“三角形的三邊關(guān)系”教學(xué)研究報告

一、問題

“三角形任意兩邊的和大于第三邊”是人教版四年級下冊三角形單元的一個內(nèi)容。這樣一個看似簡單的內(nèi)容，在教學(xué)實踐中，很多教師都覺得不容易教。首先，“三角形任意兩邊的和大于第三邊”，這是一個高度抽象概括的結(jié)論，孩子理解起來是有難度的。其次，如何證明這一結(jié)論？采用什么樣的方式證明？許多教師都嘗試過讓孩子們通過動手操作來發(fā)現(xiàn)：提供一些素材，讓孩子們擺一擺或是剪一剪。但孩子們很少會主動拿兩邊之和與第三邊進行比較，所以最后結(jié)論的得出比較牽強。而且動手操作時會有誤差，不管選擇什么材料，當討論兩邊之和等于第三邊時能不能圍成三角形，孩子們會特別糾結(jié)，教學(xué)時不好處理。如果直接運用“兩點之間線段最短”這一公理來證明，很快就能得出結(jié)論，可是我們要教給孩子的僅僅是這樣的一個結(jié)論嗎？這節(jié)課到底要教什么？

帶著對這些問題的思考，我們在深入研讀教材的基礎(chǔ)上，把這節(jié)課的目標確定為：發(fā)現(xiàn)并理解三角形的三邊關(guān)系；經(jīng)歷研究問題的一般過程，積累活動經(jīng)驗，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。在教學(xué)目標的指導(dǎo)下，我們設(shè)計了教學(xué)，進行了以下的實踐。

二、實踐

（一）引發(fā)沖突，提出問題

1.從“圍”開始

師：知道我們今天要學(xué)什么嗎？（生：三角形）對，三角形是常見的平面圖形，老師這兒有三根紙條，（在黑板上貼出三根紙條，其中兩根藍色的，一根紅色的）誰能上來圍一個三角形？

生1、生2很快圍成之后，教師在黑板上貼出三根紙條，其中兩根藍色紙條的長度分別是6cm和9cm，紅色紙條的長度是18cm。生3上臺圍了很久，最后圍成的三角形如圖1所示。

2.明確要求，規(guī)范圍法

師：（指著圖1）三角形是有了，不過圍成這樣你們滿意嗎？（學(xué)生紛紛搖頭）

教師邊說要求：三條線段首尾順次連接所組成的封閉圖形叫做三角形，邊用課件演示（如圖2）。

師：那這三根紙條，能不能按這樣的要求圍成三角形呢？

學(xué)生兩人一組動手操作后發(fā)現(xiàn)圍不成。

小結(jié)：不是隨隨便便的三根紙條就能圍成三角形的。

（二）舉例分析，問題具體化

師：什么樣的三根紙條可以圍成三角形呢？

生4：三根一樣長的。

師：這是你的經(jīng)驗。我們看看剛才的這幾根紙條，（課件出示圖3）為什么圍不成呢？（生：紅色的紙條太長，藍色的紙條太短）要想圍成怎么辦？（生：把紅色紙條變短，或者把藍色紙條變長）

教師根據(jù)學(xué)生的回答演示課件，驗證學(xué)生的想法。

師：當然，要圍一個三角形很簡單，但是如果每一根都這樣變長或變短，咱們就不容易發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。為了研究方便，我們就固定這兩根藍色紙條不變，把這根紅色紙條變短，行嗎？這根紅色紙條變成多短就可以呢？（學(xué)生開始猜測各種長度）剛剛有人說9厘米可以，誰來試一試？（學(xué)生上臺成功圍成三角形）那是不是只有換成9厘米長的紙條就能圍成呢？

生5：不是，8厘米的也行。

生6：10厘米的也可以。

生7：15厘米以下的都可以。

師：哎呀，你已經(jīng)在考慮它的范圍了。聰明的孩子就會這樣想，肯定不止這一個可以。那這根紅色紙條的長度在什么范圍內(nèi)就可以圍成三角形呢？

（三）討論方法，動手解決問題

師：要想確認這個范圍，我們該怎么辦？（生：拿更多的紙條來試一試）跟我想的一樣，可問題是，我們該試哪些長度呢？（學(xué)生回答各種長度，范圍在1～17厘米）怎么沒有人要試19厘米？

