基于Rayleigh-Plesset方程的空化模型改進(jìn)與應(yīng)用

洪 鋒 高振軍 袁建平

(1.三峽大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院， 宜昌 443002； 2.三峽大學(xué)水電機(jī)械設(shè)備設(shè)計(jì)與維護(hù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 宜昌 443002；3.江蘇大學(xué)國(guó)家水泵工程技術(shù)研究中心， 鎮(zhèn)江 212013)

0 引言

空化是一種包含相變、介質(zhì)壓縮性、粘性及湍動(dòng)效應(yīng)的復(fù)雜多相流。在水力機(jī)械領(lǐng)域，空化的發(fā)生總會(huì)造成不同程度的負(fù)面作用。迄今為止，空化和空泡動(dòng)力學(xué)特性一直是國(guó)際水動(dòng)力學(xué)界的熱點(diǎn)和前沿科學(xué)問(wèn)題[1]。

當(dāng)前，應(yīng)用于工程問(wèn)題中的空化數(shù)值模型大部分是由只考慮空泡半徑一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)及壓力驅(qū)動(dòng)項(xiàng)的Rayleigh-Plesset(R-P)方程推導(dǎo)而來(lái)[2-8]，該類(lèi)模型沒(méi)有考慮二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)、粘性項(xiàng)及表面張力項(xiàng)對(duì)空泡半徑增長(zhǎng)的影響。文獻(xiàn)[9]指出，完整R-P方程中的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)對(duì)超聲誘導(dǎo)空泡半徑的增長(zhǎng)有著重要的影響，且不可被忽略；基于簡(jiǎn)化R-P方程的空化模型在模擬繞水翼及螺旋槳空化流場(chǎng)時(shí)均存在不足之處[10-11]。上述3種空化模型在推導(dǎo)過(guò)程中只考慮了兩種組分(空泡相和液相)，而實(shí)際流體中還包含了不可凝結(jié)的氣體(NCG)，一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下純水所能溶解NCG的飽和質(zhì)量濃度為1.5×10-5mg/L。該部分氣體在空化發(fā)生過(guò)程中充當(dāng)空化核，空化核對(duì)空化初生有著重要的作用[12]。

為了改善這種基于簡(jiǎn)化R-P方程的空化模型模擬空化流動(dòng)的能力，本文基于一種改進(jìn)的R-P球形空泡動(dòng)力學(xué)模型、液相-空泡相-不可凝結(jié)氣體相3種組分的連續(xù)性方程和均相流假設(shè)推導(dǎo)一種修正的R-P模型；然后運(yùn)用UDF(User-define function)技術(shù)，把該模型嵌入到ANSYS FLUENT 14.5平臺(tái)，并聯(lián)立一種改進(jìn)的濾波器湍流模型(MFBM)對(duì)繞二維Clark-Y水翼的非定?？栈鲌?chǎng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。通過(guò)與Schnerr-Sauer(S-S)空化模型的數(shù)值計(jì)算結(jié)果及文獻(xiàn)中公開(kāi)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果作對(duì)比，以驗(yàn)證修正的R-P模型在預(yù)測(cè)非定常空化流動(dòng)特征的可行性及準(zhǔn)確性。

1 基于R-P方程的改進(jìn)空化模型

廣義的空泡動(dòng)力學(xué)方程為[12]

(1)

式中R——空泡半徑νl——液相運(yùn)動(dòng)粘度

S——表面張力系數(shù)

pB(t) ——空泡內(nèi)壓力

p∞(t)——無(wú)窮遠(yuǎn)處壓力

ρl——液相密度t——時(shí)間

等號(hào)左邊依次為二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)、一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)、粘性項(xiàng)和表面張力項(xiàng)，等號(hào)右邊為壓力驅(qū)動(dòng)項(xiàng)。式(1)中二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)在空泡體積急劇變化時(shí)發(fā)揮重要作用，而粘性項(xiàng)與表面張力項(xiàng)對(duì)空泡半徑變化的影響尚不明確，因此研究?jī)煞N簡(jiǎn)化形式的空泡動(dòng)力學(xué)模型

(2)

(3)

