平面線圈型直線時(shí)柵參數(shù)優(yōu)化方法

徐清華，武 亮，彭東林，徐 是

(重慶理工大學(xué) 時(shí)柵傳感及檢測(cè)技術(shù)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 重慶 400054)

時(shí)柵位移傳感器基于“時(shí)空坐標(biāo)轉(zhuǎn)換理論”，用時(shí)間變化量替代空間位移量，運(yùn)用高頻時(shí)鐘脈沖插補(bǔ)的方式實(shí)現(xiàn)高精度測(cè)量[1]。新型磁場(chǎng)式直線時(shí)柵位移傳感器是一種平面線圈型直線位移傳感器，通過(guò)在測(cè)量平面刻劃“回”型線圈的方式產(chǎn)生行波磁場(chǎng)，抑制機(jī)械加工齒槽對(duì)行波磁場(chǎng)的非勻速性影響，測(cè)量精度達(dá)到±1 μm[2]。傳感器勵(lì)磁線圈導(dǎo)線之間的間隔和兩相鄰勵(lì)磁線圈中心距的大小是影響脈振磁場(chǎng)性能的重要參數(shù)。文獻(xiàn)[2]中的傳感器勵(lì)磁線圈導(dǎo)線之間的間隔相等，兩相鄰勵(lì)磁線圈中心距未做優(yōu)化，從而使測(cè)量平面的脈振磁場(chǎng)諧波成分較多，影響傳感器的測(cè)量精度。針對(duì)該問(wèn)題，筆者所在課題組[3]前期采用枚舉法對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化時(shí)間約為1.817 h，優(yōu)化后諧波畸變率為0.167 4。該方法不僅費(fèi)時(shí)，優(yōu)化效果也不盡理想。

目前，學(xué)者們提出了諸如隨機(jī)方向法、懲罰函數(shù)法、遺傳算法等有約束優(yōu)化方法[4]。其中隨機(jī)方向法過(guò)程簡(jiǎn)單，但是計(jì)算效率較低。王普凱等[5]采用隨機(jī)方向法對(duì)變速箱擋比進(jìn)行優(yōu)化，使車輛原地起步加速時(shí)間和累積燃油消耗量分別降低了7.133%、3.54%，但是優(yōu)化時(shí)間為7.283 h。懲罰函數(shù)法通過(guò)引進(jìn)1個(gè)乘法因子把其轉(zhuǎn)化為無(wú)約束問(wèn)題。邱麗芳等[6]采用懲罰函數(shù)法優(yōu)化了柔性鉸鏈的結(jié)構(gòu)參數(shù)，優(yōu)化后繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)能力增大，運(yùn)動(dòng)能力減小，但是優(yōu)化過(guò)程需要大量的時(shí)間。遺傳算法具有收斂性好、計(jì)算時(shí)間少等優(yōu)點(diǎn)[7-8]，但是該算法是一種全局優(yōu)化方法，解決局部最優(yōu)問(wèn)題能力較差[9]。胡俊峰等[10]以微操作平臺(tái)強(qiáng)度為約束條件，采用遺傳算法對(duì)該平臺(tái)進(jìn)行優(yōu)化，使平臺(tái)固有頻率增大了35.58%，最小應(yīng)力減小了38.97%，但是函數(shù)容易收斂于局部最優(yōu)值。對(duì)于上述傳統(tǒng)優(yōu)化方法的缺點(diǎn)學(xué)者們進(jìn)行了大量的研究。Amirjanov等[11]提出了一種改變搜索區(qū)域的遺傳算法，用12個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)測(cè)試其尋優(yōu)性能，尋優(yōu)效果良好，但是過(guò)程較復(fù)雜，局部尋優(yōu)能力不高。Le Riche等[12]提出了一種隔離遺傳算法，通過(guò)2個(gè)懲罰因子的相互調(diào)節(jié)避免懲罰值過(guò)大或者過(guò)小，但是在實(shí)際應(yīng)用中效率較低。結(jié)合遺傳算法和非線性規(guī)劃算法的一種組合算法已被用到一些多參數(shù)、多約束的最優(yōu)化問(wèn)題中，非線性規(guī)劃理論較強(qiáng)的局部搜索能力彌補(bǔ)了遺傳算法的缺陷。