生8：剛剛我們試過18厘米都長了，19厘米肯定也不行。所以只需試比18厘米短的。

師：（板貼1～17厘米的磁貼）為了研究方便，咱們先從整厘米的長度入手，把這些長度一一試出來，是不是就能找到范圍了？要試多少次？（生：17次）那咱們分工合作吧，每組試幾根，最后把所有人的實驗結(jié)果匯總，這個范圍是不是就找著了？

學(xué)生兩人一組動手操作，教師巡視。學(xué)生按照順序依次匯報，在匯報3厘米和15厘米的時候爭論不休。但是在教師的引導(dǎo)下找到了范圍：比3厘米短的肯定不行，比15厘米長的也不行，在這之間的長度是可以的。

（四）深入探討，究其本質(zhì)

師：大家對這個范圍是不是都認可了？誰還有疑問？

生9：3和15到底行不行？

生10：為什么會剛好在這個范圍呢？

師：這個問題提得真好?。ò鍟簽槭裁矗榱酥蠹乙槐壑Γ趵蠋煄砹艘粋€神奇的三角形，（課件出示圖4）別看它長得普通，它可是會變的。剛剛我們試過12厘米是能圍成的，當這條紅色的邊長12厘米的時候，圍成的三角形就長這樣。我如果使勁拉這條邊，它會變長。（操作課件，紅色線段的長度依次變?yōu)?3、13.19、14、14.28，如圖5、圖6）這個三角形的樣子好像在變。（生：對，變得越來越矮，越來越扁了）這三個角好像都有變化。（生：這個三角形變得越來越平了）

師：（紅色線段的長度到14.95時停止拖動，如圖7）14.95也是可以的，不過跟之前比已經(jīng)大變樣了。剛剛有同學(xué)說15厘米可以，想象一下，如果拉長到15厘米，會是什么樣？

生11：平了。

生12：變成一條線段了。

生13：藍色的和紅色的重合了。

師：是不是跟你們想象的一樣呢？（課件演示紅色線段的長度到15厘米，如圖8）15厘米可以圍成三角形嗎？（生：不可以）想一想：如果再長一點點呢？會是什么樣？endprint

生：會往下；會回去。（課件演示紅色線段的長度到15.01厘米，如圖9）

生：哎呀，斷掉了！

師：為什么會這樣??？

生14：因為這根紅色線段太長了，這兩個端點連不上，所以就掉下來了。

師：那如果繼續(xù)拉長能連上嗎？

生15：不能，更加連不上了，把紅色的線段變短才可以。

師：好，那我們往回拉，看看什么時候就能連上了。（生：15厘米）（課件演示拉回到15厘米）對，這個時候就連上了，那什么時候又會出現(xiàn)三角形呢？

生16：14.99。

生17：只要比15小就行了。

師：（繼續(xù)往回拉，到14.99厘米）是的，這個時候三角形就出現(xiàn)了。繼續(xù)變短（如圖10），這個三角形怎么變成這樣了？（繼續(xù)變短，如圖11）快看，它的三個角又在變呢！（生：這個三角形要倒了）想一想，到什么時候三角形又沒了？

生：2.99；3；2。

師：（繼續(xù)變短至3厘米，如圖12）當紅色線段長3厘米的時候，3厘米的邊和6厘米的邊連成一條線段，和9厘米的邊重合了，看樣子3厘米也是圍不成的。如果繼續(xù)變短呢？（生：又會斷掉了）