利用Matlab軟件，采用4～5階RUNGE-KUTTA算法分別對(duì)式(2)和式(3)進(jìn)行求解。假定初始半徑為R0的空化核在時(shí)間為0時(shí)進(jìn)入低壓區(qū)，可以得到該空化核流過(guò)低壓區(qū)時(shí)R(t)的一個(gè)典型解，如圖1(圖中T表示球形空泡生長(zhǎng)周期)所示。從圖中可以看到，在t=10T之后，粘性項(xiàng)對(duì)空泡半徑變化的影響較小，且相比于表面張力項(xiàng)，粘性的影響是可以忽略不計(jì)的，這主要是因?yàn)橐簯B(tài)水及因空化形成的空泡均屬于低粘度工質(zhì)，其運(yùn)動(dòng)粘度系數(shù)為10-6數(shù)量級(jí)。

圖1 不同空泡動(dòng)力學(xué)模型計(jì)算得到的空泡增長(zhǎng)過(guò)程Fig.1 Variation of bubble radium based on different bubble dynamic models

因此，考慮由壓力驅(qū)動(dòng)項(xiàng)、空泡一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)、二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)及表面張力項(xiàng)所組成的動(dòng)力學(xué)模型，如式(3)所示。將式(3)左右兩邊同時(shí)乘以2R2dR/dt，應(yīng)用初始條件DR/Dt(0)=0[12]積分可以得到

(4)

因此，改進(jìn)后的球形空泡動(dòng)力學(xué)方程為

(5)

當(dāng)i=1時(shí)表示凝結(jié)過(guò)程；當(dāng)i=2時(shí)表示蒸發(fā)過(guò)程。

為了真實(shí)反映空化流動(dòng)的本質(zhì)，將介質(zhì)處理成空泡相、液相及不可凝結(jié)氣體的混合物，但是空化引起的質(zhì)量傳輸過(guò)程只在液相和空泡相之間產(chǎn)生，且液相、空泡相及不可凝結(jié)氣體相3種組分的連續(xù)性方程分別為

(6)

(7)

(8)

其中

αl+αv+αg=1

(9)

式中ρ——混合密度V——速度

Se——蒸發(fā)率Sc——凝結(jié)率

α——體積分?jǐn)?shù)

下標(biāo)l、v和g分別代表液相、空泡相和不可凝結(jié)氣體相。

均相流思想是把介質(zhì)假想成一種均勻的液相-空泡相-不可凝結(jié)氣體的混合物，這種處理方式可以避免因求解每一組分獨(dú)立的連續(xù)性方程及其動(dòng)量方程所需要的巨大數(shù)值耗散時(shí)間。同時(shí)，假定各組分之間無(wú)相對(duì)滑移速度，即

Vl=Vv=Vg=V

(10)

式(6)～(8)相加，可以得到混合相的連續(xù)性方程，即

(11)

混合密度ρ及混合動(dòng)力粘度系數(shù)μ分別表示為

ρ=αlρl+αvρv+αgρg

(12)

μ=αlμl+αvμv+αgμg

(13)

在單元控制體內(nèi)，為了解決液相與空泡相之間由于發(fā)生相變而產(chǎn)生劇烈的相對(duì)密度變化引起的數(shù)值計(jì)算困難，故使用一種非守恒型連續(xù)性方程來(lái)描述混合流體的運(yùn)動(dòng)。該方程為[13]

(14)

因?yàn)?/p>

(15)

由式(10)及式(15)可得

(16)

由式(9)可得

(17)

把式(16)代入到式(17)可得

(18)

聯(lián)立式(12)、(14)及(18)可得

(19)

把式(19)代入到式(7)中可得

(20)

空泡體積分?jǐn)?shù)αv由空泡半徑R及單位體積內(nèi)空泡數(shù)量N0表示[7]，即

(21)

由式(21)可推導(dǎo)出

(22)

將式(22)代入到式(20)可得

(23)

把式(5)代入到式(23)中可得最終形式的蒸發(fā)率表達(dá)式為

(24)

同理，最終形式的凝結(jié)率表達(dá)式為

(25)

N0=1×1013m-3、R0=1 μm，NCG的體積分?jǐn)?shù)計(jì)算公式為

αg=fgρ/ρg

(26)