對(duì)于平面線圈型直線時(shí)柵位移傳感器，勵(lì)磁線圈存在多個(gè)導(dǎo)線間隔，數(shù)學(xué)模型相對(duì)較復(fù)雜，如能利用非線性規(guī)劃遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化，不僅能使優(yōu)化時(shí)間縮短，而且能提高優(yōu)化效果。基于此，本文將傳感器數(shù)學(xué)模型和非線性規(guī)劃遺傳算法相結(jié)合，對(duì)線圈導(dǎo)線間隔和相鄰線圈中心距進(jìn)行優(yōu)化，產(chǎn)生較好的脈振磁場(chǎng)，從結(jié)構(gòu)上減小了傳感器的原始誤差，提高了其測(cè)量精度。

1 傳感器參數(shù)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

1.1 傳感器原理及參數(shù)優(yōu)化模型

平面線圈型直線時(shí)柵位移傳感器結(jié)構(gòu)如圖1所示，由方向相反的回型線圈串聯(lián)分別構(gòu)成正、余弦勵(lì)磁線圈并置于導(dǎo)磁基體上，共同構(gòu)成傳感器的定尺。磁場(chǎng)拾取線圈繞制在齒型磁芯上，構(gòu)成傳感器動(dòng)尺。

圖1 傳感器基本組成結(jié)構(gòu)

對(duì)于單個(gè)勵(lì)磁線圈(如圖2所示)，當(dāng)通入電流Im，線圈上方任一點(diǎn)P的磁場(chǎng)強(qiáng)度是AB、BC、CD、DA四根導(dǎo)線產(chǎn)生磁場(chǎng)強(qiáng)度的疊加，利用畢奧薩法爾定律求得點(diǎn)P處的磁場(chǎng)強(qiáng)度：

(1)

式中μ0為真空磁導(dǎo)率。每匝線圈在點(diǎn)P處產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度之和即為單個(gè)勵(lì)磁線圈在空間任意一點(diǎn)處的磁場(chǎng)強(qiáng)度：

(2)

式中n為線圈匝數(shù)。在z=z0處的k匝磁場(chǎng)拾取線圈沿x軸移動(dòng)時(shí)，通過(guò)線圈的磁通量呈現(xiàn)周期性變化，可表示為傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式：

(3)

式中：m為磁場(chǎng)拾取線圈匝數(shù)；sk為第k匝磁場(chǎng)拾取線圈的面積；φj為第j次諧波分量幅值；Pj為第j次諧波分量初相角；W為傳感器節(jié)距。

圖2 多匝線圈結(jié)構(gòu)和單個(gè)勵(lì)磁線圈計(jì)算模型

正、余弦勵(lì)磁線圈相差1/4個(gè)節(jié)距排列，當(dāng)正弦勵(lì)磁線圈和余弦勵(lì)磁線圈分別通入交流電流is=Imsinωt和ic=Imcosωt時(shí)，如只考慮總磁通量基波分量，磁場(chǎng)拾取線圈的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)可表示為

(4)

在實(shí)際情況中，除去基波分量的其他諧波分量會(huì)帶來(lái)測(cè)量誤差?，F(xiàn)有傳感器勵(lì)磁線圈導(dǎo)線采用等間隔排列，感應(yīng)信號(hào)存在較多諧波成分。

取單相勵(lì)磁線圈作為被優(yōu)化物理模型，當(dāng)磁場(chǎng)拾取線圈在勵(lì)磁線圈上方移動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)呈現(xiàn)周期性變化，因此可通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，如式(5)所示。

(5)

式中：A0為直流分量；Ai為第i次諧波分量幅值，φi為第i次諧波分量初相角。由式(5)得諧波畸變率：

(6)

式中n為諧波頻次。諧波畸變率THD值越小表示感應(yīng)信號(hào)越接近理想的正弦信號(hào)，疊加后的行波電信號(hào)諧波成分更少，因此以此作為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。

