉(zhuǎn)速(rad/s).

其中Ω與轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速ωs、軸承內(nèi)圈半徑ri以及外圈半徑ro的關(guān)系為：

(2)

在小變形條件下,第i個滾動體與軸承套圈的接觸變形表示為：

δi=xcosθi+ysinθi-δ0

(3)

這里2δ0為軸承的徑向游隙.

對于球軸承,不考慮潤滑條件下鋼球與滾道之間的位移變形關(guān)系滿足赫茲點(diǎn)接觸,則軸承恢復(fù)力滿足：

(4)

式中,Cb為軸承的赫茲接觸剛度(N/m3/2)；G[·]為Heavisde函數(shù).

球軸承-剛性Jeffott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為：

(5)

式中,m為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)等效質(zhì)量(m)；c為軸承等效阻尼(Ns/m)；W為軸承內(nèi)圈承受重力(N).

球軸承在承載后,將在滾珠和滾動之間產(chǎn)生赫茲接觸變形,由于滾珠與滾動體之間的非線性受力-變形關(guān)系,軸承支承剛度是與系統(tǒng)參數(shù)相關(guān)的時變量.根據(jù)恢復(fù)力(4)式,可求得系統(tǒng)線性化動態(tài)剛度為[2,23]：

(6)

則球軸承的時變固有頻率為：

(7)

就VC振動而言,滾珠通過頻率激起的VC周期1運(yùn)動是系統(tǒng)的基本運(yùn)動形式,系統(tǒng)(5)式VC參激頻率為：

ΩVC=Nb·Ω

(8)

則系統(tǒng)VC周期1運(yùn)動在x方向或y方向發(fā)生參激主共振的條件為：

(9)

對于球軸承-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng),其支承力僅在滾珠和滾道之間引起赫茲接觸變形,則(9)式所表示的共振本質(zhì)上是由赫茲非線性引起的參激接觸主共振.

2 方法

本文采用HB-AFT方法求解系統(tǒng)VC周期響應(yīng),并采用Floquet理論對解的穩(wěn)定性進(jìn)行分析.首先,進(jìn)行式(5)的位移和非線性力的諧波平衡化過程：

(10)

(11)

把式(10)、(11)代入方程(5),諧波平衡可得：

g(P,Q)=0

(12)

其中P、Q分別表示位移和非線性力諧波系數(shù).

把Q記為已知,可采用Newton-Raphson迭代求解不動點(diǎn)P：

J(i)(P(i+1)-P(i))+g(i)=0

(13)

其中,迭代Jacobian矩陣：

J=dg(P,Q)/dP

=?g(P,Q)/?P+?g(P,Q)/?Q·dQ/dP

(14)

迭代過程中,采用AFT轉(zhuǎn)換給出式(14)中dQ/dP的關(guān)系.然后,對所得周期解進(jìn)行Floquet穩(wěn)定性分析[8].

3 分析結(jié)果

對于如表1所示的JIS6306深溝球軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng),取軸承游隙為δ0=1.0μm時,如圖2所示系統(tǒng)在Ω=180rad/s、200rad/s和220rad/s時的動態(tài)剛度都是周期性時變的,而且與已有文獻(xiàn)[19,27]結(jié)果一致,系統(tǒng)的VC特性是隨轉(zhuǎn)速變化的.另外,由式(7)可知,系統(tǒng)的動態(tài)固有頻率同樣隨轉(zhuǎn)速變化的.滾動軸承VC振動是由滾動體公轉(zhuǎn)引起的一種不可避免的時變剛度參激振動,下面分析JIS6306球軸承系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速的全局周期響應(yīng)特性.

表1 JIS6306軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)Table 1 Specifications and parameters of JIS6306 ball bearing-rotor system

圖2 當(dāng) δ0=1.0μm時,系統(tǒng)在Ω 取180rad/s、200rad/s和220rad/s時的動態(tài)剛度,其中τ = Ω tFig.2 For δ0 = 1.0 μm,the system dynamic stiffness when Ω takes 180 rad/s,200 rad/s and 220 rad/s,here τ = Ω t

圖3 當(dāng)δ0 = 1.0 μm時,(a) x (黑線)、y (紅線)方向穩(wěn)定(實(shí)線)和不穩(wěn)定(虛線)的VC周期解頻響峰峰值曲線,為系統(tǒng)動態(tài)等效固有頻率隨Ω的變化值Fig.3 For δ0 = 1.0 μm,(a) stable (solid) and unstable (dashed) VC periodic frequency-response peak to peak curves, c=200 Ns/m inx (black line) and y (red line) directions respectively,(b) and are the system equivalent dynamic natural frequencies varying with Ω