小結(jié)：當兩條邊分別是6厘米和9厘米的時候，我們找到第三條邊的范圍，必須大于3厘米而小于15厘米。

師：為什么剛好就在這個范圍呢？現(xiàn)在你明白了嗎？

生18：因為到了15厘米就重合成一條線段，三角形就沒有了。

生19：3厘米也不行。

生20：比15厘米長、比3厘米短的都不行。

師：看來，關(guān)于這個三角形的奧秘你們已經(jīng)知道了，如果換一個呢？（課件出示另一個三角形，兩條藍色邊長分別是7厘米和11厘米）如果是這樣的兩條邊，那第三條邊的范圍應(yīng)該是多少？（生：比4厘米大、比18厘米?。槭裁?？

生21：因為到了18厘米就會重合成一條線段。

生22：18其實是這兩條邊長的和。

師：那4呢？

生23：4其實就是這兩條邊長的差。（課件再次演示三角形的變化）

師：孩子們，看完了這兩個三角形，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：給定兩條邊，第三條邊的長比另外兩條邊的差要大，比另外兩條邊的和要小。

（五）歸納總結(jié)，由特殊到一般

師：咱們回到黑板上（給三角形的三條邊標記：a，b，c）想象一下，如果這個三角形也能拉動，我拉動c，（手勢做出拉扯狀）要使三角形還在，最長要怎么樣？（生：c要比a與b的和?。槭裁?？

生：如果c等于a與b的和，就會重合成一條線段，而大于a與b的和，就會斷掉。

師：所以c要小于a+b，其實也就是a+b大于c。（板書：a+b>c）要是我現(xiàn)在不拉動c，而是拉動a，要使三角形還在，a應(yīng)該怎么樣？

生：b+c>a。（板書：b+c>a）

師：如果拉動b呢？

生：a+c>b。（板書：a+c>b）

師：今天我們通過研究得到，當三條線段同時滿足這三個條件的時候，就能圍成三角形。事實上，每一個三角形都是由滿足這樣條件的三條線段圍成的，也就是說每一個三角形的三條邊都存在著這樣的關(guān)系。你能試著用一句話概括三角形三條邊的關(guān)系嗎？

生：三角形的一條邊不能超過另外兩條邊的和。

師：一條邊指的是哪條？

生：每一條，任意一條。

小結(jié)：三角形的任意一條邊都要小于兩邊之和。

師：祝賀你們，通過自己的努力發(fā)現(xiàn)了三角形三條邊的關(guān)系。咱們看看書上是怎么說的。（課件出示：三角形的任意兩邊之和大于第三邊）雖然表達不一樣，但意思是一樣的，請大家讀兩遍。

學(xué)生齊讀，教師板書課題：三角形的三邊關(guān)系。

三、討論

1.對課堂的思考

對于三角形三邊關(guān)系的教學(xué)，讓學(xué)生動手操作拼一拼、圍一圍是司空見慣的做法。究其原因，一是教材編排使然，教材上就是要求學(xué)生用小棒或紙條來圍三角形。二是老師們大多持有這樣的觀點：要想培養(yǎng)空間觀念，肯定要有動手操作。于是，熱熱鬧鬧動手圍的操作型課堂就誕生了。老師會給孩子們提供幾組素材，有的能圍成，有的圍不成，還有的是學(xué)生堅持能圍成，老師則拼命解釋此乃誤差使然。緊接著，教師提出問題：“從這幾組數(shù)據(jù)中，你有什么發(fā)現(xiàn)？”說實話，學(xué)生是無法從這樣的動手操作中發(fā)現(xiàn)三角形三邊關(guān)系的。于是，老師只能請學(xué)生寫一寫算式，比一比兩邊之和與第三邊有什么關(guān)系，強行得出所謂的結(jié)論。這樣教學(xué)的效果總是差強人意。

基于對以往這一內(nèi)容教學(xué)案例的分析，我們有了諸多思考，并大膽地進行了教學(xué)嘗試。對于這一課的設(shè)計，主要想突顯以下兩點。

一是建立動態(tài)表象，培養(yǎng)空間觀念?！皥D形與幾何”的教學(xué)有一個很重要的目標，即培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。值得注意的是，并不是簡單地按老師要求動手拼一拼、擺一擺、圍一圍，空間觀念就能得到發(fā)展。我們認為，動手操作一定要與分析、比較、想象等思維活動結(jié)合起來，才可能幫助孩子形成良好的空間觀念。

