油氣潤(rùn)滑電容層析成像介電常數(shù)的計(jì)算與優(yōu)化*

孫啟國(guó)，黃博凱，閆曉丹

(北方工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與材料工程學(xué)院，北京 100144)

0 引 言

電容層析成像技術(shù)(electrical capacitance tomography，ECT)是基于電容傳感機(jī)理的一種過(guò)程層析成像技術(shù)，主要由電容傳感器、數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)和圖像重建單元組成。電容傳感器作為ECT系統(tǒng)的數(shù)據(jù)信息來(lái)源，其電容值測(cè)量與計(jì)算的準(zhǔn)確性對(duì)圖像重建的質(zhì)量有直接的影響[1]。在電容值的數(shù)學(xué)計(jì)算中，多相物質(zhì)混合的相對(duì)介電常數(shù)起到了至關(guān)重要的作用[2]，其值的精確測(cè)量與計(jì)算，直接影響電容值的準(zhǔn)確性，進(jìn)而在灰度值的計(jì)算中產(chǎn)生明顯的誤差。

以油氣潤(rùn)滑為工程背景，采用ECT成像技術(shù)對(duì)其管道內(nèi)的油氣兩相流進(jìn)行檢測(cè)。以電容值計(jì)算為依據(jù)，計(jì)算相對(duì)介電常數(shù)的數(shù)學(xué)式，理論分析介電常數(shù)的影響關(guān)系，再以COMSOL為平臺(tái)，設(shè)計(jì)仿真實(shí)驗(yàn)。當(dāng)油氣以高速混合狀態(tài)進(jìn)入管道內(nèi)部，物質(zhì)層會(huì)以串聯(lián)或并聯(lián)的方式疊加，導(dǎo)致相對(duì)介電常數(shù)發(fā)生變化。

針對(duì)以上問題，作者及其團(tuán)隊(duì)對(duì)電容傳感器的結(jié)構(gòu)參數(shù)[3-5]：極板的圓角、極板長(zhǎng)度、絕緣層、管壁厚度、徑向極板、屏蔽層等進(jìn)行了充分的優(yōu)化。然而并沒有充分考慮不同的油氣兩相流環(huán)境下，相對(duì)介電常數(shù)對(duì)電容的影響。以優(yōu)化后的傳感器為研究對(duì)象，重點(diǎn)分析計(jì)算兩相流不同介質(zhì)層時(shí)，對(duì)電容的影響大小。分析了管徑對(duì)電容影響的一般性。

1 電容層析成像傳感器的結(jié)構(gòu)參數(shù)

該研究室采用的電容傳感器是8電極電容層析成像系統(tǒng)。將傳感器的電極均勻分布在絕緣管道的周圍，極板之間通過(guò)添加相同材質(zhì)的銅電極作為徑向屏蔽層，不同的極板外部添加PVC絕緣材料。電容值的測(cè)量與靈敏度場(chǎng)的建立都是以COMSOL為平臺(tái)，采用該軟件提供的靜電場(chǎng)模塊，通過(guò)對(duì)不同的極板進(jìn)行通電與接受，得到不同極板間電容值的大小。因此根據(jù)小管徑水平管道油氣潤(rùn)滑水平管道的物理場(chǎng)特點(diǎn)，建立了電容傳感器的二維物理模型如圖1。

參數(shù)說(shuō)明：極板數(shù)量為8，圖中標(biāo)注處第二與第七極板，用以分辨不同極板的位置；管道內(nèi)徑：R1=5，管道外徑：R2=7，屏蔽層半徑：R3=8，極板張角：θ=42°；極板之間為徑向極板，插入管道內(nèi)深度為0.1；極板的厚度為d=0.1；空氣相對(duì)介電常數(shù)ε3=1，潤(rùn)滑油相對(duì)介電常數(shù)ε2=3，介質(zhì)層的相對(duì)介電常數(shù)為ε1=4。

圖1 管道徑向二維物理模型

在計(jì)算相對(duì)介電常數(shù)的影響時(shí)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ妥鋈缦录僭O(shè)：①油氣介質(zhì)層未發(fā)生混合，即有明顯的分界線；②介質(zhì)層與管道間的耦合效應(yīng)忽略不計(jì)，僅進(jìn)行介質(zhì)層串并聯(lián)的計(jì)算；③除施加的靜電場(chǎng)外，無(wú)雜散電場(chǎng)的干擾。