已有研究表明較大間隙可以給系統(tǒng)帶來復(fù)雜的非線性響應(yīng)行為[28],而軸承游隙δ0是系統(tǒng)的基本參數(shù)之一.取δ0=6.0μm,采用嵌入弧長延拓的HB-AFT方法結(jié)合Floquet理論分析系統(tǒng)x方向主共振區(qū)間的周期運(yùn)動及其分岔行為.如圖4所示,隨著控制參數(shù)Ω的變化,穩(wěn)定的VC周期1解分枝的Floquet乘子在A1(見表2)、A2點(diǎn)通過-1離開單位圓,由亞臨界倍周期分岔失穩(wěn)產(chǎn)生的VC周期2解分枝依然包含多個失穩(wěn)區(qū)間,這與圖5(a)的數(shù)值分岔圖結(jié)果是吻合的,其中不穩(wěn)定周期2解A1-A2段是在A1、A2點(diǎn)由二次Hopf分岔失穩(wěn)產(chǎn)生的.

圖4 當(dāng)δ0=6.0μm時,(a) x方向、(b) y方向穩(wěn)定(實(shí)線)和不穩(wěn)定(虛線)的周期解頻響峰峰值曲線Fig.4 For δ0=6.0 μm,stable (solid) and unstable (dashed) periodic frequency-response peak to peak curves in (a) x direction and (b) y direction

表2 周期1分支在轉(zhuǎn)向點(diǎn)A1附近的 Floquet 乘子λmTable 2 Floquet multipliers λm of period-1 branch around the turning point A1

圖5 當(dāng)δ0=6.0μm時,(a) x(t)的數(shù)值分岔圖,其中黑點(diǎn)、紅點(diǎn)分別為向上、向下掃頻的數(shù)值積分結(jié)果,(b)系統(tǒng)動態(tài)等效固有頻率隨Ω的變化值Fig.5 For δ0=6.0 μm,(a) bifurcation diagram of x(t) calculated by numerical integrations when Ω sweeping up (black dots) and down (red dots),and (b) the system equivalent dynamic natural frequencies and varying with Ω

圖6 當(dāng)δ0 = 6.0 μm時,系統(tǒng)在Ω 取180 rad/s、200 rad/s和220 rad/s時的動態(tài)剛度,其中τ = Ω tFig.6 For δ0 = 6.0 μm,the system dynamic stiffness when Ω takes 180 rad/s,200 rad/s and 220 rad/s,here τ = Ω t

圖7 當(dāng)δ0 = 6.0 μm時,系統(tǒng)在Ω取(a)225 rad/s、(b)226 rad/s、(c)226.5 rad/s和(d)227 rad/s時響應(yīng)的Poincare映射Fig.7 For δ0 = 6.0 μm,Poincare maps of the response for Ω at (a)225 rad/s,(b)226 rad/s,(c)226.5 rad/s and (d)227 rad/s

4 結(jié)論

球軸承非線性因素帶來的滯后共振行為會給軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)帶來突跳、沖擊作用,進(jìn)而可對轉(zhuǎn)子的運(yùn)行穩(wěn)定性和安全性帶來影響.因此,分析此非線性系統(tǒng)的動態(tài)剛度特性,對于預(yù)測乃至避開系統(tǒng)的VC接觸共振區(qū)間具有重要意義.在本文中,針對軸承非線性時變剛度特性對系統(tǒng)VC共振及其分岔行為影響的專門研究尚少的情況,采用理論和數(shù)值方法相結(jié)合,深入探討了系統(tǒng)動態(tài)剛度特性與主共振區(qū)間復(fù)雜運(yùn)動分岔行為的內(nèi)在關(guān)聯(lián).研究指出非共振區(qū)間的動態(tài)等效固有頻率對于預(yù)測系統(tǒng)VC接觸共振位置具有一定的參考價值.另外,發(fā)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)不同自由度方向上的固有頻率值接近1∶2比例關(guān)系時,系統(tǒng)可能產(chǎn)生強(qiáng)烈的內(nèi)共振,進(jìn)而誘發(fā)響應(yīng)的周期倍化分岔甚至準(zhǔn)周期、混沌振動.該研究對球軸承復(fù)雜共振響應(yīng)的控制具有潛在的理論意義和工程價值.