ρg按照密度形式理想氣體狀態(tài)方程計(jì)算，質(zhì)量分?jǐn)?shù)fg=1.5×10-6。

計(jì)算時(shí)為了考慮湍流脈動(dòng)對(duì)空化初生的影響，將空化壓力pv修正為

pv=psat+0.195ρk

(27)

式中psat——飽和蒸汽壓，取3 169 Pa

k——湍動(dòng)能

式(24)～(27)所組成的數(shù)學(xué)模型即為修正的R-P模型。該模型與Schnerr-Sauer(S-S)模型均是基于均相流理論建立，也都采用式(20)來(lái)描述空泡體積分?jǐn)?shù)與空泡半徑及單位體積內(nèi)空化核數(shù)量之間的關(guān)系，但是修正的R-P模型具有以下優(yōu)點(diǎn)：①修正的R-P模型把空泡流真實(shí)地還原成液相、空泡相及不可凝結(jié)氣體的混合物，而S-S模型則把介質(zhì)處理成由液相和空泡相組成的混合物。②修正的R-P模型推導(dǎo)是基于改進(jìn)后的Rayleigh-Plesset空泡動(dòng)力學(xué)方程，該方程考慮了空泡半徑的二階變化及表面張力的影響。③修正的R-P模型考慮了湍流脈動(dòng)對(duì)空化初生的影響。

2 修正的濾波器湍流模型(MFBM)

湍流模型的合理選取對(duì)空化流動(dòng)數(shù)值計(jì)算尤其重要，傳統(tǒng)的雙方程湍流模型會(huì)過(guò)度預(yù)測(cè)閉合空穴尾部的湍流粘度，從而會(huì)阻止回射流向水翼前緣運(yùn)動(dòng)，使得空穴脫落不會(huì)被預(yù)測(cè)到，而直接模擬或者大渦模擬會(huì)消耗大量的計(jì)算機(jī)資源，尤其在實(shí)際的水力機(jī)械計(jì)算中這一問(wèn)題會(huì)顯得更加突出[14]。因此，本文采用文獻(xiàn)[15]中提出的一種修正的濾波器湍流模型(MFBM)。MFBM實(shí)際上是一種修正的RNGk-ε的混合模型，模型的思想是通過(guò)一個(gè)函數(shù)fMFBM聯(lián)立濾波器模型(FBM)和密度修正模型(DCM)來(lái)共同修正傳統(tǒng)RANS模型的湍流粘度，從而使得修正后的模型兼?zhèn)銯BM和DCM的優(yōu)點(diǎn)。基于RNGk-ε模型修正后的湍流粘度系數(shù)為

(28)

其中

fMFBM=min(fDCM,fFBM)

(29)

(30)

(31)

式中λ——濾波尺寸

n=10，Cμ=0.09，C3=1.0。

3 計(jì)算網(wǎng)格及邊界條件

以二維Clark-Y型水翼作為研究對(duì)象，翼型弦長(zhǎng)c=70 mm，攻角A=8°。計(jì)算域?yàn)榫匦危鋵挾群烷L(zhǎng)度分別為2.7c和10c，水翼前緣到計(jì)算域進(jìn)口距離為3c，水翼尾緣到計(jì)算域出口距離為6c，該水翼的空化水洞實(shí)驗(yàn)由王國(guó)玉等[16-19]完成。邊界條件設(shè)定均與文獻(xiàn)[16]保持一致，即入口采用速度入口，計(jì)算域進(jìn)口速度Uin=10 m/s，出口采用壓力出口，通過(guò)調(diào)整出口壓力，從而獲取相應(yīng)的空化數(shù)條件。計(jì)算域上下邊界均為自由無(wú)滑移壁面條件，為獲得更精確的計(jì)算結(jié)果，翼型壁面函數(shù)選擇增強(qiáng)型壁面條件。