勵(lì)磁線圈匝數(shù)為5匝，影響THD值的參數(shù)為每根導(dǎo)線與最外圈導(dǎo)線間隔r1、r2、r3、r4以及線圈中心距s。線圈外圈X方向?qū)Ь€寬度為定值5 mm，且導(dǎo)線直徑為0.1 mm。由于線圈對(duì)稱，因此導(dǎo)線間隔范圍取[0.2 mm，2.4 mm]。由于取單相勵(lì)磁線圈，兩相鄰線圈中心距最小值為10 mm，且傳感器規(guī)格限制，中心距最大值不宜過(guò)大，因此取最大值為11 mm。得到約束條件為：

(7)

1.2 非線性規(guī)劃遺傳算法

圖3 非線性規(guī)劃遺傳算法流程

非線性規(guī)劃遺傳算法是一種基于生物界自然選擇原理和進(jìn)化機(jī)制的智能算法。非線性規(guī)劃理論作為經(jīng)典的優(yōu)化算法，其全局優(yōu)化能力較弱，但是具有較強(qiáng)的局部?jī)?yōu)化能力，而遺傳算法的基本理論是在孟德?tīng)栠z傳定律上建立起來(lái)的，具有良好的并行性、極強(qiáng)的通用性和全局優(yōu)化能力，結(jié)合非線性規(guī)劃理論和遺傳算法，使二者互補(bǔ)，可解決平面線圈型直線時(shí)柵位移傳感器的脈振磁場(chǎng)優(yōu)化問(wèn)題。

非線性規(guī)劃遺傳組合優(yōu)化算法優(yōu)化基本流程如圖3所示。

采用非線性規(guī)劃遺傳算法對(duì)勵(lì)磁線圈脈振磁場(chǎng)進(jìn)行優(yōu)化需進(jìn)行以下步驟：

1) 種群初始化

確立種群群體，即優(yōu)化變量設(shè)計(jì)解的集合。根據(jù)勵(lì)磁線圈參數(shù)取值范圍設(shè)計(jì)一組解向量，采用實(shí)數(shù)編碼法將這組解向量編碼，每組解向量中單個(gè)單元稱為染色體，對(duì)于傳感器勵(lì)磁線圈優(yōu)化問(wèn)題該向量可表示為

(8)

2) 求解適應(yīng)度函數(shù)

適應(yīng)度值大的解向量越有機(jī)會(huì)進(jìn)行下一代遺傳操作。對(duì)于勵(lì)磁線圈脈振磁場(chǎng)的優(yōu)化是求目標(biāo)函數(shù)THD的最小值，因此把函數(shù)THD的倒數(shù)作為染色體的適應(yīng)度函數(shù)：

(9)

3) 選擇

由于適應(yīng)度函數(shù)取THD的倒數(shù)，選擇運(yùn)算可表述為將前一代種群中THD值較小染色體按一定的概率篩選出來(lái)組成新的種群。優(yōu)化過(guò)程中選擇運(yùn)算的方法為輪盤賭法，解向量中適應(yīng)度值越大被選中的概率越大，個(gè)體i被選擇的概率如下：

(10)

式中：Fi為染色體的適應(yīng)度值；N為種群的染色體個(gè)數(shù)。

4) 染色體交叉

交叉運(yùn)算方法選用實(shí)數(shù)交叉法，將2個(gè)染色體按照一定規(guī)則交換部分基因，染色體ak和染色體al在j位交叉運(yùn)算的方法為：

akj=aij(1-b)+aljb

alj=alj(1-b)+akjb

(11)

式中b為[0,1]區(qū)間的隨機(jī)數(shù)。

5) 染色體變異

任意選取單個(gè)染色體，將該染色體對(duì)應(yīng)編碼的某個(gè)位置改變得到另一個(gè)染色體，同時(shí)為確保種群的穩(wěn)定性，變異染色體的個(gè)數(shù)不宜太多。染色體ai的第j個(gè)基因進(jìn)行變異運(yùn)算的方法為：

(12)

式中：amax為基因aij的上界；amin為基因aij的下界；f(g)為變異概率。

6) 非線性尋優(yōu)

