3類圖像稀疏表示的去噪性能研究

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(海南大學 機電工程學院， 海南 海口 570228)

圖像去噪是圖像的前期處理中一種重要的預處理方式，可以有效增強畫面質量，提高信噪比。其最終目標是盡可能地將原始圖像信息與噪聲信號分離，消除噪聲信號，還原圖像的真實信號。 噪聲對圖像的影響類型分為加性噪聲與乘性噪聲， 前者指的是噪聲信息與圖像信號的線性疊加， 后者是指圖像的噪聲項是非線性的[1-3]。本文中主要研究常見的加性噪聲，因為其與圖像信號呈非線性相關，并不是原始圖像的組成成分，所以可利用稀疏變換將其進行分離，實現(xiàn)噪聲的去除或減弱。

稀疏變換有3類正交基函數(shù)，分別為二維離散余弦變換(DCT)、離散小波變換(DWT)、奇異值分解(SVD)。目前，這3種稀疏變換在圖像領域中的應用是圖像壓縮、圖像主成分分析等，尚未在圖像去噪方面分析各自降噪的性能優(yōu)劣[4]。本文中就此著手，對含高斯噪聲污染的圖像進行稀疏變換，提取出圖像的稀疏結構，重構主成分，獲得降噪后的圖像，比較其性能，得出這3類稀疏矩陣的綜合評價。

1 3類含高斯噪聲圖像的稀疏變換與重構

實際生活中的圖像往往會受到加性的類高斯噪聲的污染，來源一般是由拍攝設備的電子線路、低照明度等帶來的[4]，因此，可在原始圖像上疊加高斯噪聲近似模擬實際受污染的圖像。二維圖像中的任意點M(i,j)的高斯噪聲的分布模型為

(1)

式中：ζi, j表示M(i,j)的灰度值；μ為ζi, j的均值；σ為ζi, j的標準差；σ2為ζi, j的方差。

實際上，圖像的噪聲往往是均值μ為0的高斯白噪聲。高斯噪聲的ζi, j集中在μ附近，其密集程度取決于標準差σ，ζi, j值距離均值越遠，噪聲分布的范圍越小[5]。設Y(i,j)為受高斯噪聲影響的圖像，而X(i,j)為原始圖像，則噪聲圖像的理想退化式為

X(i,j)=Y(i,j)-Ni, jζi, j。

(2)

1.1 離散余弦變換與重構

DCT在JPEG圖像壓縮方面取得了良好的成效，其原理是將圖像線性變換成一組系數(shù)，可以將帶有圖像大部分信息的多數(shù)系數(shù)量化和編碼，實現(xiàn)以較小值的稀疏系數(shù)矩陣實現(xiàn)最大化的壓縮[6]。圖像的去噪可以借鑒這個原理，即在對噪聲圖像進行稀疏分解后，提取代表圖像主要特征的近似系數(shù)，確定最佳去噪性能的系數(shù)個數(shù)，經(jīng)由DCT反變換重構噪聲退化后的圖像。二維圖像的DCT表示為

(3)

(4)

式中：u、v、i、j均表示圖像點的坐標，取值范圍為u、v、i、j=0, 1, 2, …,N-1，N為整數(shù);a(u)為坐標u的幅值；a(v)為坐標v的幅值；g(i,j)表示余弦變換。其理想的圖像去噪后的反變換重構式為

(5)

1.2 離散小波變換與重構

圖像的離散小波分解中，每完整稀疏變換一次，經(jīng)過不同低通濾波器h和高通濾波器g的分解后，獲得4個分量，包括表示近似系數(shù)的低頻分量和表示細節(jié)系數(shù)的3個高頻分量dψ(n,m)。其中高頻分量為圖像矩陣的3個矢量方向上的小波系數(shù)，分別為水平、垂直和對角方向[7-9]。

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

式中(k,l)為圖像的分辨率索引。

由于高斯噪聲信號混合在圖像的高頻分量dψ(n,m)中，因此可以考慮去掉高頻分量，保留圖像最主要的低頻分量aψ(n,m)，利用其進行近似反變換重構，

(11)