對(duì)計(jì)算域劃分了4種不同尺寸的網(wǎng)格，并作網(wǎng)格無(wú)關(guān)性分析來(lái)消除網(wǎng)格數(shù)量造成的計(jì)算誤差。不同網(wǎng)格方案對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)分別為N1=59 576，N2=106 523，N3=157 296及N4=198 776。通過(guò)計(jì)算空化數(shù)σ=0.8條件下水翼上下表面壓力系數(shù)Cp隨網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)的變化規(guī)律來(lái)確定最終的計(jì)算網(wǎng)格。計(jì)算結(jié)果如圖2所示，從圖中可以看出，不同網(wǎng)格方案計(jì)算得到的翼型上表面壓力分布隨著網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加逐漸趨于一致。細(xì)網(wǎng)格與極細(xì)網(wǎng)格之間的壓力分布幾乎相等，表明繼續(xù)增大網(wǎng)格數(shù)量對(duì)計(jì)算結(jié)果影響可以忽略不計(jì)，因此最終選擇細(xì)網(wǎng)格作為本文的計(jì)算網(wǎng)格。

圖2 網(wǎng)格無(wú)關(guān)性分析Fig.2 Mesh independence analysis

4 計(jì)算結(jié)果分析

為了研究修正的R-P模型對(duì)水翼空化流場(chǎng)的模擬效果，采用數(shù)值計(jì)算的方法得到了Schnerr-Sauer模型及修正的R-P模型對(duì)片狀空化(σ=1.4)及云狀空化(σ=0.8)兩種典型空化條件下翼型所受的水動(dòng)力系數(shù)及其吸力面上的空穴形態(tài)分布規(guī)律，并與文獻(xiàn)中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果作對(duì)比。數(shù)值計(jì)算均采用非定常求解器，時(shí)間步長(zhǎng)Δt依據(jù)CFL條件(Courant-Friedrichs-Lewy condition)確定[1]，結(jié)合計(jì)算成本，最終取Δt=1.0×10-6s。定義空化數(shù)、升力系數(shù)、阻力系數(shù)及空泡總體積分別為

(32)

(33)

(34)

(35)

式中pout——出口壓力N——網(wǎng)格單元總數(shù)

Fl——升力Fd——阻力

L——翼型展向長(zhǎng)度

αi——網(wǎng)格單元內(nèi)的空泡體積分?jǐn)?shù)

Vi——網(wǎng)格單元的體積

4.1 準(zhǔn)靜態(tài)片狀空化

張博等[20]對(duì)Clark-Y型水翼片狀空化進(jìn)行了大量實(shí)驗(yàn)研究。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，當(dāng)空化數(shù)降低至σ=1.4時(shí)，片狀空化逐漸形成，此時(shí)翼型前緣附著透明的空泡，而翼型尾緣處存在波動(dòng)，且有較小的空泡團(tuán)脫落。

圖3為兩種模型模擬得到的4個(gè)不同時(shí)刻空泡體積分?jǐn)?shù)分布圖，從圖中可以看到，在翼型前緣處，S-S模型得到的高質(zhì)量分?jǐn)?shù)的空化區(qū)逐漸減小，表明該處結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的片狀空穴長(zhǎng)度發(fā)生了波動(dòng)，這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符。相比較而言，采用修正的R-P模型計(jì)算得到的片狀空穴長(zhǎng)度基本上維持不變，而且在空穴尾部出現(xiàn)了明顯的相間破碎界面并伴有體積分?jǐn)?shù)較低的空泡團(tuán)脫落現(xiàn)象，而這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的吻合度較好。同時(shí)，不同空化模型計(jì)算得到的平均升力、阻力系數(shù)對(duì)比如表1所示，從表中可以看到，相比于S-S模型，修正的R-P模型模擬得到的平均升阻力系數(shù)與實(shí)驗(yàn)值吻合度更好。綜上分析，修正的R-P模型對(duì)片狀空穴長(zhǎng)度、空穴閉合末端流動(dòng)細(xì)節(jié)的捕捉能力以及對(duì)水動(dòng)力系數(shù)預(yù)測(cè)的能力均優(yōu)于S-S模型。

圖3 兩種不同空化模型計(jì)算得到的片狀空穴形態(tài)對(duì)比Fig.3 Comparisons of evolution of sheet cavitation predicted by Schnerr-Sauer and proposed models

模型類(lèi)型 Cl Cd計(jì)算值實(shí)驗(yàn)值[18]相對(duì)誤差/%計(jì)算值實(shí)驗(yàn)值[18]相對(duì)誤差/%修正的R-P模型1.0511.169.390.0390.0414.88Schnerr-Sauer模型1.0341.1610.860.0370.0419.76