2 相對(duì)介電常數(shù)的計(jì)算

實(shí)驗(yàn)室對(duì)圓弧形電容極板已經(jīng)進(jìn)行了深入的計(jì)算與探究，電容值屬于微小電容量，增大其電容值可以有效的提高檢測(cè)的精度。不對(duì)其計(jì)算過(guò)程進(jìn)行深入探究，著重對(duì)其相對(duì)介電常數(shù)進(jìn)行分析。

電容理論計(jì)算公式：

油氣潤(rùn)滑ECT使用的傳感器為弧形傳感器，其相對(duì)介質(zhì)層的分布如圖2所示。

圖2 相對(duì)介質(zhì)層的分布情況

圖2參數(shù)說(shuō)明：d1為管壁厚度，d2為油膜厚度，d3為空氣的厚度。根據(jù)假設(shè)，介質(zhì)層之間忽略耦合關(guān)系，并且均勻充滿管道內(nèi)部，因此管道內(nèi)的介質(zhì)層相當(dāng)于是串聯(lián)電容，采用串聯(lián)電容的計(jì)算公式：c=(c1c2)/(c1+c2)可以得到相對(duì)介電常數(shù)的理論表達(dá)式。

由圖可看出，從上到下共有五層介質(zhì)分布(關(guān)于x軸對(duì)稱)，以管壁-油膜、管壁-油膜-空氣的計(jì)算方式可以得到，需進(jìn)行三次串聯(lián)電容的計(jì)算。

介質(zhì)層1與介質(zhì)層2之間的相對(duì)介電常數(shù)表達(dá)式計(jì)算如下：

ε12=(ε1ε2)/[ε1α+(1-α)ε2]

使用三次串聯(lián)公式之后可得總體相對(duì)介電常數(shù)：

εr=k4/[α(1-β+ηβ)k1+(1-α)(1-β+

ηβ)k2+β(1-η)k3]

通過(guò)以上的計(jì)算表達(dá)式可得：相對(duì)介電常數(shù)在介質(zhì)層確定之后，只跟介質(zhì)層的厚度有關(guān)系，因此有必要分析不同的介質(zhì)層的厚度對(duì)相對(duì)介電常數(shù)的影響。分析其參數(shù)的影響大小采用取極限值的方式進(jìn)行討論。即當(dāng)管壁、油膜、空氣的取值為無(wú)窮大或者無(wú)窮小時(shí)，相對(duì)介質(zhì)常數(shù)的變化。①當(dāng)油膜厚度趨近于無(wú)窮小時(shí)，空氣半徑與管道厚度相比于油膜厚度趨近于無(wú)窮小，由此可得α≈1，β≈1，η≈0，從而可知相對(duì)介電常數(shù)εr≈ε3，因此當(dāng)減小油膜厚度時(shí)，由傳感器的電容表達(dá)式可知電容值會(huì)降低，從而提高電容采集的難度；②當(dāng)管壁厚度趨于無(wú)窮小時(shí)，相對(duì)介電常數(shù)降低，電容的真實(shí)值提升，因此采用較薄的潤(rùn)滑管道可以得到較強(qiáng)的電容值。

3 電容傳感器仿真模型的確立

采用薄管壁的潤(rùn)滑管道可得到更好的電容值，然而油氣潤(rùn)滑的管道內(nèi)油速和氣速非常高，對(duì)管壁的強(qiáng)度有很高要求，在該研究室的設(shè)計(jì)中，充分考慮了在管壁承受工程應(yīng)用中最高沖擊力的情況時(shí)，管壁的最小厚度，因此本次實(shí)驗(yàn)采用固定厚度的管壁厚2 mm。