種群進(jìn)化了一定代數(shù)后得到優(yōu)化結(jié)果，以該結(jié)果作為非線性規(guī)劃理論做局部?jī)?yōu)化的初始值，得到新的結(jié)果，以此作為新的解向量再進(jìn)行遺傳操作。

2 優(yōu)化模型仿真

采用非線性規(guī)劃遺傳算法對(duì)傳感器勵(lì)磁線圈脈振磁場(chǎng)進(jìn)行優(yōu)化，該傳感器平面線圈基本參數(shù)見(jiàn)表1。

2.1 Matlab建模仿真

優(yōu)化過(guò)程中非線性規(guī)劃遺傳算法采用的基本參數(shù)：種群規(guī)模為100，進(jìn)化代數(shù)為100，交叉概率為0.6，變異概率為0.05，耗時(shí)約為38 min。算法中種群嚴(yán)格約束在給定的范圍內(nèi)，保證生成的每個(gè)個(gè)體都是一個(gè)可行解，得到r1、r2、r3、r4的值后，后者減去前者即為導(dǎo)線間隔b1、b2、b3、b4。

圖4反映了非線性規(guī)劃遺傳算法的優(yōu)化過(guò)程，線圈導(dǎo)線間距和線圈中心距優(yōu)化結(jié)果如表2所示。

表1 模型基本參數(shù)

圖4 非線性規(guī)劃遺傳函數(shù)優(yōu)化過(guò)程

圖5 傳感器三維仿真模型

2.2 Ansoft建模仿真

運(yùn)用非線性規(guī)劃遺傳算法對(duì)傳感器線圈參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化后，采用ANSOFT軟件對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行仿真驗(yàn)證分析，根據(jù)表1中勵(lì)磁線圈基本參數(shù)建立基于ANSOFT軟件的傳感器三維仿真模型，如圖5所示。

提取仿真感應(yīng)信號(hào)結(jié)果，取幅值最大點(diǎn)進(jìn)行傅里葉分解，得到諧波誤差成分,如表3所示。由表3可知：除基波外主要存在3次諧波誤差成分，諧波畸變率為0.017 7。根據(jù)優(yōu)化結(jié)果得到理論的感應(yīng)信號(hào)結(jié)果，再進(jìn)行傅里葉分解得到諧波誤差成分，如表3所示。由表3可知：同樣主要存在3次諧波誤差，且理論諧波畸變率值為0.016 4。對(duì)比理論與仿真感應(yīng)信號(hào)的諧波誤差成分和諧波畸變率可見(jiàn)：理論結(jié)果和仿真結(jié)果一致，說(shuō)明用該方法優(yōu)化傳感器勵(lì)磁線圈導(dǎo)線間隔和中心距是可行的。

表3 感應(yīng)信號(hào)理論、仿真諧波值

提取原優(yōu)化方法仿真感應(yīng)信號(hào)結(jié)果，取幅值最大點(diǎn)進(jìn)行傅里葉分解，得到諧波仿真值(表3)。對(duì)比兩種優(yōu)化方法可見(jiàn)：3次諧波誤差減少了90%左右，其他頻次諧波均下降明顯，且諧波畸變率減小為原來(lái)的1/10，從而減小了直線時(shí)柵位移傳感器的原始誤差，提高了測(cè)量精度。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

圖6 勵(lì)磁線圈

根據(jù)上述優(yōu)化結(jié)果，基于PCB刻劃工藝加工傳感器勵(lì)磁線圈，如圖6所示。

圖7 磁芯與磁場(chǎng)拾取線圈

采用45鋼加工導(dǎo)磁基體。將帶有勵(lì)磁線圈的PCB板緊貼在導(dǎo)磁基體上，形成傳感器的定尺。根據(jù)本文理論、仿真建模分析可知：?jiǎn)卧汛艌?chǎng)拾取線圈感應(yīng)信號(hào)主要存在3次諧波誤差成分，經(jīng)過(guò)兩磁場(chǎng)拾取線圈感應(yīng)信號(hào)疊加后得到的諧波誤差成分變?yōu)?次，為抑制單匝磁場(chǎng)拾取線圈感應(yīng)信號(hào)的3次諧波成分，使傳感器動(dòng)尺磁芯上半部分和下半部分沿X軸方向設(shè)置，中心距為W/6，如圖7所示。兩齒分別反向繞制磁場(chǎng)拾取線圈，形成傳感器動(dòng)尺。