4.2 周期性云狀空化

依據(jù)文獻(xiàn)[21]，當(dāng)空化數(shù)降低至σ=0.8時(shí)，翼型前緣處附著的片狀空穴所表現(xiàn)出的不穩(wěn)定性加劇，其長(zhǎng)度和厚度都明顯增加，且尾緣處大體積空泡團(tuán)脫落現(xiàn)象也更加顯著。

圖4為兩種模型計(jì)算得到的瞬時(shí)升力系數(shù)與實(shí)驗(yàn)值[21]的對(duì)比。從圖中可以看到，修正的R-P模型模擬得到的瞬時(shí)升力系數(shù)與實(shí)驗(yàn)值的變化趨勢(shì)吻合程度更好，而S-S模型模擬得到的升力系數(shù)出現(xiàn)了較多的波動(dòng)。表2所示為不同空化模型模擬得到的平均升力、阻力系數(shù)與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比，從表中可以看到，修正的R-P模型模擬得到的平均升力系數(shù)與實(shí)驗(yàn)值吻合度更好，其相對(duì)誤差僅為6.93%，且修正的R-P模型預(yù)測(cè)到的平均阻力系數(shù)相比于Schnerr-Sauer模型預(yù)測(cè)結(jié)果也與實(shí)驗(yàn)值更接近。Schnerr-Sauer模型模擬得到的平均升、阻力系數(shù)與實(shí)驗(yàn)值的相對(duì)誤差均超過(guò)10%。

圖5所示為兩種空化模型計(jì)算得到的空泡總體積隨時(shí)間變化圖，從圖中可以看到，二者計(jì)算得到的空泡體積隨時(shí)間呈較為明顯的周期性變化，且修正的R-P模型和S-S模型計(jì)算得到的云狀空化平均演變周期分別為T(mén)1=45.5 ms和T2=38.4 ms，實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到的云狀空化演變周期為T(mén)3=50 ms[18]。由此可見(jiàn)，修正的R-P模型在模擬云狀空化周期性變化過(guò)程時(shí)相比于S-S模型更具有優(yōu)越性；另一方面，修正的R-P模型模擬得到的空泡體積明顯大于S-S模型，表明非線性模型可以計(jì)算得到面積更大的空化區(qū)域，這主要是由于修正的R-P模型考慮了NCG、湍流脈動(dòng)對(duì)空化初生的影響。

圖6(圖中t0表示翼型尾緣處空泡團(tuán)體積增長(zhǎng)至最大的時(shí)刻)所示為模擬得到的一個(gè)周期內(nèi)云狀空化演變與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[21]的對(duì)比，圖6a～6e為實(shí)驗(yàn)結(jié)果，圖6f～6j為修正R-P模型的預(yù)測(cè)結(jié)果，圖6k～6o為S-S模型的預(yù)測(cè)結(jié)果。對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，不同空化模型模擬得到的空泡演變過(guò)程都基本上反映出了云狀空化中位于翼型前緣處片狀空穴長(zhǎng)度和厚度的增長(zhǎng)，以及隨后云狀空化脫落和向下游潰滅的周期性變化過(guò)程。但是，二者的不同之處主要有以下4點(diǎn)：總體上來(lái)看，不同時(shí)刻修正的R-P模型模擬得到的空化區(qū)域均大于S-S模型的模擬結(jié)果；在t=t0時(shí)刻，片狀空穴回縮至翼型前緣幾乎消失，尾緣處空泡形成團(tuán)狀結(jié)構(gòu)并開(kāi)始逐漸脫離壁面，對(duì)比發(fā)現(xiàn)，修正的R-P模型預(yù)測(cè)到的空泡團(tuán)尺寸與實(shí)驗(yàn)拍攝到的結(jié)果更加吻合，且空泡團(tuán)位置仍靠近翼型尾緣，而S-S模型預(yù)測(cè)到的空泡團(tuán)已經(jīng)離開(kāi)翼型吸力面；在t=t0+58%Ti(i=1、2、3)時(shí)刻，空穴內(nèi)部表現(xiàn)出強(qiáng)烈的不穩(wěn)定性且兩相界面出現(xiàn)明顯的破碎，對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)S-S模型預(yù)測(cè)的界面破碎程度要高于修正的R-P模型的模擬結(jié)果，而空穴內(nèi)強(qiáng)烈的不穩(wěn)定性與回射流結(jié)構(gòu)有著緊密聯(lián)系[1]，表明S-S模型預(yù)測(cè)到的回射流強(qiáng)度大于修正的R-P模型的預(yù)測(cè)結(jié)果；在t=t0+84%Ti(i=1、2、3)時(shí)刻，實(shí)驗(yàn)結(jié)果中的空穴長(zhǎng)度近似為0.5倍弦長(zhǎng)，S-S模型模擬的空穴長(zhǎng)度明顯偏小。綜上分析，盡管兩個(gè)空化模型均可以模擬出云狀空化周期性演變過(guò)程，但在一些空化流動(dòng)細(xì)節(jié)的捕捉上，修正的R-P模型更具有優(yōu)越性。