1.3 奇異值分解與重構

圖像像素可視為一個實矩陣， 對于任意的實數(shù)矩陣Xi×j， 可以通過奇異值分解來進行正交分解， 得到2個正交矩陣Ui×j、Vj×j和對角陣Di×j， 則SVD模型為

(12)

4)計算協(xié)方差矩陣的奇異值σi和特征向量ui；

5)選取前d個∑d×d=diag(σ1,σ2,…,σd)和Ud=(u1,u2,…,ud)；

2 仿真實驗

灰度直方圖描述了輸入圖像各個灰度級分布情況和發(fā)生概率。該圖像直方圖的橫坐標與縱坐標分別對應灰度級g(0≤g≤l-1)和灰度級的頻數(shù)Ng。利用MATLAB工具中的Cameraman.tif圖像，并分別添加標準差為σ=10、 20、 30、 40、 50的高斯噪聲，作為實驗圖像。根據(jù)原始圖像和含高斯噪聲圖像繪制灰度直方圖，如圖1所示。

從圖中可以看出，Cameraman的原始圖像與含高斯噪聲圖像具有相同的雙峰特性， 而原圖受到高斯噪聲污染后，灰度值較小的部分削弱，灰度值較大的部分得到補償，并且有所增加，即高斯噪聲的添加并不影響圖像的主體結構，而是改變灰度分布情況。根據(jù)上述結論，可以通過對噪聲圖像的稀疏分解，得到圖像的主要結構，再經(jīng)過反變換重構圖像，便可以實現(xiàn)噪聲圖像的去噪。

(a)原始圖像(b)含高斯噪聲圖像(c)原始圖像灰度直方圖(d)含高斯噪聲圖像灰度直方圖圖1 原始圖像與含高斯噪聲圖像(標準差σ=10)的直方圖

在DCT稀疏變換與重構中，本文中采用DCT系數(shù)矩陣的8×8的窗口滑動方式逐一分解噪聲圖像，并取低頻系數(shù)方陣中的左上角10個系數(shù)，此時重構的細節(jié)性較強[12]；對于DWT中的重構方式來說，則是根據(jù)DWT的近似反變換公式(式(10))來實現(xiàn)低頻分量重構和高頻分量去除，小波類型選擇db4小波；而SVD算法只考慮使用60個特征值作為主成分，原因是在仿真過程中發(fā)現(xiàn)，低頻系數(shù)的取值越小時，去噪圖像清晰度下降越大，取60～80個特征值時去噪重構效果最佳。對3類稀疏變換進行驗證和仿真，得到3類稀疏變換對原始圖像和高斯噪聲圖像的去噪效果對比結果，分別如圖2、3所示。

從視覺效果的角度來看，3類稀疏算法的去噪效果大致一樣，與受高斯噪聲污染的噪聲圖像相比(圖1、2)，在細節(jié)表現(xiàn)方面都比較清晰，噪聲點減少，失真度較小，但都不可避免地存在高斯噪聲疊加后留下的高灰度值，即雪花式斑點。

在放大去噪圖像后可以看出，DCT去噪算法損失了一些關鍵性的細節(jié)，圖像邊緣存在較多明顯鋸齒狀的像素塊，如圖2(b)中Cameraman的面部和相機輪廓都有一定的模糊化，遠處的背景建筑物邊緣失光。而經(jīng)SVD算法處理后的噪聲圖像，鋸齒狀的邊緣較少，畫面較為平滑，物體的邊緣輪廓特征較好地保留下來，在這方面比DCT算法更優(yōu)，但是噪點卻是3類稀疏算法中最多的，其原因是特征值的選取受主觀因素影響較嚴重，需要進一步研究在不同噪聲和圖像的情況下，最優(yōu)特征值的取值范圍。DWT去噪是通過非線性的高、低通濾波器來完成稀疏分解的，由圖2(c)可知，該算法的去噪性能在視覺上的效果是最好的，噪聲點受到了較為強烈地抑制，基本上退化了噪聲圖像。