圖8 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)安裝示意圖

搭建的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖8所示。在大理石平臺(tái)上放置平面線圈型直線時(shí)柵、滾珠絲杠螺母副以及光柵尺(精度為±0.5μm)并固定，平面線圈型直線時(shí)柵的動(dòng)尺和光柵讀數(shù)頭分別連接在絲杠螺母兩側(cè)，伺服電機(jī)帶動(dòng)絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)絲杠螺母做直線運(yùn)動(dòng)，保證光柵讀數(shù)頭和時(shí)柵動(dòng)尺同步運(yùn)動(dòng)。帶有位置信息的時(shí)柵和光柵信號(hào)同時(shí)被信號(hào)處理電路采集、處理，最后將處理后的兩路信號(hào)發(fā)送到上位機(jī)進(jìn)行比對(duì)。

平面線圈型直線時(shí)柵動(dòng)尺運(yùn)動(dòng)21.85 mm即1個(gè)節(jié)距，取60個(gè)點(diǎn)做測(cè)量誤差曲線，如圖9所示。1個(gè)節(jié)距內(nèi)測(cè)量誤差峰峰值為10 μm，相較于本課題組前期測(cè)得的1個(gè)節(jié)距內(nèi)測(cè)量誤差減小了5 μm。傅里葉分解后可知節(jié)距內(nèi)4次誤差仍然存在，分析主要由于動(dòng)尺磁芯機(jī)械加工過(guò)程中偏斜角度不能達(dá)到理想的偏角，以及實(shí)驗(yàn)平臺(tái)安裝誤差等原因引起。

采用逐點(diǎn)修正法將傳感器240 mm范圍內(nèi)測(cè)得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合并重復(fù)測(cè)量多次后，任意3次測(cè)量誤差曲線如圖10所示，測(cè)量誤差為±0.8 μm。

圖9 優(yōu)化后一個(gè)節(jié)距內(nèi)測(cè)量誤差

4 結(jié)論

平面線圈型直線時(shí)柵位移傳感器通過(guò)在測(cè)量平面內(nèi)布置勵(lì)磁線圈產(chǎn)生測(cè)量需要的磁場(chǎng)分布，從而消除了開(kāi)槽繞線式直線時(shí)柵傳感器的齒槽影響。然而平面線圈結(jié)構(gòu)參數(shù)(如多匝線圈內(nèi)部導(dǎo)線間隔、相鄰勵(lì)磁線圈中心距)會(huì)對(duì)磁場(chǎng)分布產(chǎn)生重要影響。本文在前期研究的基礎(chǔ)上，提出了基于非線性規(guī)劃遺傳算法的平面線圈結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化方法。通過(guò)建立優(yōu)化算法數(shù)學(xué)模型，獲取滿足約束條件的傳感器結(jié)構(gòu)參數(shù)；在Matlab和ANSOFT軟件中建立物理模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并與枚舉法優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。根據(jù)優(yōu)化結(jié)果設(shè)計(jì)傳感器樣機(jī)，搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行物理實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。根據(jù)算法分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證得到以下結(jié)論：

1) 利用基于非線性規(guī)劃遺傳算法的參數(shù)優(yōu)化方法可有效削弱平面線圈產(chǎn)生的脈振磁場(chǎng)中的諧波成分；

2) 與枚舉法相比，傳感器結(jié)構(gòu)參數(shù)新優(yōu)化方法的優(yōu)化效率提高了65%；

3) 根據(jù)優(yōu)化結(jié)果設(shè)計(jì)的傳感器精度有所提高，在240 mm的量程范圍內(nèi)測(cè)量精度從±1 μm提高到了±0.8 μm。

本研究為平面線圈型直線時(shí)柵的結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供了理論依據(jù)和實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)，對(duì)進(jìn)一步研究高精度直線時(shí)柵位移傳感器具有重要意義。

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