圖4 兩種模型模擬得到的升力系數(shù)與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比Fig.4 Comparisons of transient lift coefficients of simulation and experiment

模型類(lèi)型ClCd計(jì)算值實(shí)驗(yàn)值[18]相對(duì)誤差/%計(jì)算值實(shí)驗(yàn)值[18]相對(duì)誤差/%修正的R-P模型0.7520.8086.930.1280.11511.30Schnerr-Sauer模型0.7230.80810.520.1310.11513.91

圖5 兩種模型模擬得到的空泡總體積對(duì)比Fig.5 Comparisons of total vapor volume of simulations by using two models

圖6 兩種模型模擬得到的云空化演變與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比Fig.6 Comparisons of predicted evolution of cloud cavitation of simulations and experiment by two models

5 結(jié)論

(1)在準(zhǔn)靜態(tài)片狀空化階段，修正的R-P模型計(jì)算得到的片狀空穴長(zhǎng)度基本上維持不變，而且在空穴尾部出現(xiàn)了明顯的相間破碎界面并伴有體積分?jǐn)?shù)較低的空泡團(tuán)脫落現(xiàn)象，與實(shí)驗(yàn)描述較為一致。

(2)修正的R-P模型與Schnerr-Sauer模型預(yù)測(cè)云空穴演變平均周期分別為45.5 ms和38.4 ms，且修正的R-P模型能較清晰地預(yù)測(cè)云狀空泡的初生、發(fā)展、潰滅和脫落的全過(guò)程。

(3)云空化階段，修正的R-P模型模擬得到的瞬時(shí)升力系數(shù)與實(shí)驗(yàn)值的變化趨勢(shì)吻合程度更高，盡管兩個(gè)空化模型均可以模擬出云狀空化周期性演變過(guò)程，但在一些流動(dòng)細(xì)節(jié)的捕捉上，修正的R-P模型對(duì)云空化周期性演變的預(yù)測(cè)能力更好。

(4)修正的R-P模型聯(lián)立改進(jìn)的濾波器湍流模型，聯(lián)合求解繞水翼非定常空化流動(dòng)具有較高的準(zhǔn)確性和可行性。

1 洪鋒，袁建平，周幫倫.空泡半徑非線性變化的空化模型及應(yīng)用[J]．華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，43(10)：15-20.

HONG Feng，YUAN Jianping，ZHOU Banglun. Cavitation model considering non-linear variation of bubble radius and its application [J]. Journal of Huazhong University of Science and Technology，2015，43(10)：15-20. (in Chinese)

2 SINGHAL A K，ATHAVALE M M，LI H，et al．Mathematical basis and validation of the full cavitation model[J]. ASME Journal of Fluids Engineering，2002，124(3)：617-624．

3 RHEE S H, KAWAMURA T, LI H．Propeller cavitation study using an unstructured grid based Navier-Stoker solver[J]．ASME Journal of Fluids Engineering，2005，127(5)：986-994．

4 ATHAVALE M M, LI H Y, JIANG Y U, et al. Application of the full cavitation model to pumps and inducers[J]. International Journal of Rotating Machinery, 2002, 8(1):45-56．

5 ZWART P J，GERBER A G，BELAMRI T．A two-phase flow model for predicting cavitation dynamics[C]∥ICMF Fifth International Conference on Multiphase Flow，2004．