在本節(jié)課中，我們引導(dǎo)孩子提出了一個大問題：什么樣的三根紙條能圍成三角形？就拿一組圍不成的材料來說，怎么調(diào)整長度才能圍成三角形？調(diào)整的辦法有多種，如果只選定調(diào)整其中最長的一根，那么多長就能圍成三角形？在問題的引導(dǎo)下，孩子們結(jié)合動手操作的感性經(jīng)驗進行分析思考并不斷想象，然后嘗試操作驗證。只有在積極的思維狀態(tài)下，孩子們的動手操作才能真正入眼、入腦，印象深刻，從而為想象提供表象支撐。而在想象之后再驗證，有利于進一步修正自己的空間觀念。初步探尋到可能的范圍之后，對于兩邊之和等于第三邊時，究竟能不能圍成三角形，利用動手操作肯定無法達到最佳效果。于是，我們借助動畫演示，引導(dǎo)孩子結(jié)合操作經(jīng)驗進行觀察、想象。尤其是在逐漸逼近的演示中，教師多次停下來引導(dǎo)孩子想象可能發(fā)生的情形，然后拉動課件中的三角形對他們的想象進行驗證，幫助孩子在腦海中形成動態(tài)的表象。經(jīng)歷了這樣的過程，學(xué)生的空間想象能力得到了培養(yǎng)。

二是經(jīng)歷研究問題的一般過程，積累基本活動經(jīng)驗。在本課中，問題的產(chǎn)生是十分自然的?？此坪唵蔚挠萌垪l圍三角形，不經(jīng)意就能圍成，但第三位上臺的同學(xué)卻怎么也圍不成三角形。這是怎么回事呢？哦，原來并不是隨隨便便三根紙條就能圍成三角形的！問題就自然產(chǎn)生了：什么樣的三根紙條能圍成三角形呢？顯然，這個問題太大，學(xué)生無從著手進行研究。“我們看看剛才的這幾根紙條，為什么圍不成？怎么樣才能圍成？”因為有了具體的例子，問題立即落了地，孩子們有話可講了，也有事可做了。長的邊可以變短，短的邊可以變長，辦法都是可行的?？墒?，如果都變，不利于研究發(fā)現(xiàn)規(guī)律，怎么辦？教師引發(fā)了孩子的積極思考，又適時給出合理的建議：我們就固定兩根短的不變，把最長的這根變短點，看看它變多短就能圍成三角形。研究一步步往下推進，并不是由教師簡單生硬地出示操作要求，而是整個方案都是和孩子們一起通過討論得出，包括實驗的范圍、分工合作、匯總結(jié)果等，都是很自然地從孩子們的思維深處流淌出來。在這潤物無聲的過程中，孩子們親歷了解決問題的全過程。當他們發(fā)現(xiàn)原來在一個固定的范圍內(nèi)都可以圍成，超出范圍便圍不成時，孩子們喜形于色，非常有成就感。最后，借助課件的動畫演示，孩子們篤定地找到了最長邊的范圍，終于發(fā)現(xiàn)了三角形三邊之間的關(guān)系。至此，孩子們經(jīng)歷了一個完整的探究過程：發(fā)現(xiàn)并提出問題———作出假設(shè)———制定計劃———實踐操作———得到結(jié)論，積累了一定的活動經(jīng)驗。

2.提出新問題

我們的研究固然體現(xiàn)了我們的深入思考，但因水平有限，難免存在問題。比如：我們認為動手操作與課件動畫演示相結(jié)合，能幫助學(xué)生建立動態(tài)表象，有效地培養(yǎng)空間觀念，但這個有效性可否檢測出來？可以通過什么樣的途徑或方式加以檢測？還有，我們所認為的幫助孩子積累了基本活動經(jīng)驗，這經(jīng)驗卻又看不見、摸不著，如何得以體現(xiàn)？這些都值得我們進一步進行研究。endprint