由圖3可以看出，通過DCT、DWT、SVD算法去除噪聲后，大幅度縮小了與原始圖像之差。DCT和DWT剩余的噪聲信號大部分集中在圖像內部的輪廓邊緣上，使得高頻分量(細節(jié)系數(shù))仍然攜帶著高斯噪聲信息。SVD則是均勻分布在整幅圖片上，因此驗證了上述所提到的SVD算法可以保留圖像輪廓特征信息的想法。

(a)原始圖像(b)離散余弦變換后的圖像(c)離散小波變換后的圖像(d)奇異值分解后的圖像圖2 3類稀疏變換對原始圖像的去噪效果對比(標準差σ=10)

(a)高斯噪聲圖像(b)離散余弦變換后的圖像(c)離散小波變換后的圖像(d)奇異值分解后的圖像圖3 3類稀疏變換對高斯噪聲圖像的去噪效果對比(標準差σ=10)

MSE評價指標反映的是去噪圖像與原始圖像之間的差異程度，差異越大，去噪效果越差，而PSNR表示圖像的失真程度，其數(shù)值越大，圖像失真越小。通過對比分析表1中的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)，隨著標準偏差σ值的增加，即噪聲的不斷加強，均方誤差也隨之增大，兩者呈線性相關，從一定程度上表明了，當圖像中的高斯噪聲點過多，稀疏算法去噪的效果也不明顯，因此圖像的噪聲退化程度具有廣義上的局限性。 在標準偏差較小的場合時， SVD算法的MSE值是相對較小的，次之則是DWT，最次為DCT。從表1可以直觀地看出，DCT算法對高斯噪聲的敏感度不大， 所以在σ值較大時， MSE值的增幅反而是最小的，次之為DWT，最后是SVD算法。這3類稀疏去噪算法中，DWT的運行時間最短。

表1 3類稀疏算法去噪效果的均方誤差值

注：1)DCT表示離散余弦變換；2)DWT表示離散小波變換；3)SVD表示奇異值分解。

Noise—噪聲圖像；DCT—離散余弦變換；DWT—離散小波變換；SVD—奇異值分解。圖4 3類稀疏算法去噪效果的峰值信噪比

根據(jù)圖4可知，在高斯噪聲的標準偏差較小時(σ=10)，得到的PSNR值與人眼觀察到的圖像質量不一致，即噪聲圖像的失真程度反而比去噪后的更小，如此并不符合人類視覺的特性。不過，當圖像添加的噪聲偏差較大時，PSNR指標沒有出現(xiàn)奇異值。綜上所述，PSNR對亮度變化差異較大時敏感度較強，并且圖像失真程度隨著σ的增大，其值呈現(xiàn)逐漸減緩的趨勢，直至達到最小邊界值。

通過DCT、DWT、SVD算法重構去除噪聲后得到的圖像分別如圖5—7所示。分析可知：DCT變換的特點是去噪后的圖像大部分的能量通常集中在低頻部分；DWT變換可以比較好地對噪聲進行抑制，而且還較好地對圖像的細節(jié)進行了保護；SVD算法去噪后的效果比較符合視覺感官，去噪效果也較好。

(a)離散余弦變換低頻系數(shù)取1(b)去噪后(c)離散余弦變換低頻系數(shù)取6(d)去噪后圖5 離散余弦變換中低頻稀疏系數(shù)重構去噪后的圖像

(a)小波稀疏分解(b)去噪后圖6 離散小波變換分解與重構去噪后圖像

(a)噪聲圖像 (b)1個特征值重構(c)30個特征值重構 (d)70個特征值重構圖7 奇異值分解特征值重構圖像

3 結論

通過對3類稀疏表示的去噪性能進行了仿真對比實驗，綜合主觀視覺與客觀指標評價方法，得到以下結論：稀疏表示的去噪算法對高斯噪聲具有明顯的削弱作用，可以有效地退化噪聲圖像，同時去噪后的圖像均方誤差小，失真程度低。其中，DCT與DWT算法具有低靈敏度、去噪性能穩(wěn)定的性質，SVD算法在σ=20之前的去噪圖像失真程度最小。

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