6 LIU H, WANG J, WANG Y, et al．Influence of the empirical coefficients of cavitation model on predicting cavitating flow in the centrifugal pump[J]．International Journal of Naval Architecture and Ocean Engineering, 2014, 6(1): 119-131．

7 SCHNERR G H，SAUER J．Physical and numerical modeling of unsteady cavitation dynamics[C]∥ICMF Fourth International Conference on Multiphase Flow，2001．

8 JI B，LUO X W，ARNDT R E A，et al．Large eddy simulation and theoretical investigations of the transient cavitating vortical flow structure around a NACA66 hydrofoil[J]．International Journal of Multiphase Flow，2015，68：121-134．

10 MORGUT M，NOBILE E，BILUI．Comparison of mass transfer models for the numerical prediction of sheet cavitation around a hydrofoil[J]．International Journal of Multiphase Flow，2011，37(6)：620-626．

11 楊瓊方，王永生，張志宏. 改進(jìn)空化模型和修正湍流模型在螺旋槳空化模擬中的評(píng)估分析[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2012，48(9)：178-185.

YANG Qiongfang, WANG Yongsheng, ZHANG Zhihong. Assessment of the improved cavitation model and modified turbulence model for ship propeller cavitation simulation[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2012, 48(9): 178-185. (in Chinese)

12 BRENNEN C E. Cavitation and bubble dynamics [M]. Cambridge: Cambridge University Press, 2013.

13 YUAN W，SCHNERR G H．Numerical simulation of two-phase flow in injection nozzles： interaction of cavitation and external jet formation[J]．ASME Journal of Fluids Engineering，2003，125(6)：963-969．

14 COUTIER-DELGOSHA O，F(xiàn)ORTES-PATELLA R，REBOUD J L，et al．Numerical simulation of cavitating flow in 2D and 3D inducer geometries[J]．International Journal for Numerical Methods in Fluids，2005，48(2)：135-167．

15 LI Z, ZHENG D, HONG F, et al. Numerical simulation of the sheet/cloud cavitation around a two-dimensional hydrofoil using a modified URANS approach [J]. Journal of Mechanical Science & Technology, 2017, 31(1):215-224.

16 HUANG B，YOUNG Y L，WANG G Y，et al．Combined experimental and computational investigation of unsteady structure of sheet/cloud cavitation[J]．ASME Journal of Fluids Engineering，2013，135(7)：071301．

17 黃彪，王國(guó)玉，王復(fù)峰，等．繞水翼非定?？栈鲌?chǎng)的實(shí)驗(yàn)研究[J]．兵工學(xué)報(bào)，2012，33(4)：401-407．

HUANG Biao, WANG Guoyu, WANG Fufeng, et al. Experrimental study on unsteady cavitating flow around hydrofoil with particle imaging velocimetry system[J]. Acta Armamentarii, 2012,33(4):401-407. (in Chinese)

18 WANG G Y，SENOCAK I，SHYY W，et al．Dynamics of attached turbulent cavitating flows[J]．Progress in Aerospace Sciences，2001，37(6)：551-581．

19 HUANG B，WANG G Y，YU Z，et al．Detached-eddy simulation for time-dependent turbulent cavitating flows[J]．Chinese Journal of Mechanical Engineering，2012，25(3)：484-490．

20 張博，王國(guó)玉，李向賓，等.繞水翼片狀空化流動(dòng)結(jié)構(gòu)的數(shù)值與實(shí)驗(yàn)研究[J]．工程熱物理學(xué)報(bào)，2008，29(11)：1847-1851．

ZHANG Bo, WANG Guoyu, LI Xiangbin, et al. Analysis of sheet cavitation flow structure by numerical and experimental studies [J]. Journal of Engineering Thermophsics, 2008, 29 (11):1847-1851. (in Chinese)

21 張光建．水翼及軸流泵非定?？栈匦詳?shù)值研究[D]．鎮(zhèn)江：江蘇大學(xué)，2014．

ZHANG Guangjian. Numerical simulation of the unsteady cavitation characteristics in hydrofoil and axial flow pump [D].Zhenjiang: Jiangsu University, 2014. (in Chinese)