在小管徑油氣潤(rùn)滑工程中，常采用的兩相流為環(huán)狀流，即在管道內(nèi)，油膜緊貼管道內(nèi)壁，空氣以非常高的速度在管道中心流過(guò)。該潤(rùn)滑方式不僅可以節(jié)省潤(rùn)滑油的使用，而且在空氣流過(guò)工件時(shí)，可以帶走大量的熱量。在工程應(yīng)用中，油膜厚度為0.2 mm左右，為了驗(yàn)證不用的油膜厚度下，會(huì)造成不同的相對(duì)介電常數(shù)，從而造成圖像成像的不同誤差，本次仿真實(shí)驗(yàn)選擇油膜厚度分別為0.1 mm、0.2 mm、0.3 mm。因假設(shè)的介質(zhì)層緊密相連，此處不再贅述空氣層的厚度(空氣層的厚度為管內(nèi)經(jīng)減去油膜厚度)。

4 傳感器相對(duì)介電常數(shù)評(píng)價(jià)指標(biāo)的確立

在油氣潤(rùn)滑ECT系統(tǒng)中，傳感器的結(jié)構(gòu)參數(shù)改變之后，會(huì)改變測(cè)量電容值、空?qǐng)鲭娙葜?、滿場(chǎng)電容值、靈敏度值以及灰度值。在所有的改變因素中，最終目的都是為了得到重建圖像。以重建圖像的空間圖像誤差SIE(Spatial image error)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)時(shí)，相對(duì)介電常數(shù)以隱形表達(dá)式的形式存在于其誤差的結(jié)果中。因此可以用圖像誤差值來(lái)反應(yīng)不同油膜厚度下相對(duì)介電常數(shù)對(duì)圖像誤差的影響。

空間圖像誤差SIE的定義為：

i=1,2,3,4…,n

式中：

原模型中i單元為高介電常數(shù)設(shè)定為1，低介電常數(shù)設(shè)定為0。

重建圖形中i單元為高介電常數(shù)設(shè)定為1，低介電常數(shù)設(shè)定為0。

n為像素點(diǎn)的個(gè)數(shù)，本次實(shí)驗(yàn)以二維圖像中所有像素點(diǎn)為參照，因此不再進(jìn)行像素點(diǎn)的加權(quán)求值。空間圖像誤差可以很好的反應(yīng)重建圖像的保真度，并且可以很好的反應(yīng)不同的油膜厚度重建圖像的誤差值，是重建圖像的良好評(píng)價(jià)指標(biāo)。

5 仿真實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)與分析

空氣介質(zhì)層的厚度是跟隨油膜厚度發(fā)生變化，因此在定管壁之后，可以確定處相對(duì)介電常數(shù)的理論參數(shù)值及初始模型值，如表1所列。當(dāng)增大油膜厚度時(shí)，相對(duì)介電常數(shù)會(huì)增加，計(jì)算結(jié)果與采用極限方式得到的結(jié)論一致。

表1油膜厚度、模型圖及介電常數(shù)

根據(jù)表1的圖像模型及給定的結(jié)構(gòu)參數(shù)，采用COMSOL進(jìn)行有限元的仿真，不同的油膜厚度，對(duì)電場(chǎng)分布會(huì)有一定的影響，該圖像可以由軟件提供的靜電場(chǎng)分析模塊得到。通過(guò)導(dǎo)出模型的電容值以及單激勵(lì)條件下模型的電場(chǎng)分量值，采用LBP算法[6-7]，在MATLAB中進(jìn)行圖像重建，可以得到如表2所列的重建圖像及SIE的值。當(dāng)增大油膜厚度時(shí)，電容值相對(duì)應(yīng)的會(huì)增大，從而降低采集的難度，提高準(zhǔn)確性。

表2重建圖像與SIE

6 結(jié) 論

(1) 根據(jù)電容傳感器電容值公式以及串聯(lián)電容計(jì)算公式，推導(dǎo)油氣潤(rùn)滑ECT系統(tǒng)傳感器相對(duì)介電常數(shù)計(jì)算公式，實(shí)驗(yàn)證明計(jì)算公式合理有效。

(2) 相對(duì)介電常數(shù)是電容值計(jì)算的一個(gè)重要因素，影響該值的大小因素有油膜厚度、空氣厚度以及管壁的厚度。

(3) 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明采用空間圖像誤差進(jìn)行評(píng)價(jià)是合理有效的，增大電容值會(huì)降低重建圖像的誤差。

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